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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé par Arié Yallouz 
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{13 juin  2014}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Polynésie  13 juin  2014~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
\textbf{Document 1 :} \og \emph{En France, pendant l'année scolaire 2009-2010, sur \np{81135} étudiants inscrits en classe préparatoire aux grandes écoles (CPGE), on pouvait trouver \np{34632} filles.} \fg \\
\emph{(Source: Repères et références statistiques sur les enseignements, la formation et la recherche Edition 2010)}

\medskip
 
Selon l'INSEE, la proportion de filles parmi les jeunes entre 15 et 24 ans est de 49,2\,\%.
 
 \medskip
 
Peut-on considérer, en s'appuyant sur le document 1 que les filles inscrites sont sous-représentées en CPGE ? Justifier la réponse.
 
On pourra utiliser un intervalle de fluctuation.

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Les étudiants des CPGE se répartissent en 3 filières :

\begin{itemize}
\item la filière scientifique (S) accueille 61,5\,\% des étudiants ; 
\item la série économique et commerciale (C) accueille 24\,\% des étudiants ; 
\item les autres étudiants suivent une filière littéraire (L).
\end{itemize}
 
 \medskip
 
\textbf{Document 2 :} \og \emph{En classes littéraires, la prépondérance des femmes semble bien implantée : avec trois inscrites sur quatre, elles y sont largement majoritaires. Inversement, dans les préparations scientifiques, les filles sont présentes en faible proportion ($30\,\%$) alors qu'on est proche de la parité dans les classes économiques et commerciales.} \fg\\ 
\emph{(Même source)}
 
 \medskip
 
On considère que parmi tous les inscrits en CPGE en 2009-2010, la proportion de fille est 42,7\,\%. On interroge au hasard un étudiant en CPGE. On considère les évènements suivants :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{description}
\item[ ] $F$ : l'étudiant interrogé est une fille ; 
\item[ ] $S$ : l'étudiant interrogé est inscrit dans la filière scientifique ; 
\item[ ] $C$ : l'étudiant interrogé est inscrit dans la filière économique et commerciale ; 
\item[ ] $L$ : l'étudiant interrogé est inscrit dans la filière littéraire.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Donner les probabilités $P(S),\: P(C),\: P_{L}(F), P_{S}(F)$ et $P(F)$.

 Construire un arbre pondéré traduisant cette situation. Cet arbre sera complété au fur et à mesure de l'exercice. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité que l'étudiant interrogé au hasard soit une fille inscrite en L. 
		\item Calculer la probabilité de l'évènement $F \cap S$. 
		\item En déduire que la probabilité de l'évènement $F \cap C$ est \np{0,13375}.
	\end{enumerate} 
\item Sachant que l'étudiant interrogé suit la filière économique et commerciale, quelle est la probabilité qu'il soit une fille ? On arrondira le résultat au millième.
 
Confronter ce résultat avec les informations du document 2. 
\item Sachant que l'étudiant interrogé est une fille, quelle est la probabilité qu'elle soit inscrite dans la filière littéraire L ? On arrondira le résultat au millième. 
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats L}

\medskip
 
Une entreprise fabrique chaque jour des objets. Cette production ne peut dépasser $700$ objets par jour.
 
On modélise le coût total de production par une fonction $C$.
 
Lorsque $x$ désigne le nombre d'objets fabriqués, exprimé en centaines, $C(x)$, le coût total correspondant, est exprimé en centaines d'euros.
 
La courbe représentative de la fonction $C$ est donnée en annexe.

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes en arrondissant au mieux. On laissera apparents les traits de construction sur la figure donnée en annexe.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Quel est le coût total de production pour 450 objets ? 
\item Combien d'objets sont produits pour un coût total de \np{60000}~euros ? 
On considère que le coût marginal est donné par la fonction $C'$ dérivée de la fonction $C$. 
	\begin{enumerate}
		\item Estimer le coût marginal pour une production de 450 objets puis de $600$ objets. 
		\item Que pensez-vous de l'affirmation : \og le coût marginal est croissant sur l'intervalle $[0~;~7]$ \fg ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Le prix de vente de chacun de ces objets est de $75$~euros.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On note $r$ la fonction \og recette\fg. Pour tout nombre réel $x$ dans l'intervalle $[0~;~7]$, $r(x)$ est le prix de vente, en centaines d'euros, de $x$ centaines d'objets.
 
Représenter la fonction $r$ dans le repère donné en annexe. 
\item En utilisant les représentations graphiques portées sur l'annexe, répondre aux questions qui suivent. 
	\begin{enumerate}
		\item En supposant que tous les objets produits sont vendus, quelle est, pour l'entreprise, la fourchette maximale de rentabilité? Justifier la réponse. 
		\item Que penser de l'affirmation : \og il est préférable pour l'entreprise de fabriquer $500$~objets plutôt que $600$~objets \fg ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Le graphe ci-dessous représente, dans un aéroport donné, toutes les voies empruntées par les avions au roulage. Ces voies, sur lesquelles circulent les avions avant ou après atterrissage, sont appelées \emph{taxiways}. 

Les arêtes du graphe représentent les voies de circulation (les \og taxiways \fg) et les sommets du graphe sont les intersections. 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8.5,4.5)
\cnode(0.5,0.5){2pt}{A}\uput[l](0.5,0.5){A}
\cnode(2,3.4){2pt}{B}\uput[u](2,3.4){B}
\cnode(2.5,1.5){2pt}{C}\uput[d](2.5,1.5){C}
\cnode(4.5,2.3){2pt}{D}\uput[u](4.5,2.3){D}
\cnode(6,4.3){2pt}{E}\uput[u](6,4.3){E}
\cnode(6,1.3){2pt}{F}\uput[d](6,1.3){F}
\cnode(8,0.5){2pt}{T}\uput[r](8,0.5){T}
\ncline{A}{B}\ncline{A}{C}\ncline{A}{T}
\ncline{B}{C}\ncline{B}{D}\ncline{B}{E}
\ncline{C}{D}\ncline{D}{E}\ncline{C}{F}
\ncline{D}{F}
\ncline{E}{F}\ncline{E}{T}
\ncline{F}{T}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Déterminer le nombre de voies de circulation au total. 
\item Afin que l'aéroport soit déneigé le plus rapidement possible, est-il possible de planifier un parcours pour que les chasse-neige passent par toutes les voies sans emprunter plusieurs fois la même route ? Justifier la réponse et donner un tel parcours.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Dans le graphe ci-dessous, on a indiqué le sens de circulation pour les avions dans les différentes voies ainsi que le temps de parcours pour chacune en minute( s).

\begin{center} 
\psset{unit=1.2cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(8.5,4.5)
\cnode(0.5,0.5){2pt}{A}\uput[l](0.5,0.5){A}
\cnode(2,3.4){2pt}{B}\uput[u](2,3.4){B}
\cnode(2.5,1.5){2pt}{C}\uput[d](2.5,1.5){C}
\cnode(4.5,2.3){2pt}{D}\uput[u](4.5,2.3){D}
\cnode(6,4.3){2pt}{E}\uput[u](6,4.3){E}
\cnode(6,1.3){2pt}{F}\uput[d](6,1.3){F}
\cnode(8,0.5){2pt}{T}\uput[r](8,0.5){T}
\psset{labelsep=2pt}
\ncline{->}{A}{B} \naput{\small{4}} 
\ncline{->}{A}{C}\naput[nrot=:U]{\small{3}}
\ncline{<-}{A}{T}\naput{\small{4}}
\ncline{->}{C}{B}\naput{\small{1,5}}
\ncline{->}{B}{D}\naput[nrot=:U]{\small{0,5}}
\ncline{->}{B}{E}\naput[nrot=:U]{\small{1}}
\ncline{->}{C}{D}\naput[nrot=:U]{\small{2}}
\ncline{->}{D}{E}\naput[nrot=:U]{\small{0,5}}
\ncline{->}{C}{F}\naput{\small{3}}
\ncline{->}{D}{F}\naput[nrot=:U]{\small{0,5}}
\ncline{->}{E}{F}\naput{\small{0,5}}
\ncline{->}{E}{T}\naput{\small{4}}
\ncline{->}{F}{T}\naput[nrot=:U]{\small{0,5}}
\end{pspicture}
\end{center}


\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Écrire la matrice $M$ associée à ce graphe (ranger les sommets dans l'ordre alphabétique). 
		\item Citer tous les chemins de longueur 3 reliant A à T.
	\end{enumerate} 
\item L'avion qui a atterri est en bout de piste en A et doit se rendre le plus rapidement possible au terminal situé au point T. 

Déterminer l'itinéraire le plus rapide et en donner la durée.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

La suite $\left(u_{n}\right)$ est définie pour tout nombre entier naturel $n$ par :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
u_{0}& =& 5\\ 
u_{n+1}& =& \dfrac{1}{2}u_{n} + 1
\end{array}\right.\]
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On souhaite écrire un algorithme affichant, pour un entier naturel $n$ non nul donné, tous les termes de la suite, du rang 0 au rang $n$.
 
Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient.
 
Indiquer lequel et justifier pourquoi les deux autres ne peuvent donner le résultat attendu.
{\footnotesize
\begin{center}
\hspace*{-1cm}\begin{tabularx}{1.1\linewidth}{|*{3}{>{\raggedright \arraybackslash}X|}}\hline
\textbf{Variables :}& \textbf{Variables :}& \textbf{Variables :}\\ 
$U$ est un nombre réel& $U$ est un nombre réel &$U$ est un nombre réel\\ 
$i$ et $N$ sont des nombres entiers&$i$ et $N$ sont des nombres entiers&$i$ et $N$ sont des nombres entiers\\ 
\textbf{Début}&\textbf{Début}&\textbf{Début}\\ 
Saisir une valeur pour $N$&Saisir une valeur pour $N$&Saisir une valeur pour $N$\\ 
$U$ prend la valeur 5&\pnode(1ex,-1ex){b1}Pour $i$ de $0$ à $N$ faire&$U$ prend la valeur 5\\ 
\pnode(1ex,-1ex){a1}Pour $i$ de $0$ à $N$ faire&\hspace{1em}$U$ prend la valeur 5&\pnode(1ex,-1ex){c1}Pour $i$ de $0$ à $N$ faire\\ 
\pnode(1ex,-1ex){a2}\hspace{1em} Affecter à $U$ la valeur $\dfrac{1}{2} \times U + 1$&\hspace{1em}Afficher $U$&\hspace{1em}Afficher $U$\\ \ncline[linewidth=.5pt]{a1}{a2}
Fin Pour& \pnode(1ex,-1ex){b2} \hspace{1em} Affecter à $U$ la valeur $\dfrac{1}{2} \times U + 1$ & \pnode(1ex,-1ex){c2}\hspace{1em} Affecter à $U$ la valeur $\dfrac{1}{2} \times U + 1$\\  \ncline[linewidth=.5pt]{b1}{b2}  \ncline[linewidth=.5pt]{c1}{c2}
Afficher $U$&Fin Pour&Fin Pour\\ 
\textbf{Fin}&\textbf{Fin}&\textbf{Fin}\\\hline
\multicolumn{1}{c}{\textbf{algorithme 1}}&\multicolumn{1}{c}{\textbf{algorithme 2}}&\multicolumn{1}{c}{\textbf{algorithme 3}}\\
\end{tabularx}
\end{center}} 
 

\item On saisit la valeur 9 pour $N$, l'affichage est le suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\small}X|}}\hline 
5&3,5&2,75&2,375&2,185& \np{2,0938} &\np{2,0469} &\np{2,0234}&\np{2,0117}&\np{2,0059}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
Quelle conjecture peut-on émettre sur le sens de variation de cette suite ?
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
On introduit une suite auxiliaire $\left(v_{n}\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_{n} = u_{n} - 2$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique. Préciser sa raison $q$ et son premier terme $v_{0}$. 
\item Montrer que, pour tout nombre entier naturel $n$, on a $u_{n} = 2 + 3 \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$. 
\item Étudier les variations de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
\item À partir de quel rang a-t-on : $u_{n} - 2 \leqslant 10^{-6}$ ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip 
 
Les antibiotiques sont des molécules possédant la propriété de tuer des bactéries ou d'en limiter la propagation.
 
Le tableau ci-dessous donne la concentration dans le sang en fonction du temps d'un antibiotique injecté en une seule prise à un patient.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Temps en heure& 0,5& 1& 1,5& 2 &3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10\\ \hline 
Concentration en mg/l& 1,6 &2 &1,9 &1,6 &1,2 &0,9 &0,8 &0,7 &0,6 &0,5 &0,4 &0,4\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 

Ces données conduisent à la modélisation de la concentration en fonction du temps par la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0~;~ 10]$ par

\[ g(t) = \dfrac{4t}{t^2 + 1}.\]
 
 
Lorsque $t$ représente le temps écoulé, en heures, depuis l'injection de l'antibiotique, $g(t)$ représente la concentration en mg/l de l'antibiotique.
 
Le graphique suivant représente les données du tableau et la courbe représentative de la fonction $g$. 

\parbox{0.45\linewidth}{
\begin{enumerate}
\item Par lecture graphique donner sans justification : 
	\begin{enumerate}
		\item les variations de la fonction $g$ sur $[0~;~10]$ ; 
		\item la concentration maximale d'antibiotique lors des 10 premières heures ; 
		\item l'intervalle de temps pendant lequel la concentration de l'antibiotique dans le sang est supérieure à 1,2~mg/l.  
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item La fonction $g$ est dérivable sur l'intervalle $[0~;~10]$ et sa dérivée est $g'$. 
 
Montrer que : 

$g'(t) = \dfrac{4\left(1 - t^2\right)}{\left(t^2 + 1\right)^2}$.
		\item En utilisant l'expression de $g'(t)$, montrer que la concentration maximale serait, avec cette modélisation, atteinte exactement 1 heure après l'injection.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}} \hfill
\parbox{0.5\linewidth}{
\psset{xunit=0.5cm,yunit=4cm,comma}
\begin{pspicture}(-1,-0.1)(11,2.1)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.5]{->}(0,0)(-0.9,-0.1)(11,2.1)
\uput[dl](0,0){$0$}\uput[u](10.5,0){$t$}
\psdots[dotstyle=B+,dotscale=1.5](0.5,1.6)(1,2)(1.5,1.9)(2,1.6)(3,1.2)(4,0.9)(5,0.8)(6,0.7)(7,0.6)(8,0.5)(9,0.4)(10,0.4)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{10}{x 4 mul x dup mul 1 add div}
\end{pspicture}}	 
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{2}
\item On admet que $G$ définie sur $[0~;~10]$ par $G(t) = 2\ln \left(t^2 + 1\right)$ est une primitive de $g$ sur cet intervalle.
 
Quelle est la concentration moyenne de l'antibiotique pendant les 10 premières heures ? Donner la valeur exacte et la valeur arrondie au millième. 
 
\emph{Rappel : la valeur moyenne d'une fonction $f$ sur $[a~;~b]$ est donnée par} $\dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_{a}^b  f(x)\:\text{d}x$. 
\item On définit la CMI (Concentration Minimale Inhibitrice) d'un antibiotique comme étant la concentration au dessus de laquelle les bactéries ne peuvent plus se multiplier.
 
La CMI de l'antibiotique injecté est $1,2$ mg/l.
 
Déterminer, par le calcul, le temps d'antibiotique utile c'est-à-dire la durée pendant laquelle la concentration de l'antibiotique étudié est supérieure à sa CMI.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\large ANNEXE}

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 2 enseignement obligatoire et  spécialité L}

\vspace{1cm}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(8,13)
\def\f{(x-6.5)*EXP(x)+90*x+16.5}
\psgrid[gridcolor=darkgray,griddots=10,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(8,13)
\psset{xunit=1cm,yunit=0.01cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=1.25pt,Dy=1500,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-0.9,-80)(8,1300)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=700,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{7}{\f}
\multido{\n=0+100}{14}{\uput[l](0,\n){\np{\n}}}
\uput[dl](0,0){0}\uput[d](7.8,0){$x$}\uput[u](7,0){centaines d'objets}
\uput[r](0,1340){centaines d'euros}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}