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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Polynésie 2009}
\lfoot{\small{Corrigé du bacclaauréat S}}
\rfoot{\url{http://mathparadise.pagesperso-orange.fr/}}
\setlength\parindent{0mm}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} { \Large \textbf{Corrigé du baccalauréat S  Polynésie juin 2009}}

\end{center}
\vspace{0,5cm}

 \subsection*{Exercice 1 }
 
 \vspace{0,5cm} 
 
\begin{enumerate}
	\item \emph{Arbre}
	\begin{center}
	\pstree[treemode=R,levelsep=18ex]{\Tdot}
{
\pstree{\Tdot~[tnpos=a]{$D$}\taput{$0,06$}}
		{
	\pstree{\Tdot~[tnpos=a]{$R$}\taput{$0,98$}}
	
	\pstree{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{R}$}\tbput{$0,02$}}
		 					 
 		}
\pstree{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{D}$}\taput{$0,94$}}
		{
	\pstree{\Tdot~[tnpos=a]{$R$}\taput{$0,05$}}
		
	\pstree{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{R}$}\tbput{$0,95$}}
		 
 		} 						
}		
		 \end{center}
		 \item
      \begin{enumerate}
      	\item La probabilité que le lecteur soit défectueux et qu'il ne soit pas rejeté est:
      	\[ p\left(D\cap \overline{R}\right) = p(D)\times p_{D}\left(\overline{R}\right) = 0,06\times 0,02= \np{0,0012}\]
      	\item La probabilité qu'il y ait une d'erreur de contrôle est :
\begin{center}$
\begin{array}{rcl}
	p&=&p(D\cap \overline{R}) + p\left(\overline{D}\cap R\right)) \\
	 &=&p(D)\times p_{D}\left(\overline{R}\right) + p\left(\overline{D}\right)\times p_{\overline{D}}(R) \\
	 &=&0,06\times 0,02 + 0,94\times 0,05 \\
	 &=&\np{0,0482}
\end{array}$
\end{center}
      \end{enumerate}
	   \item D'après la formule des probabilités totales :
	   \begin{center}$
\begin{array}{rcl}
	p(\overline{R})&=&p\left(D\cap \overline{R}\right) +p\left(\overline{D}\cap \overline{R}\right)) \\
	 &=&p(D)\times p_{D}(\overline{R}))+p\left(\overline{D}\right)\times p_{\overline{D}}\left(\overline{R}\right) \\
	 &=&0,06\times 0,02 + 0,94\times 0,95 \\
	 &=&\np{0,8942}
\end{array}$
\end{center}
	   \item
	    \begin{enumerate}
	     \item On se trouve en présence d'un schéma de Bernoulli: Il n'y a que deux issues le lecteur est accepté avec une probabilité $p = \np{0,8942}$  ou refusé et on répète de façon indépendante cette expérience 4 fois. Le nombre de succès $X$ suit la loi binômiale de paramètres $\mathcal{B}(4~;~0,8942)$.
	     
\begin{itemize}
	\item Un lecteur qui est vendu avec le logo de l'entreprise correspond à un gain de $120-50=70$\euro{} et la probabilité correspondante est 
	
	$p(X = 4) = \np{0,8942}^4 \approx \np{0,6393}$;
	\item Un lecteur qui est vendu sans logo correspond à un gain de  de 10\euro et la probabilité correspondante est 
$p(X\leqslant 3) = \binom{4}{3}\np{0,1058}^1\times \np{0,8942}^3\approx \np{0,3026}$;
  \item Les autres lecteurs sont rejetés, ils correspondent à une perte de 50\euro et la probabilité correspondante est $1 - (\np{0,6393}+ \np{0,3026}) = \np{0,0581}$
\end{itemize}
	     
	     On a le tableau suivant:
\begin{center}
	\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
	 \hline $g_i$ & 120 & 10 & -50\\ \hline 
	       $p(G=g_i)$& \np{0,6393}& \np{0,3026} &\np{0,0581}\\ \hline 
		
	\end{tabular}
\end{center}
	     \item L'espérance vaut:
	     \[ E(G) = 70\times \np{0,6393} + 10 \times  \np{0,3026} - 50 \times \np{0,0581} \approx 44,87 \]
	    Cela signifie que l'entreprise réalisera un gain moyen de 44,87\euro{} par lecteur MP3 fabriqué. 
	        \end{enumerate}
\end{enumerate}
 
 
 \vspace{0,5cm}

\subsection*{Exercice 2 } \textbf{Obligatoire}
 
 \vspace{0,3cm} 
 \textbf{Partie A}
 
 Soit $M(z)$ un point du plan et $M'(z')$  son image dans la rotation de centre $\Omega(\omega)$ et d'angle  $\alpha$.
 
 Si $M=\Omega$ alors $M'=\Omega$ et on a bien $z'-\omega=\e^{\i\alpha}(z - \omega)$.
 
 \smallskip
Si $M\neq\Omega$ alors \\
$M'(z')$ est l'image de $M(z)$ dans la rotation de centre $\Omega(\omega)$ et d'angle  $\alpha$ équivaut à
\[\left\{ 
\begin{array}{rcl}
	\left(\vect{\Omega M'};\overrightarrow{\Omega M }\right)&=&\alpha\\
	\Omega M&=&\Omega M'
\end{array}
\right.
 \quad \iff \quad 
 \left\{ 
\begin{array}{rcl}
 \arg\left(\dfrac{z-\omega}{z'-\omega}\right)&=&\alpha\\
| z-\omega|&=&|z'-\omega|
 \end{array}
 \right.
 \quad \iff \quad 
\left\{ 
\begin{array}{rcl}
 \arg\left(\dfrac{z-\omega}{z'-\omega}\right)&=&\alpha\\
\left|\dfrac{z-\omega}{z'-\omega}\right|&=& 1
 \end{array}
 \right. 
 \]
Le complexe $\dfrac{z-\omega}{z'-\omega}$ a pour module 1 et argument $\alpha$,  il s'écrit donc 
$ \dfrac{z-\omega}{z'-\omega}=\e^{\i\alpha}  $\\[3mm]
d'où \hspace{2cm} $z'-\omega=\e^{\i\alpha}(z-\omega)$
 
 \vspace{0,5cm} 
 \textbf{Partie B}
 
 \vspace{0,3cm}
 
\begin{enumerate}
	\item 
   \begin{enumerate}
	   \item L'affixe $\omega$ du point $\Omega$ tel que $f(\Omega)=\Omega$ vérifie:	   
\begin{center}$
\begin{array}{rcl}
\omega&=&\text{i}\omega +4+4 \text{i}\\
\omega (1-\text{i})&=&4+4 \text{i} \\
\omega &=&\dfrac{4+4 \text{i}}{1-\text{i}} \\
\omega &=&\cdots\\
\omega &=&4 \text{i}
\end{array}$
\end{center}	   
      \item Pour tout nombre complexe $z$ on a :
      \begin{center}$
\begin{array}{rcl}
	z'- 4\text{i}&=&\text{i}z +4\\
	             &=&\text{i}z -4\text{i}^2\\
	             &=&\text{i}(z -4\text{i})\\
\end{array}$
\end{center}	  
      
		\item L'égalité précédente peut s'écrire $z'- \omega=\text{i}(z -\omega)$, c'est à dire  $z'- \omega=\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}(z -\omega)$, qui est l'écriture complexe de la rotation de centre $\Omega(\omega)$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$.
	\end{enumerate} 
\item %On note A et B les points d'affixes respectives $a = 4 - 2\text{i}$ et $b = -4 + 6\text{i}$. 
	\begin{enumerate}
	\item \emph{Figure}%Placer les points A,   B et  $\Omega$  sur une figure que l'on complétera au fur et à mesure des questions. 
	
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm}
\begin{pspicture*}(-5,-3)(7,9)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-5,-3)(7,9)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,dotstyle=+,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes{->}(0,0)(-5,-3)(7,9)
%\psline(1,-1)(7.93,3)
\pstGeonode[PosAngle={-160,90,90,150}](4,-2){A}(-4,6){B}(6,8){A'}(-2,0){B'}
\pstGeonode[PosAngle={0},PointName=\Omega](0,4){w}
\pstMiddleAB[PosAngle=0]{A}{A'}{M}%place le point M au milieu du segment AA'
\pstMiddleAB[PosAngle=90]{B}{A'}{N}
\pstMiddleAB[PosAngle=-90]{B}{B'}{P}
\pstMiddleAB[PosAngle=-90]{A}{B'}{Q}
\pstLineAB[linecolor=blue,linestyle=dashed]{A}{A'} \pstLineAB[linecolor=blue,linestyle=dashed]{B}{B'}
\pstLineAB[linecolor=blue,linestyle=dashed]{B}{A'} \pstLineAB[linecolor=blue,linestyle=dashed]{A}{B'}
\pstLineAB[linecolor=green]{M}{N}\pstLineAB[linecolor=green]{N}{P}
\pstLineAB[linecolor=green]{P}{Q}\pstLineAB[linecolor=green]{Q}{M}
\end{pspicture*}

\end{center}
	\item On a :
\begin{center}
$\begin{array}{rcl}
	z_{\text{A}'}&=&\text{i}z_{\text{A}} +4+4\text{i}\\
	             &=&\cdots\\
	             &=&6+6\text{i}
\end{array}$
\hspace{1cm}
$\begin{array}{rcl}
	z_{\text{B}'}&=&\text{i}z_{\text{B}} +4+4\text{i}\\
	             &=&\cdots\\
	             &=&-2
\end{array}$
\end{center}
 
	\end{enumerate}
\item %On appelle $m,~ n,~ p$ et $q$ les affixes des points M N, P et Q, milieux respectifs des segments [AA$'$],  [A$'$B], [BB$'$] et [B$'$A].
 
	\begin{enumerate}
		\item M étant le milieu de [AA$'$], on a $m=\dfrac{z_{\text{A}}+z_{\text{A}'}}{2}=\cdots=5+2\text{i}$
		
	\item Le vecteur $\vect{\text{MN}}$ a pour affixe $n-m=\cdots=-4+4\text{i}$ et le  vecteur $\vect{\text{QP}}$ a pour affixe $p-q=\cdots=-4+4\text{i}$.
	Les vecteurs sont donc égaux et par conséquent MNPQ est un parallélogramme. 
	\item On a:
\[ \dfrac{q - m}{n - m}= \dfrac{-4-4\text{i}}{-4+4\text{i}}=\dfrac{(-4-4\text{i})^2}{(-4)^2+4^2}=\cdots=\text{i} \]	
	
	On en déduit que $q - m=\text{i}(n - m)$ donc que a Q est l'image de N dans la rotation de centre M et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$. Par conséquent la parallélogramme MNPQ a un angle droit et deux côtés consécutif de même longueur, c'est un carré.	 
	
	\end{enumerate}
\item  Le vecteur $\vect{\text{AB}'}$ a pour affixe $z_{\text{B}'}-z_{\text{A}}=\cdots=-6+2\text{i}$ et donc pour coordonnées $\vect{\text{AB}'}(-6~;~2)$ et le vecteur $\vect{\Omega\text{N}}$ a pour affixe $n-\omega=\cdots=1+3\text{i}$ et donc pour coordonnées $\vect{\Omega\text{N}}(1~;~3)$.

Le produit scalaire $\vect{\text{AB}'}\cdot\vect{\Omega\text{N}}$ vaut $-6\times 1 +2\times 3=0$.
Les vecteurs sont donc orthogonaux et les droites (B$'$A) et ($\Omega$N) sont perpendiculaires. 

\end{enumerate} 


\vspace{1cm}

\subsection*{Exercice 3 }

\emph{ Commun à tous les candidats.}

\medskip
 
L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk.
 
On considère les points : A$(1~;~-1~;~3)$,  B$(0~;~3~;~1)$,  C$( 6~;~-7~;~-1)$, D$(2~;~1~;~3)$ et E$( 4~;~- 6~;~2)$. 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminons les coordonnées du  barycentre du système $\left\{(\text{A},~ 2),~(\text{B}, - 1),~(C,~1)\right\}$ :
		
\begin{center}
$\begin{array}{rcl}
	x&=& \frac12(2x_{\text{A}}-x_{\text{B}}+x_{\text{C}}\\
	 &=& \cdots\\
	 &=& x_{\text{E}}
\end{array}
\qquad
\begin{array}{rcl}
	y&=& \frac12(2y_{\text{A}}-y_{\text{B}}+y_{\text{C}}\\
	 &=& \cdots\\
	 &=& y_{\text{E}}
\end{array}
\qquad
\begin{array}{rcl}
	z&=& \frac12(2z_{\text{A}}-z_{\text{B}}+z_{\text{C}}\\
	 &=& \cdots\\
	 &=& z_{\text{E}}
\end{array}$

\end{center}

Le barycentre du système $\left\{(\text{A},~ 2),~(\text{B}, - 1),~(C,~1)\right\}$ est bien le point E.
 
	\item  Nous savons que pour tout point $M$ de l'espace, $2\vect{M\text{A}} - \vect{M\text{B}} + \vect{M\text{C}}=2\vect{M\text{C}}$ car E est le barycentre du système $\left\{(\text{A},~ 2),~(\text{B}, - 1),~(C,~1)\right\}$. On a donc les équivalences suivantes:
\begin{center}$
\begin{array}{rcl}
	M\in \Gamma 
	&\iff& \left\|2\vect{M\text{A}} - \vect{M\text{B}} + \vect{M\text{C}}\right\| = 2\sqrt{21}\\
	&\iff& \left\|2\vect{M\text{E}}\right\|= 2\sqrt{21}\\
	&\iff& M\text{E}= \sqrt{21}
\end{array}$
\end{center}
L'ensemble 	$\Gamma$ est donc la sphère de centre E et de rayon $\sqrt{21}$
	
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Les vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AD}}$ ont pour coordonnées respectives $\vect{\text{AB}}\begin{pmatrix}	-1\\4\\-2		\end{pmatrix}$ et $\vect{\text{AD}}\begin{pmatrix}	1\\2\\0		\end{pmatrix}$.
		Les coordonnées n'étant pas proportionnelles, les vecteurs ne sont pas colinéaires et par conséquant les points A, B et D ne sont pas alignés, ils définissent bien un plan.
		
	\item Le vecteur $\vect{\text{EC}}$ a pour coordonnées $\vect{\text{EC}}\begin{pmatrix}	2\\-1\\-3		\end{pmatrix}$. On a :
	
	$\vect{\text{EC}}\cdot \vect{\text{AB}}=2\times(-1) -1\times4 -3\times(-2)=0$ donc $\vect{\text{EC}}\bot \vect{\text{AB}}$.
	
	
	$\vect{\text{EC}}\cdot \vect{\text{AD}}=2\times1 -1\times2 -3\times0=0$ donc $\vect{\text{EC}}\bot \vect{\text{AD}}$.
	
La droite (EC) étant orthogonale à deux droites sécantes du plan (ABD) est orthogonale au plan (ABD). 	
	
	\item Le vecteur $\vect{\text{EC}}\begin{pmatrix}	2\\-1\\-3		\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (ABD) donc une équation de ce plan est $2x-y-3z+d=0$.\\
	 Or ce plan passe par  A$(1~;~-1~;~3)$ donc $2\times1 -(-1)-3\times3+d=0$ d'où $d=6$.
	
Une équation cartésienne du plan (ABD) est $\qquad2x-y-3z+6=0$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  La droite (EC) a pour vecteur directeur $\vect{\text{EC}}\begin{pmatrix}	2\\-1\\-3		\end{pmatrix}$  et passe par le point E$( 4~;~- 6~;~2)$, elle a donc pour représentation paramétrique :
\begin{center}$
\left\{\begin{array}{rcl}
	x&=& 2t+4\\y&=& -t-6\\z&=&  -3t+2\\
\end{array}\right.
\quad t\in\R $
\end{center}
	\item  Les coordonnées du point F intersection de la droite (EC) et du plan (ABD)vérifient:
	\begin{center}$
\left\{\begin{array}{rcl}
 2x-y-3z+6&=&0\\
	x&=& 2t+4\\y&=& -t-6\\z&=&  -3t+2\\
\end{array}\right.$
\end{center}
On a donc 
\begin{center}$
\begin{array}{rcl}
	2(2t+4)-(-t-6)-3(-3t+2)+6&=& 0\\14t&=& -14\\t&=& -1
\end{array}$
\end{center}
Le point F a donc pour coordonnées F$( -2+4~;~ 1-6~;~3+2)$ c'est à dire F$( 2~;~ -5~;~5)$
	\end{enumerate} 
\item On cherche l'intersection entre la sphère $\Gamma$ et le plan (ABD) il faut donc calculer la distance du centre E de la sphère au plan (ABD) c'est à dire la distance EF car F est le projeté orthogonal de E sur (ABD). 

On a $\vect{\text{EF}}\begin{pmatrix}	-2\\1\\3		\end{pmatrix}$ donc EF$=\sqrt{(-2)^2+1^2+3^2}=\sqrt{14}$. Cette distance étant inférieure au rayon, le plan et la sphère sont sécants. Leur intersection est un un cercle de centre F.

Soit M un point de ce cercle, comme M est dans le plan (ABD) les droites (EF) et (FM) sont perpendiculaires en F, le triangle EFM est donc un triangle rectangle en F.
D'après le théorème de Pythagore, 

FM$^2=\text{EM}^2-\text{EF}^2=\left(\sqrt{21}\right)^2-\left(\sqrt{14}\right)^2=7$.

L'intersection entre la sphère $\Gamma$ et le plan (ABD) est le cercle de centre F et de rayon $\sqrt{7}$.
\end{enumerate}

\subsection*{{Exercice 4 \hfill 6 points}}

\emph{ Commun à tous les candidats.}


\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Une primitive de $f'$ est $f$ donc 
\begin{center}
$\displaystyle\int_{0}^1 f'(x)\:\text{d}x = \Big[f(x)\Big]_{0}^1=f(1)-f(0)=\dfrac{1}{2\text{e}}$· 
\end{center}

\item Sur [0~;~1], la courbe représentative de la fonction $f$ est au-dessus du segment [OA] donc l'intégrale   $\displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x $ qui correspond à l'aire sous la courbe est supérieure à l'aire du triangle OAA$'$, où  A$'$ est le point de coordonnées (1~;~0).\\
 Or l'aire du triangle vaut $\dfrac{\text{0A}\times \text{AA}'}{2}=\cdots=\dfrac{1}{4\text{e}}$.

On a bien  	$\displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x \geqslant  \dfrac{1}{4\text{e}}$·
\end{enumerate}
	
\medskip
	
\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Nous savons que $\displaystyle\lim_{x\to +\infty} x\e^{-x}=0$ et comme $\displaystyle\lim_{x\to +\infty} x^2 + 1=+\infty$, on en déduit que $\lim_{x\to +\infty} f(x)=0$.

Ce qui signifie que la courbe $(\mathcal{C})$ admet pour asymptote l'axe des abscisses au voisinage de $+\infty$.

\item On considère la fonction $g$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par : $g(x) = x^3 + x^2 + x - 1$.

La fonction $g$ est un polynôme, elle est donc dérivable et pour tout réel $x\in[0~;~+\infty[$ on a:
\begin{center}
$g'(x)=3x^2+2x+1$
\end{center}
Comme $x$ est positif, $g'(x)$ est toujours strictement positif et donc $g$ est strictement croissante sur $[0~;~+\infty[$.

On a $\displaystyle\lim_{x\to +\infty} g(x)=\lim_{x\to +\infty} x^3=+\infty$ et $g(0)=-1$.

La fonction $g$ est continue, strictement croissante et 0 appartient à l'intervalle image $[-1~;~+\infty[$ donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $g(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
 

\item
	\begin{enumerate}
		\item  $f$ est un quotient de fonctions dérivables, elle est donc dérivable et pour tout réel $x$ on a:
\begin{center}$
\begin{array}{rcl}
	f'(x)&=& \dfrac{(\e^{-x}-x\e^{-x})(x^2+1)-x\e^{-x}\times 2x}{(x^2+1)^2}\\[2mm]
		f'(x)&=& \dfrac{\e^{-x}\Big((1-x)(x^2+1)-2x^2\Big)}{(x^2+1)^2}\\[3mm]
		f'(x)&=& \dfrac{\e^{-x}(-x^3-x^2-x+1)}{(x^2+1)^2}\\[3mm]
		f'(x)&=& \dfrac{-g(x)\e^{-x}}{(x^2+1)^2}
\end{array}$
\end{center}
	Le dénominateur est toujours strictement positif car c'sst un carré et $\e^{-x}$ est 	toujours strictement positif car c'est une exponentielle donc $f'(x)$ et $g(x)$ sont de signes contraires.
		
		\item Nous avons vu que $g$ était strictement croissante et s'annulait en $\alpha$ donc $g(x)$ est négatif sur $[0~,~\alpha[$ et positif sur $]\alpha~,~+\infty[$. On en déduit le tableau suivant:
		   \begin{center}
\begin{pspicture}(9,3.2)
\psframe(9,3.2)
\psline(2,0)(2,3.2) %trait vertical
\uput[u](1,2.5){$x$} \uput[ur](2,2.5){$-\infty$} \uput[u](5.5,2.5){$\alpha$}\uput[ul](9,2.5){$+\infty$} 
\psline(0,2.5)(9,2.5) 
\psline(0,1.8)(9,1.8) 
\uput[u](1,1.8){$f'(x)$}  \uput[u](3.7,1.9){$+$} \uput[u](5.5,1.9){$0$}\uput[u](7,1.9){$-$}
\uput[u](1,0.8){$f(x)$}  \uput[ur](2,0){$0$} \uput[d](5.5,1.8){$f(\alpha)$} \uput[ul](9,0){$0$} 
\psline{->}(2.8,0.4)(5.1,1.5) \psline{->}(5.9,1.5)(8.2,0.3)
\end{pspicture} 
\end{center} 
		
	\end{enumerate} 
	
\item On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour  tout entier naturel $n$ par : 
\[u_{n} = \int_{n}^{2n} f(x)\:\text{d}x.\] 
	\begin{enumerate}
		\item  D'après la question précédente, on sait que pour tout réel $x\in [0~;~+\infty[ \quad f(x)$ est positif.\\		
		Etudions le signe de $\dfrac12- \dfrac{x}{x^2 + 1}=\cdots=\dfrac{(x-1)^2}{2(x^2+1)}$.\\		
		Le numérateur étant un carré est toujours positif et le dénominateur est toujours positif on en déduit que   $\dfrac12- \dfrac{x}{x^2 + 1}\geqslant 0$ c'est à dire que $ 0 \leqslant \dfrac{x}{x^2 + 1}  \leqslant \dfrac{1}{2}$. 
	\item $f$ ne prenant que des valeurs positives, d'après la positivité de l'intégrale $0 \leqslant  u_{n}$.\\	
	Pour tout réel $x\in [0~;~+\infty[ $ on a :
	\begin{center}$
    \begin{array}{lcl}
     	&\dfrac{x}{x^2 + 1}  \leqslant \dfrac{1}{2} \\[3mm]
    \text{donc}	\qquad \qquad \qquad	&\dfrac{x\e^{-x}}{x^2 + 1}  \leqslant       \dfrac{1}{2}\e^{-x}& \qquad\text{car }\e^{-x}>0 \\[3mm]
\text{d'où}	&\int_{n}^{2n} f(x)\:\text{d}x \leqslant \int_{n}^{2n} \dfrac{1}{2}\e^{-x}\:\text{d}x \\[2mm]
& u_{n} \leqslant \dfrac{1}{2}\Big[-\e^{-x}\Big]_n^{2n} \\[3mm]
& u_{n} \leqslant \dfrac{1}{2}\left(\text{e}^{-n} - \text{e}^{-2n}\right) 
\end{array}$
\end{center}
	
	\item $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}{e}^{-n}=\lim_{n\to+\infty}{e}^{-2n}=\lim_{x\to-\infty}{e}^{x}=0$ donc $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{1}{2}\left(\text{e}^{-n} - \text{e}^{-2n}\right)=0$.\\	
	Le théorème d'encadrement nous permet d'affirmer que la suite $(u_n)$ converge et a pour limite 0 en $+\infty$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document} 