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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2012}}
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\thispagestyle{empty} 

\begin{center}
{ \Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES  Polynésie 8  juin 2012~\decofourright}} \end{center}
 
\bigskip 

\textbf{Exercice 1 \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip
 
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions, \textbf{une seule des trois réponses proposées est exacte}. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.

\emph{Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point}.

\medskip

Soit  $f$  la fonction définie sur l'intervalle  $]0~;~+\infty [$  par :

\[f(x) = 2x -x \ln x.\]
 
\begin{enumerate}
	\item $f(3 \text{e} )$ est égal à : 
	
\begin{enumerate}
	\item $6\text{e} -3\text{e} \ln 3$
	\item $3\text{e} \left( 1 - \ln 3 \right)$
	\item $3 \text{e} ^2 \ln\left(3 \text{e} \right)$
\end{enumerate}
\item  L'ensemble des solutions de l'équation  $f(x) = 0 $   est :
\begin{enumerate}
	\item $S = \left\{0~;~\text{e}^2 \right\}$
	\item $S = \left\{\text{e}^2 \right\}$
	\item $S = \left\{ \ln 2\right\}$
\end{enumerate}
\item La limite de la fonction $f$  en    $+ \infty$    est égale à :
\begin{enumerate}
	\item $+\infty$
	\item 2
	\item $-\infty$
\end{enumerate}
\item  Une primitive de la fonction  $f$ sur  $]0~;~+\infty [$   est la fonction $F$ définie sur $]0~;~+\infty [$   par :
	\begin{enumerate}
		\item $F(x) = 1 - \ln x$
		\item $F(x) = \dfrac{5}{4} x^2 - \dfrac{1}{2} x^2 \ln x$
		\item $F(x) = x^2 - x^2 \ln x$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

L'Etat du Wyoming, aux Etats-Unis, accueille chaque année près de 3,5 millions de touristes, notamment venus visiter les parcs nationaux de Yellowstone et de Grand Teton.

92\,\%  de  ces  touristes  visitent  le  parc  de  Yellowstone ;  parmi  ceux-là,  60\,\%  visitent  aussi  le parc du Grand Teton. 
 
Enfin, 6\% des touristes se rendant au Wyoming ne visitent aucun des deux parcs. 

\medskip

On  interroge  au  hasard  un  touriste  s'étant  rendu  au  Wyoming ;  on  suppose  que  tous  ces touristes ont la même probabilité d'être interrogés. 

On  note  $Y$    l'évènement :  \og le  touriste  a  visité  le  parc  de  Yellowstone \fg{} ;  $\overline{Y}$   désigne l'évènement contraire de $Y$. 

On  note  $G$  l'évènement :  \og le  touriste  a  visité  le  parc  du  Grand  Teton \fg{}  ;  $\overline{G}$   désigne l'évènement contraire de $G$. 

On note  $p(A)$   la probabilité d'un évènement $A$ et, si $B$ est un évènement de probabilité non nulle, $p_B(A)$   la probabilité d'un évènement $A$ sachant que l'évènement $B$ est réalisé. 

\emph{Si nécessaire, les résultats seront arrondis à $10^{-3}$  près}.

\begin{enumerate}
\item Que vaut  $p\left(  \overline{Y} \cap \overline{G} \right)$ la probabilité de l'évènement \og $\overline{Y}$ et $\overline{G}$ \fg{} ?
\item Construire  un  arbre  pondéré  décrivant  la  situation  étudiée,  en  y  indiquant  les probabilités données par l'énoncé qui correspondent à certaines de ses branches.
\item Calculer $p_{\overline{Y}}\left(\overline{G} \right)$. Interpréter ce résultat par une phrase. 
\item Montrer que $p(G)= 0,572$. 
\item Un touriste a visité le parc du Grand Teton. Calculer la probabilité qu'il ait aussi visité le parc de Yellowstone (le résultat sera arrondi à $10^{-3}$  près).
\item Le billet d'entrée pour le parc de Yellowstone est de 10 dollars, celui pour le parc du Grand Teton est de 7 dollars. 
	\begin{enumerate}
		\item Recopier  et  compléter  le  tableau  suivant  donnant  la  loi  de  probabilité  de  la somme,  en  dollars,  dépensée  pour  la  visite  des  parcs  de  Yellowstone  et  du Grand Teton par un touriste se rendant au Wyoming.
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Somme en dollars & 0 &  &  & 17\\ \hline
Probabilité &  &  &  &  \\ \hline 
\end{tabularx}
\end{center}
		\item Calculer l'espérance de cette loi et interpréter le résultat.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Jonathan  est  un  sportif  adepte  du  semi-marathon  (course  à  pied  de  21,1  km).  Depuis  le  1\up{er} janvier  2012,  il  a  décidé  de  courir  un  semi-marathon  par  mois.  Afin  d'améliorer  sa préparation, il décide d'enchaîner les courses pédestres de 10 km dans différentes villes.  

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

Le graphe pondéré ci-dessous représente les villes A, B, C, D, E, F, H organisant des courses de  10  km  et  la  ville  G  est  celle  organisant  le  prochain  semi-marathon  auquel  Jonathan  est inscrit. 

Le poids de chaque arête représente le temps, en minutes, nécessaire pour relier une ville à une autre grâce aux transports en commun. 

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(0,0)(11,8.3)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newcommand{\Pg}[1]{\small{\textsf{\prune{#1}}}}% poids des arêtes
\newcommand{\Sg}[1]{\small{\textsf{\bleu{#1}}}}% Sommet du graphe
\psset{dotstyle=*,dotscale=1.2,linecolor=bleu}
\dotnode(4,8){A} \dotnode(0,2.5){B} \dotnode(3.5,0){C} \dotnode(6,1.5){D} \dotnode(5.2,6){E} \dotnode(9,7.5){F} \dotnode(11,5.5){H} \dotnode(11,3){G} 
\uput[u](4,8){\Sg{A}} \uput[l](0,2.5){\Sg{B}} \uput[d](3.5,0){\Sg{C}} \uput[d](6,1.5){\Sg{D}} \uput[u](5.2,6){\Sg{E}} \uput[u](9,7.5){\Sg{F}} \uput[r](11,3){\Sg{G}} \uput[r](11,5.53){\Sg{H}}
\psset{linewidth=1pt,linecolor=bleu,shortput=nab}
\ncline{A}{B}_{\Pg{60}} \ncline{A}{C}^{\Pg{70}} \ncline{A}{E}^{\Pg{20}} \ncline{A}{F}^{\Pg{45}} \ncline{B}{C}_{\Pg{10}} \ncline{B}{E}_{\Pg{20}} \ncline{C}{D}_{\Pg{15}} 
\ncline{D}{E}_{\Pg{60}} \ncline{D}{G}_{\Pg{20}} \ncline{E}{F}^{\Pg{40}} \ncline{E}{H}_{\Pg{50}} \ncline{F}{H}^{\Pg{35}} \ncline{G}{H}_{\Pg{20}} 
\end{pspicture}
\end{center}

Jonathan vient de courir dans la ville A et souhaite se rendre dans la ville G pour repérer le parcours  de  son  prochain  semi-marathon.  Déterminer  à  l'aide  d'un  algorithme  le  chemin permettant de relier le plus rapidement la ville A à la ville G et donner la durée de ce parcours en minutes. 

\bigskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

Grâce à son entraînement et à son expérience, Jonathan sait que :
\begin{itemize}
	\item S'il  a  terminé  la  course  lors  de  son  précédent  semi-marathon,  il  terminera  le  prochain semi-marathon avec une probabilité de 0,62 ; 
\item  S'il  a  abandonné  lors  de  son  précédent  semi-marathon,  il  terminera  le  prochain  semi-marathon avec une probabilité de 0,8.
\end{itemize}
    
Jonathan a terminé son semi-marathon de janvier 2012.  
Pour tout entier naturel $n$, on note $P_n$ la matrice ligne $\begin{pmatrix} r_{n}  & t_{n}  \\ \end{pmatrix}$ traduisant l'état probabiliste du 
$n$-ième mois écoulé depuis janvier 2012, où $r_n$ désigne la probabilité que Jonathan abandonne au semi-marathon du $n$-ième mois et $t_n$ la probabilité que Jonathan termine le semi-marathon du $n$-ième mois.

L'état probabiliste initial, correspondant à janvier 2012, est donc donné par : 

$P_0= \begin{pmatrix} 0  & 1  \\ \end{pmatrix}$. 
\begin{enumerate}
\item Traduire les données par un graphe probabiliste dont les sommets sont notés R et T (R lorsque Jonathan abandonne, T lorsqu'il termine le semi-marathon).
\item En  déduire  la  matrice  de  transition  en  considérant  les  sommets  dans  l'ordre alphabétique.
\item Calculer  l'état  probabiliste $P_2$.  En  déduire  la  probabilité  que  Jonathan  ait  abandonné lors du semi-marathon couru en mars 2012.
\item Soit $P$ la matrice ligne  $\begin{pmatrix} x  & y  \\ \end{pmatrix}$   donnant l'état stable. 	
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les valeurs de $x$ et de $y$ arrondies à $10^{-3}$  près.
		\item Interpréter les résultats obtenus.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

\begin{center}
\emph{\textbf{Les parties A et B sont  indépendantes.}}
\end{center}

\textsf {\textbf{\textsc{Partie a}}}

\medskip

Le tableau ci-dessous donne les quantités de super sans plomb livrées et vendues en France de 2001 à 2009 (les quantités sont exprimées en millions de tonnes). 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.7cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année  &         2001 & 2002 & 2003 & 2004  & 2005 & 2006 & 2007 & 2008 & 2009 \\ \hline
Rang de l'année $x_i$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline
Quantité (millions de tonnes) $y_i$ & 11,6 & 11,4 & 11,2 & 10,9 & 10,7 & 10,2 & 9,8 & 9,1 & 8,7 \\ \hline 
\multicolumn{10}{r}{\emph{Source : INSEE}} 
\end{tabularx}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Représenter dans le plan muni d'un repère orthogonal le nuage de points $M_i \left(x_i~;~y_i\right)$, avec $1 \leqslant i \leqslant 9$, associé à cette série statistique. On prendra pour unités graphiques :
	
\begin{itemize}
	\item sur l'axe des abscisses : 1 centimètre pour une année, 
	\item sur  l'axe  des  ordonnées :  2  centimètres  pour  un  million  de  tonnes,  en commençant la graduation à 7 millions de tonnes. 
\end{itemize}
\item Déterminer  les  coordonnées  du  point  moyen  G  du  nuage.  Placer  ce  point  sur  le graphique.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite d'ajustement de $y$ en  $x$,  obtenue  par  la  méthode  des  moindres  carrés  (aucune  justification  n'est demandée). Les coefficients de l'équation de la droite seront arrondis à $10^{-2}$  près.
		\item Tracer la droite d'ajustement obtenue.  
	\end{enumerate}
\item En  supposant  que  cet  ajustement  reste  valable  jusqu'en  2012,  déterminer  une estimation des quantités de Super Sans Plomb livrées et vendues pour l'année 2012.
\end{enumerate}

\bigskip

\textsf {\textbf{\textsc{Partie b}}}

\medskip

Le tableau ci-dessous donne les quantités de gazole livrées et vendues en France de 2001 à 2010 (les quantités sont exprimées en millions de tonnes).

\medskip

{\small
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.6cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année  			&2001 &2002 &2003 &2004 &2005 	&2006 	&2007&2008 	&2009 	&2010 \\ \hline
Rang de l'année $x_i$ & 1 	& 2   & 3 	& 4 	& 5 	& 6	 & 7 	& 8 	& 9 & 10 \\ \hline
Quantité (millions de tonnes) $y_i$ &28,6 &29,4 &30,1 &30,8 &31,1 &31,9 &32,8 &33 &33,1 &33,4  \\ \hline 
\multicolumn{11}{r}{\emph{Source : INSEE}} 
\end{tabularx}     
}
\medskip
 
Le nuage de points  $M_i \left(x_i~;~y_i\right)$   avec  $i$  variant entre 1 et 10 est représenté ci-dessous. 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(11,7)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=5,subgridcolor=gray,subgridwidth=0.1pt, gridlabels=0](0,0)(11,7)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Oy=27]{-}(0,0)(11,7)
\rput(5.5,-0.6){\footnotesize{\textbf{Rang de l'année}}} 
\rput{90}(-0.8,3.5){\footnotesize{\textbf{Quantité en millions de tonnes}}}
\savedata{\nuage}[ (1,1.6) (2,2.4) (3, 3.1) (4, 3.8) (5,4.1) (6, 4.9) (7,5.8) (8,6) (9,6.1) (10,6.4) ]
\dataplot[dotstyle=*,linecolor=bleu,plotstyle=dots]{\nuage}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
	\item L'allure  de  ce  nuage  de  points  permet  d'envisager  un  ajustement  logarithmique.  On pose, pour tout $i$ compris entre 1 et 10 : $z_i = \e ^{\frac{y_i}{10}}$
	
	Calculer les valeurs de  $z_3$ et  $z_{10}$    (on arrondira à $10^{-2}$  près). 
	
\medskip
{\footnotesize
\begin{tabularx}{1\linewidth}{|m{1.2cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
 $x_i$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \hline
$z_i = \e ^{\frac{y_i}{10}}$ \rule[-4mm]{0pt}{1cm} & 17,46 & 18,92 & & 21,76 & 22,42 & 24,29 & 26,58 & 27,11 & 27,39 & \\ \hline 
\end{tabularx}
}
\medskip

\item On admet qu'une équation de la droite d'ajustement de $z$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés, est : $z = 1,25x + 16,56$. 

En déduire une expression de $y$ en fonction de $x$ sous la forme $y = k \ln (cx + d)$  où $k$, $c$, $d$ désignent trois réels à déterminer.
\item En utilisant ce modèle, déterminer à partir de quelle année la consommation de gazole devrait dépasser 35 millions de tonnes.    
\end{enumerate}
 
\pagebreak

\textbf{Exercice 4 \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

\textsf {\textbf{\textsc{Partie a}}}

\medskip
 
Soit $d$  la fonction définie sur l'intervalle  $[0~;~4]$ par : $d(x) = \dfrac{3x+0,3}{\text{e}^x}-1,3$. 

On note $d'$ la fonction dérivée de la fonction $d$ sur l'intervalle $[0~;~4]$.

\begin{enumerate}
	\item Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~4]$, $d'(x)=\dfrac{-3x + 2,7}{\text{e}^x}$
	\item Étudier, pour $x$ variant dans l'intervalle $[0~;~4]$, le signe de $d'(x)$, puis dresser le tableau de  variations  complet  de  la  fonction  $d$  sur    l'intervalle $[0~;~4]$.  (on  donnera  dans  ce tableau des valeurs arrondies à $10^{-2}$ près). 
	\item En déduire le signe de la fonction $d$ sur l'intervalle $[0~;~4]$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textsf {\textbf{\textsc{Partie b}}}

\medskip
 
Soient $f$ et $g$ les fonctions définies sur $[0~;~4]$ par 

\[f(x) = \dfrac{3x+3,3}{\text{e}^x} \quad \text{et}\quad g(x) = - 1,3x + 5,97.\]
 
On admet que les fonctions $f$ et $g$ sont décroissantes sur $[0~;~4]$ ; la fonction  $f$ est représentée ci-dessous par la courbe $C_f$ et la fonction $g$ par le segment de droite $D$. 

 \begin{center}
\psset{xunit=2cm, yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(5,7)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(3*x+3.3)/(EXP(x))}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(5,7)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{-}(0,0)(-0.5,-0.5)(5,7)
\psaxes[linewidth=1pt,ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}}
\uput[d](0.5,0){\footnotesize{$\vect{\imath}$}} \uput[l](0,0.5){\footnotesize{$\vect{\jmath}$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{4}{\f}
\psline[linecolor=prune,linewidth=1.25pt](0,5.97)(4,.77) 
\uput[u](1.4,2){\footnotesize{\bleu{$C_f$}}} \uput[u](1.5,4){\footnotesize{\prune{$D$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Soit $h$  la fonction définie sur $[0~;~4]$ par :  $h(x) = g(x) - f(x)$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout $x \in [0~;~4]$, $h'(x)= d(x)$ ($d$ désigne la fonction étudiée dans la partie A).
		\item En déduire le tableau de variations de la fonction $h$ sur $[0~;~4]$.
		\item Montrer que l'équation $h(x)=1$  admet une unique solution $\alpha$  dans l'intervalle $[0~;~4]$. En donner une valeur approchée à $10^{-1}$ près.
	\end{enumerate}
\item Calculer l'intégrale :$\displaystyle\int_1^{4}{g(x) \: \mathrm {d} x}$
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{Partie c}}}

\medskip
 
\emph{Dans  cette  partie,  toute  trace  de  recherche,  même  incomplète,  ou  d'initiative,  même  non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\emph{Les résultats de la partie} B \emph{pourront être utilisés pour répondre aux questions suivantes.} 

\medskip

Une entreprise prévoit de fabriquer et de commercialiser mensuellement entre 1 et 4 tonnes d'un produit cosmétique (toute la production est vendue).
 
Pour  $x$  tonnes  de  produit  fabriquées  mensuellement  (avec  $x \in [0~;~4]$ ),  on  admet  que  $f(x)$ désigne le coût de production par tonne (en centaines de milliers d'euros), et $g(x)$ le prix de vente par tonne (en centaines de milliers d'euros). 

\begin{enumerate}
	\item L'entreprise décide de produire 1 tonne par mois. Déterminer, en arrondissant à l'euro près,  le  coût  de  production  de  la  tonne  produite,  son  prix  de  vente,  et  le  bénéfice mensuel ainsi réalisé.
	\item Déterminer, en euros, le prix de vente moyen par tonne pour une production comprise entre $1$ et $4$ tonnes.
	\item L'entreprise souhaite réaliser un bénéfice par tonne d'au moins 
	\np{100000}~euros. Quelles quantités doit-elle produire pour satisfaire cette contrainte ?
\end{enumerate}
\end{document}