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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat ES (B) }
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small juin 1994}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat B Polynésie~\decofourright\\juin 1994 }}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Le tableau ci-dessous présente la répartition des ménages
en France en 1982 par catégories socio-professionnelle et selon le
nombre d'enfants. 

La catégorie socio-professionnelle (C.S.P.) est
celle de la personne de référence. Les nombres de ménages sont
donnés en milliers.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{1}{>{\scripsize}m{3cm}|}*{7}{>{\centering \arraybackslash}X}|c}
\multicolumn{1}{c}{~}&\multicolumn{7}{c}{Nombre d'enfants}&\\ \cline{2-8}
\multicolumn{1}{c|}{~}		&0 &1 &2 &3 &4 &5 &$> 5$&TOTAL\\ \cline{1-8}
Agriculteurs exploitants 	&480 &146 &119 &52 &14 &4 &1&816\\ 
Artisans, commerçants, chefs d'entreprise & 634 &285 &232 &72 &15 &4 &2&1244\\ 
Cadres, professions intellectuelles supérieures &737 &330 &323 &102 &18 &3 &1&\np{1514}\\ 
Professions intermédiaires &\np{1259} &608 &504 &136 &21 &4 &1&\np{2533}\\ 
Employés (y compris personnels des services)&\np{1307} &468 &315 &99 &22 &6 &3&\np{2220}\\ 
Ouvriers (y compris ouvriers agricoles)&\np{2156} &\np{1184} &930 &423 &137 &54 &36&\np{4920}\\ 
Retraités &\np{4822} &77 &18 &5 &2 &1 &1&\np{4926}\\ 
Autres personnes sans activité professionnelle 	&\np{1177} 	&119 	&65 &32 &14 &6 &4&\np{1417}\\ \cline{1-8}
\multicolumn{1}{c}{TOTAL} &\np{12572} &\np{3217} &\np{2506} &921 &243 &82 &49&\np{19590}\\ 
\multicolumn{9}{r}{\emph{Source: recensement de 1982 - Sondage au 1/20}}\\ 
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item D'après ce tableau, quelles sont les probabilités (arrondies à
$10^{-2}$ près)
	\begin{enumerate}
		\item qu'un ménage dont la personne de référence est dans la catégorie  
Ouvriers ait 2 enfants ?
		\item qu'un ménage qui a 2 enfants soit dans la catégorie Ouvriers ?
		\item qu'un ménage qui a 2 enfants ne soit pas dans la catégorie 
Ouvriers?
		\item qu'un ménage soit dans la catégorie Ouvriers et ait 2 enfants ? 
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les fréquences marginales du caractère \og Nombre 
d'enfants \fg{} (arrondies à $10^{-3}$ près).
		\item Quelle est la probabilité qu'un ménage pris au hasard ait au
minimum 2 enfants?
 	\end{enumerate}
\item On interroge 10 ménages sur leur catégorie socio-professionnelle
et le nombre d'enfants qu'ils ont.
	
Les réponses données par chacun de ces ménages sont supposées
indépendantes de celles des autres.
	
La probabilité de l'évènement \og Ouvrier sans enfant \fg{} est : $p = 0,11$.
	
Quelle est la probabilité (arrondie à $10^{-2}$ près) que 3 des 10 ménages
interrogés soient dans la catégorie Ouvriers et n'aient pas d'enfants ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

Le tableau donne le nombre de salariés de l'un des constructeurs français d'automobiles, selon les années :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année&Rang de l'année $x_i$& Nombre de salariés $y_i$\\ \hline
1986& 1 &\np{196731}\\ \hline
1987& 2 &\np{188936}\\ \hline
1988& 3 &\np{178665}\\ \hline
1989& 4 &\np{174573}\\ \hline
1990& 5 &\np{157378}\\ \hline
1991& 6 &\np{147185}\\ \hline
\multicolumn{3}{r}{\scriptsize \emph{Sources : Les Balises de l'Express, M 4326 ; Hors série \no 2}}
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item représenter le nuage de points $M_i\left(x_i~;~y_i\right)$ associé à la série statistique
ci-dessus. Le plan est rapporté à un repère orthogonal, avec
les indications suivantes :

\begin{itemize}
\item l'unité, sur l'axe des abscisses, est 2 cm pour 1 année.
\item l'origine, sur l'axe des ordonnées, correspondant à \np{147000} salariés.
\item l'unité, sur l'axe des ordonnées, est 0,5 cm pour \np{1000} salariés.
\end{itemize}
 
\item Le détail des calculs n'est pas demandé.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le coefficient de corrélation linéaire.
		\item Écrire une équation de la droite de régression de $y$ en $x$, par la
méthode des moindres carrés. La tracer sur la figure précédente.
	\end{enumerate}
\item En supposant que l'évolution continue de façon analogue, estimer
le nombre de salariés en 1993.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par :

\[f(x) = x + (x + 2)\text{e}^{-x}.\]

Le plan P est rapporté à un repère orthonormé \Oij{} (unité
graphique : 2~cm). On note $C$ la courbe représentative de $f$ dans P.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la limite de $f$ quand $x$ tend vers $- \infty$.
		\item Montrer qu'on peut écrire :
		
		\[f(x) = x + \dfrac{x}{\text{e}^x} + \dfrac{2}{\text{e}^x}.\]

Calculer la limite de $d(x) = \dfrac{x}{\text{e}^x} + \dfrac{2}{\text{e}^x}$ quand $x$ tend vers $+ \infty$.

En déduire la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+ \infty$, et une conséquence graphique pour $C$.
		\item Soit $D$ la droite d'équation $y = x$.
		
Déterminer les coordonnées du point d'intersection de $D$ et $C$.
		
Étudier, suivant les valeurs de $x$, la position de $C$ par rapport à $D$.
		
Représenter $D$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$, puis $f''(x)$, où $f'$ et $f''$ désignent respectivement les fonctions dérivées première et seconde de $f$.
		
$\left(\text{‘On vérifiera que}\: f''(x) = x\text{e}^{- x}\right)$.
		\item Recopier, puis compléter, à l'aide de tous les résultats précédents,
le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|X|}\hline
$s$&$- \infty$\hfill $0$ \hfill $+ \infty$\\ \hline
Signe de $f''(x)$&\\ \hline
Sens de variation de $f'$&\\ \hline
Signe de $f'(x)$&\\ \hline
Variation de $f$&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}		
		\item Représenter, dans le plan P, le point A de C d'abscisse $0$ et la tangente à $C$ en ce point.

Tracer la courbe $C$.
	\end{enumerate}
\item Soit l'équation : $f(x) = 0$ \quad (E).
	
Calculer $f(-2)$ et $f(-1)$. Justifier que (E) admet une racine unique
$\alpha$ dans l'intervalle $[- 2~;~- 1]$.
\item À l'aide d'une intégration par parties, calculer:

\[I = \displaystyle\int_{-2}^0 (x + 2) \text{e}^{- x}\: \text{d}x.\]

Donner une interprétation graphique du résultat.
\end{enumerate}
\end{document}