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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{13 septembre 2012}}
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\thispagestyle{empty} 

\begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES  Polynésie 13 septembre 2012~\decofourright}}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\bigskip
 
Le tableau ci-dessous représente l'évolution de l'indice du PIB de la Chine de 1985 à 2005, base 100 en 1985

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{8}{@{}>{\centering \arraybackslash}X@{}|}}\hline 
année &1985 &1988 &1991 &1994 &1997 &2000 &2003 &2005\\ \hline 
Rang de l'année : $x_{i},\:1 \leqslant i \leqslant 8$ &0 &3 &6 &9 &12 &15 &18 &20\\ \hline 
 Indice du PIB : $y_{i},\:1 \leqslant i \leqslant 8$& 100 &131,29& 172,38& 226,32& 297,15& 390,13& 512,22& 614,16\\ \hline
\multicolumn{9}{r}{\emph{Source : Banque Mondiale}}\\ 
\end{tabularx}

\medskip 

On veut étudier l'évolution de l'indice du PIB $y$ en fonction du rang de l'année $x$. 


\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Représenter le nuage de points $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$  ($1 \leqslant i \leqslant 8$) associé à cette série dans le plan muni d'un repère orthogonal d'unités graphiques :
\setlength\parindent{6mm}		 
\begin{itemize}
\item[] sur l'axe des abscisses : 1~cm pour 1 année; 
\item[] sur l'axe des ordonnées : 1~cm pour $50$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
		\item Un ajustement affine semble t-il approprié ? 
	\end{enumerate}
\item Pour $1 \leqslant i \leqslant 8$, on pose $z_{i} = \ln y_{i}$. 
Recopier et compléter le tableau suivant (les valeurs de $z_{i}$ seront arrondies au centième).

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline  
Rang de l'année : $x_{i}, \:1 \leqslant i \leqslant 8$ &0 &3 &6 &9 &12 &15 &18 &20\\ \hline 
$z_{i} = \ln y_{i},\:1 \leqslant i \leqslant 8$&&&&&&&&\\ \hline 
\end{tabularx} 

\medskip

\item Déterminer à l'aide de la calculatrice une équation de la droite d'ajustement de $z$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis au centième). Aucune justification n'est demandée. 
\item En déduire une estimation de l'indice du PIB de la Chine en 2012 d'après cet ajustement. 
\item Dans le cas général donner un ajustement exponentiel de $y$ en fonction de $x$, sous la forme $y = a\text{e}^{bx}$, les coefficients $a$ et $b$ étant arrondis au centième. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip
 
\emph{Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes}

\medskip
 
\textbf{PARTIE A}

\medskip
 
Le tableau ci-dessous donne la récolte de bois en France en 2005 en milliers de m$^3$ suivant que l'on a affaire à des feuillus ou des conifères destinés au bois d'{\oe}uvre ou au bois d'industrie.

\begin{center} 
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&Feuillus &Conifères &Total\\ \hline 
Bois d'{\oe}uvre &\np{6076} &\np{14803} &\np{20879}\\ \hline 
Bois d'industrie &\np{5413} &\np{6805} &\np{12218}\\ \hline 
Total &\np{11489} &\np{21608} &\np{33097}\\ \hline
\multicolumn{4}{r}{\emph{Source : Ministère de l'Agriculture et de la Pêche - SCEES 2005}}
\end{tabularx}
\end{center} 

\emph{Dans cette partie, les pourcentages seront arrondis à} 1\,\%.

\medskip
 
À l'aide du tableau ci-dessus :

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer le pourcentage de feuillus dans la récolte totale. 
\item Déterminer, parmi les conifères, le pourcentage de bois destiné à l'industrie. 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{PARTIE B}

\medskip 
Chez un grossiste, les quatre catégories \og feuillu - bois d'{\oe}uvre \fg, \og feuillu - bois d'industrie \fg, \og conifère - bois d'{\oe}uvre \fg{} et \og conifère - bois d'industrie \fg{} sont réparties chacune dans différents lots de même volume.
 
On sait par ailleurs que :
 
\setlength\parindent{8mm}		 
\begin{itemize}
\renewcommand \labelitemi{$\bullet$}
\item 70\,\% des lots sont du bois de conifère ; 
\item Parmi les lots de feuillus, 45\,\% sont destinés à l'industrie ;
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Le grossiste prélève au hasard un lot (on suppose que tous les lots ont la même chance d'être choisis).
 
On considère les évènements :

\setlength\parindent{8mm}		 
\begin{itemize} 
\item[]$F$ : \og le lot est constitué de feuillus \fg, 
\item[]$C$ : \og le lot est constitué de conifères \fg, 
\item[]$I$ : \og le lot est destiné à l'industrie \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Traduire toutes les données de l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré (on ne demande aucune explication).
 \end{enumerate}
La probabilité qu'un lot pris au hasard soit destiné au bois d'{\oe}uvre est de $0,585$.
 \begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
\item Déterminer la probabilité de l'évènement $I \cap  C$. Interpréter ce résultat. 
\item Le lot pris au hasard est destiné à l'industrie. Quelle est la probabilité qu'il soit constitué de conifères ? 
\item Quatre lots sont prélevés au hasard. Vue la grande quantité de lots présents chez le grossiste, on peut assimiler ce prélèvement à une succession de quatre tirages identiques et indépendants.
 
Déterminer la probabilité qu'il y ait au moins un lot constitué de bois d'{\oe}uvre. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip 
 
Le centre commercial Commerce Plus est implanté dans une ville. La première semaine, 80\,\% des habitants de la ville viennent faire leurs achats dans ce centre commercial, puis on constate dans les semaines suivantes que :
 
\setlength\parindent{8mm}		 
\begin{itemize}
\renewcommand \labelitemi{$\bullet$}
\item  la probabilité qu'un habitant étant venu faire des achats dans le centre commercial y retourne la semaine suivante est égale à $0,55$ ; 
\item la probabilité qu'un habitant n'étant pas venu faire des achats dans le centre commercial y aille la semaine suivante est égale à $0,6$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On cherche à étudier l'évolution de la répartition des visites des habitants dans le centre commercial sur plusieurs semaines.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On note A l'état : \og l'habitant vient faire ses courses au centre commercial \fg.
 
On note B l'état: \og l'habitant ne vient pas faire ses courses au centre commercial \fg. 
	\begin{enumerate}
		\item Représenter la situation ci-dessus par un graphe probabiliste.  
		\item On note M la matrice de transition de ce graphe. 
		
Vérifier que  $\mathrm{M}= \begin{pmatrix}0,55& 0,45\\0,6&0,4\end{pmatrix}$. 
	\end{enumerate} 
\item On appelle $P_{n} = \left(a_{n}\quad b_{n}\right)$ la matrice traduisant la répartition des habitants selon leur venue au centre commercial au cours de la $n$-ième semaine : 

\setlength\parindent{8mm}		 
\begin{itemize}
\renewcommand \labelitemi{$\bullet$}
\item $a_{n}$ représente la proportion d'habitants qui vient faire ses courses au centre commercial au cours de la $n$-ième semaine, 
\item $b_{n}$ représente la proportion d'habitants qui ne vient pas faire ses courses au centre commercial au cours de la $n$-ième semaine. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Ainsi, on a $P_{1} = (0,8\quad 0,2)$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $P_{2}$ et $P_{3}$. 
		\item Donner une interprétation de $P_{3}$ en termes de répartition des habitants.
	\end{enumerate} 
\item  Soit $P = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix}$ la matrice ligne de l'état probabiliste stable. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $x$ et $y$. On donnera les valeurs exactes, puis les résultats arrondis au centième. 
		\item Interpréter ces résultats.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\bigskip
 
Une entreprise fabrique un produit chimique. Elle peut en produire $x$ mètres cube chaque jour ; on suppose que $x$ appartient à l'intervalle [1~;~6].
 
Le coût total de production $C_{T}$, exprimé en milliers d'euros, est fonction de la quantité produite $x$ : 
 
\[C_{T}(x) = \dfrac{x^2}{2} + 4\ln x + 5,6\quad  \text{pour} x \in  [1~;~6].\]

\begin{enumerate}
\item Vérifier que la fonction $C_{T}$ est strictement croissante sur l'intervalle [1~;~6]. 
\item On note $C_{M}(x)$ le coût moyen de production en milliers d'euros du mètre cube pour une production journalière de $x$ mètres cube, avec $x \in  [1~;~6]$. 

On rappelle que $C_{M}(x) = \dfrac{C_{T}(x)}{x}$.
  
	\begin{enumerate}
		\item Écrire l'expression de $C_{M}(x)$ en fonction de $x$. 
		\item On admet que la fonction $C_{M}$ est dérivable sur l'intervalle [1~;~6] et on appelle $C^{\prime}_{M}$ sa fonction dérivée. 
		
		Calculer $C^{\prime}_{M}(x)$, et vérifier que 	$C^{\prime}_{M}(x) = \dfrac{x^2 - 3,2 - 8\ln x}{2x^2}$ pour tout $x$ de l'intervalle [1~;~6]. 
	\end{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [1~;~6] par $f(x) = x^2 - 3,2 - 8\ln x$. 
	\begin{enumerate}
		\item On admet que $f$ est dérivable sur [1~;~6]. Étudier les variations de $f$ sur [1~;~6]. 
		\item Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ possède une solution unique $\alpha$ dans [2~;~6] ; déterminer une valeur approchée par excès à $10^{-1}$ près de $\alpha$. 
		\item En déduire le signe de $f(x)$ sur [1~;~6] (on ne demande pas de justification).
	\end{enumerate} 
\item On prendra pour $\alpha$ la valeur approchée trouvée à la question 3. b.
 
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant les résultats de la question 3., étudier le sens de variation de la fonction $C_{M}$ sur [1~;~6]. Construire son tableau de variation (les valeurs dans le tableau seront arrondies au dixième). 
		\item Quel est le coût moyen minimal de production du mètre cube de produit ?
	\end{enumerate} 
\item \emph{Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
Comment faut-il choisir le prix de vente du mètre cube de produit pour que l'entreprise puisse faire des bénéfices quelle que soit la production choisie dans l'intervalle donné ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\bigskip
 
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur l'ensemble des réels $\R$. On note $f^{\prime}$ sa fonction dérivée sur $\R$.
 
On appelle $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative, représentée en ANNEXE 1 dans un repère orthonormé. On appelle $(T)$ la tangente à $\mathcal{C}_{f}$ au point A de coordonnées $(0~;~- 1)$.
 
On admet que la fonction $f$ admet un maximum en $x = 3$.

\bigskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Cette partie est un QCM (Questionnaire à Choix Multiples). Chaque question admet une seule réponse exacte. Pour chacune des questions, indiquer sur votre copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Il n'est pas demandé de justification.

\emph{Dans cette première partie, une réponse exacte rapporte $0,5$ point ; une réponse fausse enlève $0,25$ point ; l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Si le total des points est négatif, la note attribuée à cette partie est ramenée à zéro.}
 
 \medskip
 
\textbf{Question 1 :}

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~~$}X}} 
$\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = - \infty$&$\displaystyle\lim_{x \to - \infty} 
f(x) = - \infty$&$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} 
f(x) = + \infty$\\
\end{tabularx}
\medskip 
 
\textbf{Question 2 :} sur l'intervalle $[ - 1~;~7]$ $f^{\prime}(x)$ vérifie :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~~$}X}}  
$f^{\prime}(x) > 0$ sur $]1~;~7]$ & $f^{\prime}(x) < 0$ sur $[- 1~;~0]$ & $f^{\prime}(x) < 0$ sur $]3~;~7]$\\
\end{tabularx}
\medskip 
 
\textbf{Question 3 :} l'équation réduite de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point A est : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~~$}X}}
$y = - 1$ 	& $y = x + 1$ 	& $y = 1,5x - 1$\\
\end{tabularx}
\medskip 
 
\textbf{Question 4 :}

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~~$}X}} 
$\displaystyle\int_{2}^4 f(x)\:\text{d}x = f(4) - f(2)$&$0,5 \leqslant \displaystyle\int_{2}^4 f(x)\:\text{d}x \leqslant 1,5$&$\displaystyle\int_{2}^4 f(x)\:\text{d}x$   
n'existe pas.\\
\end{tabularx}
\medskip 
 
\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
On considère la fonction $g$ définie et dérivable sur l'ensemble des réels $\R$, telle que 

\[g(x) = (- 2x - 2) \times  \text{e}^{- 0,5x}\]
 
On note $g'$ sa fonction dérivée sur $\R$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout $x$ appartenant à $\R$, $g'(x) = (x - 1) \times \text{e}^{- 0,5x}$.
 
\item Étudier le signe de $g^{\prime}$ sur $\R$ et en déduire les variations de $g$ sur $\R$. 
\item Calculer $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} g(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x)$. (On utilisera le résultat suivant : 

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x\text{e}^{- 0,5x} = 0$). 
\item Construire la courbe représentative de $g$, notée $\mathcal{C}_g$, dans le repère fourni en ANNEXE 1 (sur lequel est construite $\mathcal{C}_f$). 
\item Donner graphiquement un encadrement par deux entiers consécutifs des coordonnées de $I$, point d'intersection des courbes  $\mathcal{C}_f$ et  $\mathcal{C}_g$. 
\item On admet maintenant que $g' = f$.
 
Déterminer par le calcul les coordonnées exactes du point $I$. 
\item Calculer la valeur moyenne de $f$ sur [0~;~1] ; on donnera d'abord sa valeur exacte puis sa valeur approchée à $10^{-2}$ près. 
\end{enumerate} 

\newpage

\begin{center}
{\Large{\textbf{ANNEXE 1}}}

\bigskip
 
\textbf{À rendre avec la copie}

\begin{flushleft} 
\textbf{Exercice 4}
\end{flushleft}

\vspace{0.5cm}

\psset{unit=1.6cm}
\rput{-90}(0,-4.75){
\begin{pspicture*}(-2,-4)(8.5,3.5)
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\end{pspicture*}}
\end{center}
\end{document}