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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Le baccalauréat de 1997}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{septembre 1997}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat C Polynésie septembre 1997~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1 obligatoire \hfill 6 points}}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soient, dans l'espace E, quatre points A, B, C et D distincts deux à deux.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que ABCD est un parallélogramme si, et seulement si, D est le barycentre du système $\left\{(\text{A},\: 1), (\text{B},\: -1), (\text{C},\: 1)\right\}$.
\item On suppose que ABCD est un parallélogramme. Déterminer l'ensemble $(S)$ des points $M$ de l'espace E tels que:

\[\left\|\vect{M\text{A}} - \vect{M\text{B}} + \vect{M\text{C}}\right\| = \text{BD}.\]

\item On suppose maintenant que ABCD est un rectangle. Montrer que pour tout point $M$ de E,

\[M\text{A}^2 - M\text{B}^2 + M\text{C}^2 = M\text{D}^2.\]

Déterminer l'ensemble $(\Sigma)$ des points $M$ de l'espace E tels que

\[M\text{A}^2 - M\text{B}^2 + M\text{C}^2 = \text{BD}^2.\]

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère dans l'espace E deux parallélogrammes ABCD et A$'$B$'$C$'$D$'$ ainsi que les milieux I, J, K et L de [AA$'$], [BB$'$], [CC$'$] et [DD$'$] respectivement.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que L est barycentre des points I, J et K affectés de coefficients que l'on précisera.

En déduire que IJKL est un parallélogramme.
\item Soient O, Q et P les centres respectifs des parallélogrammes IJKL, ABCD et A$'$B$'$C$'$D$'$.

Montrer que O est le milieu de [PQ].
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1 spécialité \hfill 6 points}}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal \Ouv{} (unité graphique : 1~cm). 

Soient les nombres complexes $a = \dfrac{\sqrt{3} + 1}{4} + \text{i}\left(\dfrac{\sqrt{3} - 1}{4}\right)$ et $z_0 = 6 + 6\text{i}$ d'image A$_0$.

Pour tout $n$ entier naturel non nul, on désigne par $A_n$ le point d'affixe $z_n$ définie par

\[z_n = a^nz_0.\]

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer $z_1$ et $a^2$ sous forme algébrique.

Écrire $z_1$ sous forme exponentielle et montrer que $a^2 = \dfrac{1}{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$.
\item Exprimer $z_3$ puis $z_7$ en fonction de $z_1$ et $a^2$ ; en déduire l'expression de $z_3$ et $z_7$ sous forme exponentielle.
\item Placer les points A$_0$,\: $A_1,\: A_3$ et $A_7$ images respectives des complexes $z_0,\: z_1 ,\: z_3$ et $z_7$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip


Pour tout $n$ entier naturel, on pose $\left|z_n\right| = r_n$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout $n$ de $\N,\: r_n = 12\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{n+1}$.
\item En déduire que la suite $\left(r_n\right)_{n \in \N}$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
\item Déterminer la limite de la suite $\left(r_n\right)_{n \in \N}$ et interpréter géométriquement le résultat obtenu.
\item Déterminer le plus petit entier naturel $p$ tel que O$A_p \leqslant 10^{-3}$ et donner alors une mesure de l'angle orienté $\left(\vect{u},\: \vect{\text{O}A_p}\right)$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème  \hfill 10 points}}

\medskip

Le but du problème est l'étude d'une fonction I, d'une de ses primitives et d'une suite attachée à cette fonction. Le plan est muni d'un repère orthogonal \Oij{} avec $\left\|\vect{\imath}\right\| = 2$~cm et $\left\|\vect{\jmath}\right\| = 5$~cm.

\bigskip

Partie A

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par

\[f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{1 + x^2}}.\]

On note $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est paire. Étudier ses variations sur $[0~;~+ \infty[$ et déterminer sa limite en $- \infty$. Tracer sa courbe $(\mathcal{C})$.
\item Montrer que $f$ établit une bijection de $[0~;~+ \infty[$ sur ]0~;~1]. On note $y$ un réel quelconque de l'intervalle ]0~;~1].

Exprimer en fonction de $y$ le seul réel positif $x$ vérifiant $f(x) = y$.
\end{enumerate}

\bigskip

Partie B

\medskip

Soit $F$ la fonction définie sur $\R$ par

\[F(x) = \ln \left( x + \sqrt{1 + x^2}\right).\]

(On admettra que, pour tout réel $x,\: x + \sqrt{1 + x^2} > 0$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $F'(x)$. En déduire que $F$ est la primitive de $f$ sur $\R$ qui s'annule en $0$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $F$ en $+\infty$.
		\item Montrer que $F$ est impaire.
		\item En déduire la limite de $F$ en $- \infty$.
	\end{enumerate}
\item Soit $\lambda$ un réel strictement positif. On note $\mathcal{A}(\lambda)$ l'aire en cm$^2$ de la partie du plan constituée des points $M(x~;~y)$ tels que $\lambda \leqslant x \leqslant 2\lambda$ et $0 \leqslant  y \leqslant f(x)$.

Exprimer $\mathcal{A}(\lambda)$ en fonction de $\lambda$ ; donner la valeur exacte de $\mathcal{A}(\lambda)$ et déterminer la limite de $\mathcal{A}(\lambda)$ quand $\lambda$ tend vers $+ \infty$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

On pose $u_0 = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{1}{\sqrt{1 + x^2}}\:\text{d}x$ et, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_n = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{x^n}{\sqrt{1 + x^2}}\:\text{d}x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_0$.

Calculer $u_3$ à l'aide d'une intégration par parties.

$\left(\text{Remarquer que } \dfrac{x^3}{\sqrt{1 + x^2}} = x^2 \times \dfrac{x}{\sqrt{1 + x^2}}\right)$.

\item Montrer que, pour tout $x$ de l'intervalle [0~;~1], $0 \leqslant,\dfrac{x^n}{\sqrt{1 + x^2}} \leqslant x^n$.
\item En intégrant cette double inégalité sur [~0~; 1], montrer que la suite $\left(u_n\right)$ converge et déterminer sa limite.
\end{enumerate}
\end{document}