\documentclass[10pt]{article} %% modifié sur latekexos.org \usepackage[latin1]{inputenc} %% \usepackage[applemac]{inputenc} %pas nécessaire avec mllatex ou frlatex % Fourier for math | Utopia (scaled) for rm | Helvetica for ss | Latin Modern for tt \usepackage{fourier} % math & rm \usepackage[scaled=0.875]{helvet} % ss \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} %tt \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\texteuro{}} \usepackage[dvips]{color} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree} \setlength\paperheight{297mm}%10 \setlength\paperwidth{210mm} \setlength{\textheight}{24cm} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-2,5cm}\usepackage{fancyhdr} %% modifié sur latekexos.org \usepackage[frenchb]{babel} \begin{document} % entête et bas de page \rhead{\small Baccalauréat S décembre 2000}%tapez un titre \lfoot{\small{Nouvelle -- Calédonie}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\gray \decofourleft~Baccalauréat série S Nouvelle -- Calédonie~\decofourright\\ décembre 2000}} \end{center} \vspace{1cm} \noindent \textbf{Exercice 1 \hfill 5 points} Dans l'espace muni du repère orthonormal direct \Oijk , on considère les points : \noindent A(4 , 0, 0), B(2, 4, 0), C(0, 6, 0), S(0, 0, 4), E(6, 0, 0) et F(0, 8, 0) \begin{enumerate} \item Réaliser une figure comportant les points définis dans l'exercice que l'on complètera au fur et à mesure. \item Montrer que E est le point d'intersection des droites (BC) et (OA). \item On admettra que F est le point d'intersection des droites (AB) et (OC). \begin{enumerate} \item Déterminer les coordonnées du produit vectoriel $\vect{\text{SE}} \wedge \vect{\text{EF}}$. En déduire l'équation cartésienne du plan (SEF). \item Calculer les coordonnées du point A$'$ barycentre des points pondérés\\ (A, 1) et (S,3). \item On considère le plan P parallèle au plan (SEF) et passant par A$'$. Vérifier qu'une équation cartésienne de P est $4x + 3y + 6z -22 = 0$. \end{enumerate} \item Le plan P coupe les arêtes [SO], [SA], [SB] et [SC] de la pyramide SOABC respectivement aux points O$'$, A$'$, B$'$ et C$'$. \begin{enumerate} \item Déterminer les coordonnées de O$'$. \item Vérifier que C$'$ apour coordonnées $\left(0,~ 2,~ \cfrac{8}{3}\right)$. \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite (SB), en déduire les coordonnées du point B$'$. \end{enumerate} \item Vérifier que O$'$A$'$B$'$C$'$ est un parallélogramme. \end{enumerate} \vspace{1cm} \noindent \textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Résoudre dans $\C$ l'équation \[ z^2 - 2z + 2 = 0.\] Préciser le module et un argument de chacune des solutions. \item En déduire les solutions dans $\C$ de l'équation \[(-\text{i}z + 3\text{i} + 3)^2 - 2(-\text{i}z+3\text{i}+3)+2 = 0.\] \end{enumerate} \item Le plan est rapport\'e \`a un repère orthonormal direct \Ouv d'unité graphique 2cm. On considère les points A, B et C d'affixes respectives \\ $z_{\text{A}} = 1 + \text{i},~ z_{\text{B}} = \overline{z_{\text{A}}},~z_{\text{C}}= 2z_{\text{B}}$. \begin{enumerate} \item Déterminer les formes algébriques de $z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$. \item Placer lespoints A, B et C. \item Montrer que les points A, B et C appartiennent au cercle ($\mathcal{C}$) de centre I d'affixe 3 et de rayon $\sqrt{5}$. \item Calculer $\cfrac{z_{\text{C}} - 3}{z_{\text{A}} - 3}$ ; en déduire la nature du triangle IAC. \item Le point E est l'image du point O par la translation de vecteur $2 \overrightarrow{\text{IC}}$. Déterminer l'affixe du point E. \item Le point D est l'image du point E par la rotation de centre O et d'angle $\cfrac{\pi}{2}$. Déterminer l'affixe du point D. \item Démontrer que les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{1cm} \noindent \textbf{Exercice 2 \hfill spécialité} Dans tout l'exercice $x$ et $y$ désignent des entiers naturels non nuls vérifiant $x < y$. S est l'ensemble des couples $(x, y)$ tels que PGCD$(x,~y) = y - x$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer le PGCD(363,~ 484). \item Le couple (363, 484) appartient-il à S ? \end{enumerate} \item Soit $n$ un entier naturel non nul ; le couple $(n,~ n + 1)$ appartient-il à S ? Justifier votre réponse. \item \begin{enumerate} \item Montrer que $(x,~y)$ appartient à S si et seulement si il existe un entier naturel $k$ non nul tel que $x = k(y-x)$ et $y = (k+1)(y-x)$. \item En déduire que pour tout couple $(x,~ y)$ de S on a : PPCM $(x,~y) = k(k+1)(y-x).$ \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer l'ensemble des entiers naturels diviseurs de 228. \item En déduire l'ensemble des couples $(x,~ y)$ de S tels que PPCM $(x,~ y) = 228$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{1cm} \noindent \textbf{Problème \hfill 10 points} Dans tout le problème le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij~ d'unité graphique 2 cm. \vspace{0,5cm} \noindent \textbf{Partie A} On considère la fonction numérique $u$ définie sur $\R$ par \[u(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x\] \noindent et on désigne par ($\mathcal{C}$) sa courbe représentative. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $u$ en $- \infty$. \item Montrer que, pour tout $x$ réel, on a $u(x) = \cfrac{1}{\sqrt{x^2 + 1} + x}$. En déduire la limite de $u$ en $+ \infty$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que $[u(x)+2x]$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $- \infty$. \item Montrer que pour tout $x$ réel, on a $u(x) > 0$. En déduire le signe de\\ $[u(x) + 2x]$. \item Interpréter graphiquement ces résultats. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que la dérivée de la fonction $u$ est définie sur $\R$ par \[u'(x) = \cfrac{- u(x)}{\sqrt{x^2 + 1}}.\] \item Étudier les variations de la fonction $u$. \end{enumerate} \item Tracer la courbe ($\mathcal{C}$) et son asymptote oblique. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \noindent \textbf{Partie B} On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par \[f(x) = \displaystyle\int_{0}^x \cfrac{-1}{\sqrt{t^2 + 1}}\:\text{d}t.\] \noindent et ($\Gamma$) sa courbe représentative. \begin{enumerate} \item Justifier que pour tout $x$ réel on a $f(x) = \ln u(x)$ en utilisant la question \textbf{A.3.a.} \item Déterminer les limites de $f$ en $- \infty$ , puis en $+ \infty$ et étudier les variations de $f$. \item \begin{enumerate} \item Déterminer une équation de la droite (T) tangente à la courbe ($\Gamma$) au point d'abscisse $0$. \item On considère la fonction $\varphi$ définie sur $\R$ par $\varphi(x) = f(x) + x$. Montrer que $\varphi$ est croissante sur $\R$ et que $\varphi(0) = 0$. En déduire la position de ta courbe ($\Gamma$) par rapport à la tangente (T). \end{enumerate} \item Tracer sur le même graphique la courbe ($\Gamma$) et la tangente (T). \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \noindent \textbf{Partie C} \begin{enumerate} \item On pose $\alpha = \cfrac{1 - \text{e}^2}{2\text{e}}$, montrer que $u(\alpha) = \text{e}$ et en déduire $f(\alpha)$. \item À l'aide d'une intégration par parties, calculer $\displaystyle\int_{\alpha}^0 \ln \left(\sqrt{x^2 + 1} - x\right)\:\text{d}x$. \item Soit $V$ une primitive de $u$ et $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(t) = \cfrac{\text{e}^t - \text{e}^{-t}}{2}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $u\left(\cfrac{\text{e}^t - \text{e}^{-t}}{2}\right) = \text{e}^{-t}$. \item Justifier que $V \circ g$ est dérivable sur $\R$ et que sa dérivée est définie par \[\left(V \circ g\right)'(t) = \cfrac{1 + \text{e}^{-2t}}{2}.\] \item En déduire que $V(0)-V(\alpha) = (V \circ g)(0) - (V \circ g)(-1) = \displaystyle\int_{-1}^0 \cfrac{1 + \text{e}^{-2t}}{2}\: \text{d}t$, puis que $\displaystyle\int_{\alpha}^0 u(x)\:\text{d}x = \cfrac{\text{e}^2 + 1}{4}$. \end{enumerate} \item On admet que pour tout $x$ réel, $f(x) < u(x)$. Déduire des questions précédentes l'aire, en unité d'aires, du domaine limité par les courbes ($\mathcal{C}$), ($\Gamma$) et les droites d'équation $x = \alpha$ et $x = 0$. \end{enumerate} \end{document}