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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\small A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2001}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Polynésie juin 2001~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire et de spécialité}

\medskip

Dans le plan complexe $P$ rapporté au repère orthonormal direct 
\Ouv, unité graphique 2~cm, on considère les points A et B, d'affixes respectives 
$z_{\text{A}} = - 1$ et

$z_{\text{B}} = 3\text{i}$.

Soit la fonction $f$ de $P$ privée du point A dans $P$ qui à tout point $M$ 
d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que : $z' = \text{i}\left(\dfrac{z - 3\text{i}}{z + 1}\right)$ \quad (1).

\begin{enumerate} 
\item Soit C le point d'affixe $z_{\text{C}} = 2 - \text{i}$. Montrer qu'il existe un seul point D tel que $f$(D) = C.
\item Déterminer la nature du triangle ABC.
\item À l'aide de l'égalité (1), montrer que, pour tout $M$ distinct de A 
et de B :

O$M' = \dfrac{\text{B}M}{\text{A}M}$ ~et $\left(\vect{u},~ \vect{\text{O}M'}\right) = 
\dfrac{\pi}{ 2} + (\vect{M\text{A}},~ \vect{M\text{B}}$) \:
(modulo 2$\pi$).
\item En déduire et construire les ensembles de points suivants :
	\begin{enumerate}
		\item L'ensemble $E$ des points $M$ tels que l'image $M'$ soit située sur le  cercle (F) de centre O, de rayon 1.
		\item L'ensemble $F$ des points $M$ tels que l'affixe de $M'$ soit réelle. 
	\end{enumerate}
\item On considère la rotation $R$ de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$.

On note C$_1$ l'image de C par $R$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'affixe de C$_1$.
		\item Montrer que C$_1$ appartient à l'ensemble $F$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}
 
\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

Une boîte contient 8 cubes: $\left\{\begin{array}{c}
1~\text{gros rouge et }~3 ~\text{petits rouges}\\
2 ~\text{gros verts et}~ 1 ~\text{petit vert}\\
1 ~\text{petit jaune}\\
\end{array}\right.$

\medskip

Un enfant choisit au hasard et simultanément 3 cubes de la boîte (\emph{on admettra que la probabilité de tirer un cube donné est indépendante de sa taille et de sa couleur}).
 
\emph{Les résultats seront donnés sous forme de fractions 
irréductibles}.

\begin{enumerate}
\item On note A l'évènement : \og obtenir des cubes de couleurs 
différentes \fg{} et B l'évènement : \og obtenir au plus un petit cube \fg.
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la probabilité de A.
		\item Vérifier que la probabilité de B est égale à $\dfrac{2}{7}$. 
	\end{enumerate}
\item Soit $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de petits cubes 
rouges tirés par l'enfant.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la loi de probabilité de $X$.
		\item Calculer l'espérance mathématique de $X$.
	\end{enumerate} 
\item L'enfant répète $n$ fois l'épreuve \og tirer simultanément trois cubes de la boîte \fg, en remettant dans la boîte les cubes tirés avant de procéder au tirage suivant. Les tirages sont indépendants. On note $P_n$ la probabilité que l'évènement B soit réalisé au moins une fois.
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer $P_n$ en fonction de $n$.
		\item Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $P_n \geqslant 0,99$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\textbf{Enseignement de spécialité} 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item On considère $x$ et $y$ des entiers relatifs et l'équation 
(E)\quad $ 91x + 10y = 1$.
	\begin{enumerate}
		\item Énoncer un théorème permettant de justifier l'existence d'une solution à l'équation (E).
		\item Déterminer une solution particulière de (E) et en déduire une solution particulière de l'équation $(E')$\quad : $91x + 10y = 412$.
		\item Résoudre $(E')$.
	\end{enumerate}
\item Montrer que les nombres entiers $A_n = 3^{2n} - 1$, où $n$ est un entier naturel non nul, sont divisibles par 8. (Une des méthodes possibles est un raisonnement par récurrence).
\item On considère l'équation (E$''$) $A_3x + A_2y = 3\:296$.
 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer les couples d'entiers relatifs $(x,~ y)$ solutions de l'équation $(E''$).
		\item Montrer que $(E''$) admet pour solution un couple unique d'entiers naturels.

Le déterminer.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\textbf{Enseignement obligatoire et de spécialité}

\medskip

Dans tout le texte e désigne le nombre réel qui vérifie $\ln$ e = 1.

On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par :

\[f(x) = \dfrac{\ln x + x\text{e}}{x^2}.\] 

On note $\Gamma$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal \Ouv, unité graphique : 2~cm.

\vspace{0,25cm}
 
\textbf{Partie A : Étude d'une fonction auxiliaire}

\medskip

On considère la fonction $g$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par

\[g(x) = -2 \ln x - x\text{e} + 1.\]

\begin{enumerate} 
\item Déterminer les limites de $g$ en 0 et en + ~$\infty$.
\item Étudier le sens de variation de $g$.
\item Montrer que dans [0,5~;~1] l'équation $g(x) = 0$ admet une solution et une seule notée $\alpha$. 
Déterminer un encadrement de $\alpha$ à 0,1 près.
\item En déduire le signe de $g(x)$ selon les valeurs de $x$.
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie B : Étude de la fonction}\boldmath $f$ \unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de 
définition.
\item Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$. Vérifier que $f'(x) = 
\dfrac{g(x)}{x^3}$ puis étudier le sens de variation de $f$ sur $]0 ~;~ + \infty$[.
\item Montrer que $f(\alpha) = \dfrac{1 + \alpha \text{e}}{2\alpha^2}$.
\item Donner le tableau de variations de $f$.
\item Construire $\Gamma$.
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie C : Intégrale et suite}

\medskip

Soit $I_n = \displaystyle\int_{\text{e}^n}^{\text{e}^{n+1}} \dfrac{\ln t}{t^2}\: \text{d}t$ et $A_n = \displaystyle\int_{\text{e}^n}^{\text{e}^{n+1}} f(t)\: \text{d}t$ pour tout entier naturel $n$.
\begin{enumerate}
\item Montrer à l'aide d'une intégration par parties que :
\[I_n = \dfrac{n + 1}{\text{e}^n} - \dfrac{ n + 2}{\text{e}^{n+1}}.\]
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $A_n = I_n +$ e.
		\item Calculer $I_0$ et $A_0$.
		\item Donner une interprétation géométrique de $A_0$.
	\end{enumerate}
\item Montrer que la suite $(A_n)$ converge vers e.
\end{enumerate}
\end{document}