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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}} 
\lhead{\small Baccalauréat ES (A1 et B) }
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small  septembre 1994}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat A1 et B Polynésie septembre 1994~\decofourright 
}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Marie et Thomas participent, avec 18 autres personnes, à un
stage sportif en montagne où leur sont proposées plusieurs
randonnées en vélo tout terrain. Les organisateurs du stage ne
disposent que de 15 vélos. Avant chaque randonnée ils
choisissent donc au hasard 15 personnes parmi les 20 stagiaires
pour former un groupe de randonnée.

On supposera dans tout l'exercice que chaque stagiaire a la
même probabilité d'être choisi, et que les divers choix de
groupes de randonnée sont indépendants les uns des autres.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le nombre de groupes de randonnée différents
que les organisateurs peuvent former.
		\item On note $A$ l'évènement \og Marie participe à la première
randonnée \fg. Montrer que la probabilité de $A$ est égale
à $\dfrac{3}{4}$.
	\end{enumerate}
\item On note $B$ l'évènement \og Marie et Thomas ne participent
pas ensemble à la première randonnée \fg. Montrer que la
probabilité, de $B$  est égale à $\dfrac{17}{38}$.
\item Le résultat de cette question sera donné sous forme de
fraction irréductible.
	
Il y a en tout cinq randonnées organisées. On note $C$
l'évènement \og Marie participe à au moins une randonnée \fg{} et
$D$ l'évènement \og Marie participe à exactement trois
randonnées \fg.
	
Calculer la probabilité de l'évènement $C \cap D$.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 Série B} \hfill 4 points}

\medskip

Le plan P est rapporté à un repère orthogonal \Oij{} d'unités
graphiques 5~cm sur l'axe des abscisses et 10~cm sur l'axe des
ordonnées.

La courbe $\Gamma$, tracée ci-dessous à une échelle réduite, représente
une fonction numérique $f$ définie sur [0~;~3] par

\[f(x) = (ax + b)\text{e}^{- x},\]

où $a$ et $b$ sont deux nombres qu'on se
propose de déterminer.

\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-1.5)(3.5,1.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-0.5,-1.5)(3.5,1.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(3.5,1.5)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{3}{x 1 sub 2.71828 x exp div}
\psplot{0}{3}{0.367879 x mul 0.367879 sub}
\uput[u](1,0){A}\uput[u](2.9,0.2){$\Gamma$}\uput[u](2.9,0.7){$T$}
\uput[l](0,-0.367879){$- \frac{1}{\text{e}}$}\uput[dr](0,-0.367879){B}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$ en fonction de $a$ et $b$.
\item Le point A(1~;~0) est un point de $\Gamma$. Quelle relation entre $a$
et $b$ en déduit-on ? Cette relation sera notée (1).
\item La droite $T$ est tangente en A à $\Gamma$ et passe par le point
B$\left(0~;~- \dfrac{1}{\text{e}}-\right)$. Quel est son coefficient directeur ? 

Quelle relation entre $a$ et $b$ en déduit-on ? Cette relation sera
notée (2).
\item Montrer que $f(x) = (x - 1)\text{e}^{- x}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 5 points}

\medskip
\begin{enumerate}
\item \textbf{QUESTION PRÉLIMINAIRE}

\medskip

Soit $g$ la fonction numérique définie  par :

\[g(x) = x^2 + 1 - \ln x\]

	\begin{enumerate}
		\item Calculer $g'(x)$, où $g'$ désigne la fonction dérivée de 
$g.$ Étudier son signe. 
		\item Établir le tableau de variations de $g$. En déduire le
signe de $g(x)$ (on ne demande pas le calcul des limites de $g$ aux bornes 
de $\mathcal{D}_{g}$). 
	\end{enumerate}
\item \textbf{ÉTUDE DE LA FONCTION NUMÉRIQUE \boldmath$f$\unboldmath DÉFINIE PAR :}

\[f(x) = 2x - 1 + 2\dfrac{\ln x}{x}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les limites de $f$ aux bornes de 
$\mathcal{D}_{g}$.
		\item Calculer $f'(x)$ et, en utilisant la question 
préliminaire déterminer son signe.
		\item Établir le tableau de variations de $f$ sur 
$\mathcal{D}_{g}$.
		\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet sur 
l'intervalle $J = \left[\dfrac{1}{2}~;~1\right]$ une solution unique, notée 
$x_{0}$.
	\end{enumerate}
\item \textbf{COURBE REPRÉSENTATIVE DE \boldmath$f$\unboldmath ET CALCUL D'AIRE}

\medskip

Le plan $P$ est rapporté au repère orthogonal \Oij{}  d'unités graphiques 5 cm sur l'axe des abscisses et 2~cm sur l'axe des ordonnées. La courbe représentative de $f$ est notée $\mathcal{C}$.

\medskip
 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f(x) - (2x - 1)$, et montrer que la 
droite $D$ d'équation $y = 2x - 1$ est asymptote à $\mathcal{C}$. En déduire la
position relative de $D$ et $\mathcal{C}$. 
		\item Construire $D$ et $\mathcal{C}$ sur la figure et hachurer la
partie du plan définie par $x_{0} \leqslant x \leqslant 1$ et $f(x) \leqslant y \leqslant 2x - 1$.
On se propose dans la suite de calculer l'aire $A$ de cette partie du 
plan.
		\item Exprimer $A$ à l'aide d'une intégrale.
		\item On pose $\varphi(x) = \dfrac{2\ln x}{x}$ , et $u(x) = 
\ln x$.
Calculer $u'(x)$ et écrire $\varphi$ en fonction de $u$ et de $u'$. En
déduire une primitive de $\varphi$, puis l'expression de $A$ en fonction de 
$x_{0}$. 
		\item On rappelle que $f(x_{0}) = 0$. Utiliser cette relation pour
montrer que $A = \dfrac{1}{4}x_{0}^2\left(1 - 2x_{0}^2\right)$ (en unités 
d'aire).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}