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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small STT Comptabilité et gestion -- Informatique et gestion}  
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 1998}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT   Polynésie~\decofourright\\[6pt]Comptabilité et gestion -- Informatique et gestion juin 1998}}
\medskip

\textbf{Durée : 3 heures}
\end{center}
    
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

CAC 40 : le profil de ses 385 administrateurs (Le Revenu français,
17 octobre 1997)

Une étude a montré que, sur les 385 administrateurs des sociétés du CAC 40,
19\,\% sont étrangers. 

Les auteurs de cette étude ont choisi de s'intéresser aux
\og pluri-administrateurs \fg. les dirigeants qui remplissent au moins deux mandats.

Sur les 76 ayant plus d'un mandat, 4 sont étrangers.

\medskip

\begin{enumerate}
\item En utilisant les données ci-dessus, recopier et compléter le tableau suivant
(on arrondira à l'entier le plus proche) :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline

&administrateurs français&administrateurs étrangers&total\\ \hline
1 mandat&&&\\ \hline
2 mandats ou plus&&4&76\\ \hline
total&&&385\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item À l'aide du tableau, donner le pourcentage de français n'ayant qu'un seul
mandat.
\item Sachant que 45\,\% des administrateurs français qui cumulent au moins deux
mandats sont issus des grands corps d'état (polytechnique, les mines etc.),
donner leur nombre.
\item On choisit au hasard un administrateur d'une société composant le CAC 40,
quelle est la probabilité qu'il soit étranger et avec un seul mandat ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

On considère une fonction $f$ définie sur $[- 4~;~3]$ , on note $f'$ sa dérivée ; à
l'aide de la représentation graphique ci-dessous dans un repère orthonormal
(unité graphique 2 cm), répondre aux questions suivantes avec la précision permise
par le dessin.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-4,-3)(4,3)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=cyan]
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-4,-3)(4,3)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,1)
\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-4,2)(-3.4,1)(-3,0)(-2.64,-1)(-2,-2)(-1.33,-1)(-1,0)(-0.64,1)(0,2)(0.7,1)(1,0)(1.22,-1)(1.45,-2)(2,-3)(2.44,-2)(2.68,0)(3,3)
\psline[linewidth=1pt]{<->}(-2.5,-2)(-1.5,-2)
\psline[linewidth=1pt]{<->}(1.5,-3)(2.5,-3)
\psline[linewidth=1pt]{<->}(-0.5,2)(0.5,2)
\psplot{-1.9}{-0.1}{x 3 mul 3 add}
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\end{pspicture}
\end{center}


\begin{enumerate}
\item Déterminer le signe de $f(x)$ suivant les valeurs de $x$, justifier brièvement
votre réponse.
\item Donner le tableau de variation de $f$, en déduire les solutions de l'inéquation
$f'(x) > 0$.
\item Résoudre l'équation $f(x) = 2$, puis l'inéquation $f(x) > 2$.
\item Donner une équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse $- 1$,
sachant qu'elle passe par le point (0~;~3). 

En déduire $f'(-1)$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème \hfill 10 points}

\medskip

Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par 

\[f(x) = \dfrac{2\text{e}^x  - 2}{\text{e}^x + 2}\]

et $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal (unité graphique 2 cm).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la limite de $f$ en $- \infty$. Que peut-on en déduire pour la courbe $(\mathcal{C})$ ?
~
\item Montrer que $f(x) = 2 - \dfrac{6}{\text{e}^x + 2}$. Calculer la limite de $f$ en $+ \infty$. Interpréter graphiquement ce résultat.
\item Montrer que $f'(x) = 2 - \dfrac{6}{\left(\text{e}^x + 2\right)^2}$.

En déduire son signe. 

Établir le tableau de variations de $f$.
\item Résoudre l'équation $f(x) = 0$.
\item Tracer $(\mathcal{C})$ et ses asymptotes.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la dérivée $g'$ de la fonction $g$ définie par $g(x) = \ln \left(\text{e}^x + 2\right)$.
		\item Montrer que $f(x) = 3g'(x) - 1$ et en déduire une primitive $F$ de $f$ sur $\R$.
		\item Calculer en cm$^2$ la valeur exacte de l'aire $(\mathcal{A})$ de la partie du plan limitée par les droites d'équations $x = 0$ et $x = 2$, l'axe des abscisses et $(\mathcal{C})$. 
		
En donner une valeur approchée à $10^{- 3}$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}