\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{ulem}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{lscape}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{color}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{pgf}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree}
\setlength\paperheight{297mm}
\setlength\paperwidth{210mm}
\setlength{\textheight}{25cm}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-2,5cm}
\usepackage{fancyhdr} 
\usepackage{graphicx}
\usepackage{multicol}
\usepackage{mathrsfs}
 %\pagestyle{fancy}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat  L}
\rfoot{\small Nouvelle-Calédonie}
\lfoot{\small{novembre 2005}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat L Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\
Épreuve de spécialité - novembre 2005\\
 Durée : 3 heures}
 \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{ Exercice 1}\hfill 8 points}\\

\framebox{
  \begin{minipage}{12cm}
\textbf{Rappels sur la fonction logarithme népérien, notée ln:}\\
$a$ et $b$ étant des réels strictement positifs et $n$ un entier
naturel:

$\ln (ab)= \ln a + \ln b$ \hspace{\stretch{1}} ; \hspace{\stretch{1}} $\ln \left( \dfrac{a}{b}
\right) = \ln a - \ln b$ \hspace{\stretch{1}} ; \hspace{\stretch{1}} $\ln (a^n) = n \ln
a$. \hspace{\stretch{5}}
 \end{minipage}}
 
\vspace{0.25cm}

\textbf{Partie A:}

\medskip

Sur la \textbf{feuille annexe à rendre avec la copie} on a tracé dans
un repère orthonormal la courbe $(\mathscr{C})$ représentant la
fonction logarithme népérien et la parabole $(\mathscr{P})$ représentant la fonction $f$ définie sur $\R$ par :

\[f(x)=2x^2-3x+ \dfrac{9}{2}\]

La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f'$ sa fonction
dérivée.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$ pour tout réel $x$.
		\item En déduire le tableau de variation de la fonction $f$. (On ne  demande pas les limites de $f$ à l'infini.)
		\item Quelles sont les coordonnées exactes du point $S$ sommet de la  parabole~$(\mathscr{P})$ ?
	\end{enumerate}
\item On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0 ; +
 \infty[$ par : 

  \[  g(x)=f(x) - \ln x = 2x^2 -3x + \dfrac{9}{2} - \ln x.  \]
  
La fonction $g$ est dérivable sur l'intervalle $]0~;~+
 \infty[$ et on note $g'$ sa fonction dérivée.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout réel strictement positif $x$:
 $g'(x) = \dfrac{(4x+1)(x-1)}{x}$.
		\item Étudier les variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
 
 Justifier que le minimum de $g$ est égal à $\dfrac{7}{2}$.
		\item En déduire que pour tout réel strictement positif $x$: $f(x) - \ln x > 0$.
		
Quelle propriété des courbes $(\mathscr{P})$ et $(\mathscr{C})$,
  visible graphiquement, le résultat ci-dessus permet-il de justifier ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B :}

\medskip

Pour tout réel strictement positif $x$, on note $M$ le point
de la courbe $(\mathscr{P})$ d'abscisse $x$ et $N$ le point de la
courbe $(\mathscr{C})$ de même abscisse $x$. On a ainsi : \mbox{$MN = f(x)- \ln x = g(x)$}.\\
(la longueur $MN$ est exprimée dans l'unité graphique du schéma de
\textbf{feuille annexe}.)

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points $M$ et $N$ sur le schéma de la \textbf{feuille
  annexe} lorsque $x=2$.
\item Montrer que lorsque $x = \dfrac{3}{4}$ on a : $MN =
  \dfrac{27}{8} + 2 \ln 2 - \ln 3$.\\
  Donner la valeur de $MN$ arrondie au centième.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de la \textbf{partie A}, déterminer pour quelle
  valeur de $x$, la longueur $MN$ est minimale. Que vaut alors cette
  longueur ?
		\item Tracer en rouge sur le schéma de la \textbf{feuille annexe} le  segment $[MN]$ correspondant.
	\end{enumerate}
\item Quelle est la limite de la longueur $MN$ quand $x$ tend vers
 $0$ (avec $x > 0$) ?
\end{enumerate}

\pagebreak
\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 6 points}\\

\framebox{
\begin{minipage}{12cm}
\textbf{Rappels:}\\
Soit $(U_n)$ une suite géométrique de raison $q$ et de premier
terme $U_1$.\\
On a alors pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $1$: $U_n =
U_1 \times q^{n-1}$.\\
Soit $(V_n)$ une suite arithmétique de raison $r$ et de premier
terme $V_1$.\\
On a alors pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $1$: $V_n = V_1
+ (n-1)r$.
\end{minipage}}

\begin{multicols}{2}

Un carré d'aire $1\ m^2$ est divisé en $9$ carrés égaux comme indiqué
sur la figure ci-contre.

On colorie le carré central. (1\ier{} coloriage)

\bigskip

Les huit carrés restant sont à leur tour divisés en $9$
carrés égaux comme indiqué sur la figure ci-contre.

On colorie les huit carrés centraux obtenus. (2\ieme{} coloriage)

\vspace{0.2cm}
On poursuit avec la même méthode la division et le coloriage
du carré.

\includegraphics{exo2}

\end{multicols}

Pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $1$, on désigne par $A_n$
l'aire en $m^2$ de la surface totale coloriée après $n$ coloriages. On
a ainsi : $A_1 = \dfrac{1}{9}$.

La surface grisée sur le figure ci-dessus a donc pour aire
$A_2$.

\textbf{On remarquera que chaque étape du coloriage consiste à
  colorier un neuvième de la surface non coloriée jusque là}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $A_2 = A_1 + \dfrac{1}{9} (1 -A_1)$ puis
  calculer la valeur numérique exacte de $A_2$.
		\item Expliquer pourquoi, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $1$,
		
 $A_{n+1} = \dfrac{8}{9}A_n + \dfrac{1}{9}$.
	\end{enumerate}
\item On pose pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $1$ : $B_n =
  A_n - 1$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $B_1$.
		\item Montrer que pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $1$,
  $B_{n+1} = \dfrac{8}{9} B_n$.
		\item Quelle est la nature de la suite $\left(B_n\right)$ ?
		
Exprimer alors, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $1$, le
  terme général $B_n$ de la suite $\left(B_n\right)$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En déduire que pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $1$:
    $A_n=1-\left( \dfrac{8}{9} \right)^n$.
		\item Calculer alors la limite de la suite $\left(A_n\right)$. Que peut-on en déduire ?
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\pagebreak

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{ Exercice 3}\hfill 6 points}

\medskip

Une horloge électronique a été programmée pour émettre un
bip toutes les sept heures. Le premier bip est émis le 31 décembre
2004 à minuit.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item À quelle heure est émis le dernier bip du 1\ier janvier 2005
  ?
		\item À quelle heure est émis le premier bip du 2 janvier 2005 ?
		\item À quelle heure est émis le dernier bip du 2 janvier 2005 ?
		\item À quelle heure est émis le premier bip du 3 janvier 2005 ?
	\end{enumerate}

Expliquer les réponses.
\item 
   \begin{enumerate}
		\item Montrer que : $24 \equiv 3 (\mathrm{ modulo } 7)$.
		\item En déduire le reste de la division euclidienne de $2 \times 24$ par $7$ et le reste de la division euclidienne de $3 \times 24$ par $7$. Justifier les réponses.
		
Reproduire sur la copie et compléter le tableau suivant:

   \begin{center}
   \begin{tabular}{|p{3cm}|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
     \hline
     $n$&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\
     \hline
     Reste de la division     &&&&&&&&&&\\
     euclidienne de $n\times 24$      &&&&5&1&4&0&3&6&2\\
     par $7$      &&&&&&&&&&\\
     \hline
   \end{tabular}
   \end{center}
		\item Expliquer pourquoi l'horloge émet un bip à minuit tous les $7$ jours et tout les $7$ jours seulement.
   \end{enumerate}
\item On rappelle que l'année 2005 est une année non bissextile et
 comporte donc 365 jours.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le plus petit entier naturel $a$ tel que: $365
 \equiv a (\mathrm{ modulo } 7)$
		\item À quelle date l'horloge émettra-t-elle un bip à minuit pour la  dernière fois en 2005 ?
  
Expliquer la réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
  \textbf{ANNEXE à l'exercice 1 (à rendre avec la copie)}
\end{center}
\input{annexe.pgf}
\end{document}
\parbox{15cm}{\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(-2.5,-4)(8,9)
\psset{fillcolor=black}
\psset{linecolor=black}
\psaxes[linewidth=1pt,showorigin=true]{->}(0,0)(-2.5,-4)(8,9)
\psgrid(0,0)(-2.5,8)(-4,9)
%\uput[dl](-0.2,-0.2){$O$}
%\psplot{}{}{x sin}
\psplot[plotpoints=50,linecolor=black,linestyle=solid]{0}{2}{x 2 exp 2 mul x 3 mul  sub 4,5 add}
\psset{linestyle=solid}
\psset{linecolor=black}
\psline(-2.5,0)(8,0)
\end{pspicture}}
\end{document}






\parbox{15cm}{\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(-2.5,-4)(8,9)
\psset{fillcolor=black}
\psset{linecolor=black}
\psaxes[linewidth=1pt,showorigin=true]{->}(0,0)(-2.5,-4)(8,9)
\psgrid(0,0)(-2.5,8)(-4,9)
%\uput[dl](-0.2,-0.2){$O$}
%\psplot{}{}{x sin}
\psplot[plotpoints=50,linecolor=black,linestyle=solid]{0}{2}{x 2 exp 2 mul x 3 mul  sub 4,5 add}
\psset{linestyle=solid}
\psset{linecolor=black}
\psline(-2.5,0)(8,0)
\end{pspicture}
}
%\psplot{0}{8}{x 2 exp 0.75 mul x 3 mul sub 6 add}
