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 \begin{document} 
% entête et bas de page 
\rhead{\small Baccalauréat S décembre 2000}%tapez un titre 
\lfoot{\small{Nouvelle -- Calédonie}} 
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\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty} 
\begin{center} {\Large \textbf{\gray \decofourleft~Baccalauréat série S Nouvelle -- Calédonie~\decofourright\\ 
décembre 2000}} \end{center} 

\vspace{1cm} 

\noindent \textbf{Exercice 1 \hfill 5 points} 

Dans l'espace muni du repère orthonormal direct \Oijk , on considère les 
points : 

\noindent A(4 , 0, 0), B(2, 4, 0), C(0, 6, 0), S(0, 0, 4), E(6, 0, 0) et F(0, 8, 0) 

\begin{enumerate} \item Réaliser une figure comportant les points définis dans l'exercice que 
l'on complètera au fur et à mesure. 

\item Montrer que E est le point d'intersection des droites (BC) et (OA). 

\item On admettra que F est le point d'intersection des droites (AB) et (OC). 

\begin{enumerate} \item Déterminer les coordonnées du produit vectoriel 
$\vect{\text{SE}} \wedge \vect{\text{EF}}$. 
En déduire l'équation cartésienne du plan (SEF). 

\item Calculer les coordonnées du point A$'$ barycentre des points pondérés\\ 
(A, 1) et (S,3). 

\item On considère le plan P parallèle au plan (SEF) et passant par A$'$. 
Vérifier qu'une équation cartésienne de P est $4x + 3y + 6z -22 = 0$. 

\end{enumerate} 

\item Le plan P coupe les arêtes [SO], [SA], [SB] et [SC] de la pyramide 
SOABC respectivement aux points O$'$, A$'$, B$'$ et C$'$. 

\begin{enumerate} \item Déterminer les coordonnées de O$'$. 

\item Vérifier que C$'$ apour coordonnées $\left(0,~ 2,~ \cfrac{8}{3}\right)$. 

\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite (SB), en déduire 
les coordonnées du point B$'$. 

\end{enumerate} 

\item Vérifier que O$'$A$'$B$'$C$'$ est un parallélogramme. 

\end{enumerate} 

\vspace{1cm} 

\noindent \textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} 

\begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Résoudre dans $\C$ l'équation 

\[ z^2 - 2z + 2 = 0.\] 

Préciser le module et un argument de chacune des solutions. 

\item En déduire les solutions dans $\C$ de l'équation 

\[(-\text{i}z + 3\text{i} + 3)^2 - 2(-\text{i}z+3\text{i}+3)+2 = 0.\] 

\end{enumerate} 

\item Le plan est rapport\'e \`a un repère orthonormal direct \Ouv d'unité graphique 2cm. 
On considère les points A, B et C d'affixes respectives \\
$z_{\text{A}} = 1 + \text{i},~ z_{\text{B}} = \overline{z_{\text{A}}},~z_{\text{C}}= 2z_{\text{B}}$. 

\begin{enumerate} \item Déterminer les formes algébriques de $z_{\text{B}}$ et 
$z_{\text{C}}$. 

\item Placer lespoints A, B et C. 

\item Montrer que les points A, B et C appartiennent au cercle ($\mathcal{C}$) de 
centre I d'affixe 3 et de rayon $\sqrt{5}$. 

\item Calculer $\cfrac{z_{\text{C}} - 3}{z_{\text{A}} - 3}$ ; en déduire 
la nature du triangle IAC. 

\item Le point E est l'image du point O par la translation de vecteur $2 
\overrightarrow{\text{IC}}$. Déterminer l'affixe du point E. 

\item Le point D est l'image du point E par la rotation de centre O et 
d'angle $\cfrac{\pi}{2}$. 

Déterminer l'affixe du point D. 

\item Démontrer que les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires. 

\end{enumerate} 

\end{enumerate} 

\vspace{1cm} 

\noindent \textbf{Exercice 2 \hfill spécialité} 

Dans tout l'exercice $x$ et $y$ désignent des entiers naturels non nuls vérifiant 
$x < y$. 

S est l'ensemble des couples $(x, y)$ tels que PGCD$(x,~y) = y - x$. 

\begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer le PGCD(363,~ 484). 

\item Le couple (363, 484) appartient-il à S ? 

\end{enumerate} 

\item Soit $n$ un entier naturel non nul ; le couple $(n,~ n + 1)$ appartient-il à S ? 

Justifier votre réponse. 

\item \begin{enumerate} \item Montrer que $(x,~y)$ appartient à S si et seulement si il existe un 
entier naturel $k$ non nul tel que $x = k(y-x)$ et $y = (k+1)(y-x)$. 

\item En déduire que pour tout couple $(x,~ y)$ de S on a : 

PPCM $(x,~y) = k(k+1)(y-x).$ 

\end{enumerate} 

\item \begin{enumerate} \item Déterminer l'ensemble des entiers naturels diviseurs de 228. 

\item En déduire l'ensemble des couples $(x,~ y)$ de S tels que PPCM $(x,~ 
y) = 228$. 

\end{enumerate} 

\end{enumerate} 

\vspace{1cm} 

\noindent \textbf{Problème \hfill 10 points} 

Dans tout le problème le plan est rapporté à un repère orthonormal 
\Oij~ d'unité graphique 2 cm. 

\vspace{0,5cm} 

\noindent \textbf{Partie A} 



On considère la fonction numérique $u$ définie sur $\R$ par 

\[u(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x\] 

\noindent et on désigne par ($\mathcal{C}$) sa courbe représentative. 

\begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $u$ en $- \infty$. 

\item Montrer que, pour tout $x$ réel, on a $u(x) = \cfrac{1}{\sqrt{x^2 + 
1} + x}$. 

En déduire la limite de $u$ en $+ \infty$. 

\end{enumerate} 

\item \begin{enumerate} \item Montrer que $[u(x)+2x]$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $- \infty$. 

\item Montrer que pour tout $x$ réel, on a $u(x) > 0$. En déduire le signe de\\ 
$[u(x) + 2x]$. 

\item Interpréter graphiquement ces résultats. 

\end{enumerate} 

\item \begin{enumerate} \item Montrer que la dérivée de la fonction $u$ est définie sur $\R$ par 

\[u'(x) = \cfrac{- u(x)}{\sqrt{x^2 + 1}}.\] 

\item Étudier les variations de la fonction $u$. 

\end{enumerate} 

\item Tracer la courbe ($\mathcal{C}$) et son asymptote oblique. 

\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\noindent \textbf{Partie B} 

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 

\[f(x) = \displaystyle\int_{0}^x \cfrac{-1}{\sqrt{t^2 + 
1}}\:\text{d}t.\] 

\noindent et ($\Gamma$) sa courbe représentative. 

\begin{enumerate} \item Justifier que pour tout $x$ réel on a $f(x) = \ln u(x)$ en utilisant la 
question \textbf{A.3.a.} 

\item Déterminer les limites de $f$ en $- \infty$ , puis en $+ \infty$ et 
étudier les variations de $f$. 

\item \begin{enumerate} \item Déterminer une équation de la droite (T) tangente à la courbe 
($\Gamma$) au point d'abscisse $0$. 

\item On considère la fonction $\varphi$ définie sur $\R$ par 
$\varphi(x) = f(x) + x$. Montrer que 
$\varphi$ est croissante sur $\R$ et que $\varphi(0) = 0$. En déduire 
la position de ta courbe ($\Gamma$) par rapport à la tangente (T). 

\end{enumerate} 

\item Tracer sur le même graphique la courbe ($\Gamma$) et la 
tangente (T). 

\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\noindent \textbf{Partie C} 

\begin{enumerate} \item On pose $\alpha = \cfrac{1 - \text{e}^2}{2\text{e}}$, montrer que 
$u(\alpha) = \text{e}$ et en déduire $f(\alpha)$. 

\item À l'aide d'une intégration par parties, calculer 
$\displaystyle\int_{\alpha}^0 \ln \left(\sqrt{x^2 + 1} - 
x\right)\:\text{d}x$. 

\item Soit $V$ une primitive de $u$ et $g$ la fonction définie sur $\R$ par 
$g(t) = \cfrac{\text{e}^t - \text{e}^{-t}}{2}$. 

\begin{enumerate} \item Montrer que $u\left(\cfrac{\text{e}^t - \text{e}^{-t}}{2}\right) = 
\text{e}^{-t}$. 

\item Justifier que $V \circ g$ est dérivable sur $\R$ et que sa dérivée est 
définie par 

\[\left(V \circ g\right)'(t) = \cfrac{1 + \text{e}^{-2t}}{2}.\] 

\item En déduire que $V(0)-V(\alpha) = (V \circ g)(0) - (V \circ g)(-1) = 
\displaystyle\int_{-1}^0 \cfrac{1 + \text{e}^{-2t}}{2}\: \text{d}t$, 

puis que $\displaystyle\int_{\alpha}^0 u(x)\:\text{d}x = 
\cfrac{\text{e}^2 + 1}{4}$. 

\end{enumerate} 

\item On admet que pour tout $x$ réel, $f(x) < u(x)$. 

Déduire des questions précédentes l'aire, en unité d'aires, du domaine limité par 
les courbes ($\mathcal{C}$), ($\Gamma$) et les droites d'équation $x = 
\alpha$ et $x = 0$. 

\end{enumerate} 

\end{document}