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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small juin 1997}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Polynésie juin 1997~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1\hfill 4 points}

\medskip

Soit $G$ une grandeur économique définie en fonction du temps $t$, exprimé en années, par :
 
\[G(t) = 3 \times (1,7)^t.\]

\begin{enumerate}
\item Quelle est la valeur de $G$ à l'instant $t = 0$ ? 
 
\item Montrer que le rapport : $\tau = \dfrac{G(t + 1) - G(t)}{G(t)}$	est constant. 
\item Exprimer $\ln G(t)$ en fonction de $t$\:  (ln désigne la fonction logarithme népérien). 
\item Dans le tracé ci-joint, on a représenté la fonction $G$ dans un plan P rapporté à un repère semi-logarithmique pour $t \in [0~;~10]$. 

Pourquoi la fonction $G$ a-t-elle pour représentation graphique une droite $\Delta$ ? 

Exprimer en fonction de $\tau$ le coefficient directeur de cette droite.
\end{enumerate}

\begin{center}

\psset{xunit=0.75cm,yunit=4cm}
\begin{pspicture}(15,3)
\psaxes[axesstyle=frame,logLines=y,ylogBase=10,xsubticks=5,ysubticks=10,Dy=1](15,3)
\multido{\n=0.0+0.2}{76}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,3)}
%\psplot{0}{10}{x 0.531 mul 1.0986 add}
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{10}{x 0.230 mul 0.477 add}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip
 
La cote d'une voiture d'occasion est donnée dans le tableau suivant :

\medskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.1cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année de mise en circulation&1991 &1992 &1993 &1994& 1995 \\ \hline
 
Rang de l'année
 $x_{i}$	&1 				&2 				&3 				&4 				&5\\ \hline 
Cote $y_{i}$&\np{42900} F 	&\np{54200} F 	&\np{64100} F 	&\np{81600} F 	&\np{102000} F\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Le plan est muni d'un repère orthogonal. Les unités graphiques sont: 
en abscisses: 2~cm pour un an ; en ordonnées: 1~cm pour \np{10000}~F.
 
Représenter le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ (fig. 1).
\item Les points n'étant pas parfaitement alignés, on pose : 

\[z = \ln y.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter le tableau suivant: 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x_{i}$				&1	&2	&3	&4	&5\\ \hline
$z_{i} = \ln y_{i}$	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 

\emph{Les valeurs de $z_{i}$ seront données sous forme décimale approchée à $10^{-2}$ près par défaut}. 
		\item On rapporte le plan à un nouveau repère orthogonal.
		 
Les unités graphiques sont désormais : 

en abscisses : 2 cm pour un an ; en ordonnées: 1 cm pour 0,1. 

Représenter le nuage de points $N_{i}\left(x_{i}~;~z_{i}\right)$ (fig. 2).
 
(\emph{Dans la suite, le détail des calculs n'est pas demandé}). 
		\item Calculer le coefficient de corrélation linéaire entre $x$ et $z$. Un ajustement affine est-il justifié ? 
		\item Donner une équation de la droite de régression $D$ de $z$ en $x$. (On arrondira les coefficients à $10^{-2}$ par défaut.)
		 
Représenter $D$ sur la figure 2. 
		\item Calculer la valeur de $z$ donnée par l'équation précédente pour l'année 1988. En déduire une estimation de la cote de cette voiture de l'année 1988. (On donnera une valeur arrondie à 100~F près.)
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2\hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip 

Une étude statistique effectuée par une librairie montre que 30\,\% des livre qu'elle vend sont primés, c'est-à-dire distingués par un prix littéraire ; 15\,\% sont des livres reliés.

\emph{Pour chaque question, on donnera le résultat exact, puis une valeur approchée à $10^{- 2}$ près par défaut}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Un client achète un livre.

La probabilité pour qu'il soit relié, sachant qu'il est primé, est égale à $0,2$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité $p_{1}$ pour qu'il soit relié et primé.
		\item Calculer la probabilité $p_{2}$ pour qu'il soit primé, sachant qu'il est relié.
	\end{enumerate}
\item Un client achète cinq livres. On suppose que les choix de ces livres sont indépendants. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité $p_{3}$ pour qu'exactement trois d'entre eux soient  des livres primés ?
		\item Quelle est la probabilité $p_{4}$ pour que, parmi ces cinq livres, l'un aumoins soit un livre primé ? 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème \hfill 5 points}

\medskip 
 
\textbf{Partie A} 

\medskip 

Soit $f$ une fonction définie sur [0~;~5], dérivable sur ]0~;~5]. Sa fonction dérivée $f'$ est représentée graphiquement ci-après.

\medskip

\psset{xunit=2cm,yunit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-0.2,-5)(5,2.1)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,-5)(5,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(0,-5)(5,2)
\uput[ul](0.368,0){$\frac{1}{\text{e}}$}\uput[d](2.71828,0){e}
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=3000]{0.177}{5}{2.71828 x sub x 0.3679 sub mul 1.825 mul  x div}
\end{pspicture}
\end{center}
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer graphiquement le signe de $f'(x)$ pour $x \in  ]0~;~5]$. 
\item On donne : 

\[f(0) = \dfrac{2 - \text{e}}{1 - \text{e}}, \:\:f\left(\dfrac{1}{\text{e}} \right) = - \dfrac{2}{\text{e}},\:\: f(\text{e}) = 2,\:\:f(1) = 0.\]

	\begin{enumerate}
		\item Construire le tableau de variation de $f$. 
		\item Démontrer qu'il existe un unique nombre réel $\alpha$ dans $\left]\dfrac{1}{\text{e}}~;~\text{e}\right[$ tel que : 

\[	f(\alpha) = 0.\]
 
Désormais, on supposera que $\alpha = 1$. 
		\item étudier le signe de $f(x)$ pour $x \in  \left[\dfrac{1}{\text{e}}~;~\text{e}\right]$. 
		\item Calculer, en unités d'aire, l'aire de la partie du plan définie par :

\[\dfrac{1}{\text{e}} \leqslant x \leqslant \text{e}\quad \text{et} \quad 0 \leqslant y \leqslant f'(x).\]
 
Donner le résultat exact, puis le résultat arrondi à $10^{-2}$ près. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip

\text{Partie B}

\medskip
 
Soit $g$ la fonction définie sur $\left[- \dfrac{2}{\text{e}}~;~ 2\right]$ par 

\[g(x) = \ln (1 + x),\]

 où ln désigne la fonction logarithme népérien.
 
 \medskip
  
\begin{enumerate}
\item étudier ses variations et dresser son tableau de variation. 
\item Soit $h$ la fonction composée de $g$ et de $f$ : $h = g \circ f$.

On étudie $h$ sur l' intervalle $\left[\dfrac{1}{\text{e}}~;~\text{e}\right]$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $h(\text{e}), h(1), h\left(\dfrac{1}{\text{e}}\right)$. 
		
On donnera les valeurs exactes, puis les valeurs arrondies à $10^{-2}$ près. 
		\item Déterminer le sens de variation de $h$. 
		\item Justifier que :
		 
\[h'(x)  = \dfrac{f'(x)}{1 + f(x)}.\]
 
Calculer  $h'(\text{e}),\: h'\left(\dfrac{1}{\text{e}}\right)$. 
		\item Construire la courbe représentative $\mathcal{C}$ de $h$, dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique : 5~cm).
		 
On représentera en particulier les points d'abscisses e, 1, et $\dfrac{1}{\text{e}}$ et les tangentes en ces points.
 
On pourra résumer les résultats de cette partie dans le tableau suivant : 

\begin{center}

\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$x$&$\dfrac{1}{\text{e}}$	&1	&e\\ \hline 
$h(x)$					&						&	&\\ \hline
$h'(x)$					&						&1,8&\\ \hline 
Nom du point de 
$\mathcal{C}$			&A 						&B	&C\\ \hline
\end{tabularx}

\end{center}
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{document}