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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2003}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES  Polynésie juin 2003~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

\textbf{Évolution de l'indice IMVP}

\medskip

L'indice IMVP (international motor vehicle program) est un indicateur de 
référence élaboré par le Massachussets Institute of Technology qui mesure en
 heures le temps de montage moyen d'un véhicule.

Dans une entreprise de construction automobile, on a obtenu le tableau 
suivant :

\begin{center} 
\begin{tabularx}{0.65\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
année	&	rang de l'année $x_i$ &	temps en heures $y_i$\\ \hline
1995 	&5	&	26,2\\ \hline
1996	&6	&	23,7\\ \hline
1997	&7	&	21,4\\ \hline
1998	&8	&	18,5\\ \hline
1999	&9	&	16,8\\ \hline
2000	&10	&	15,4\\ \hline
2001 	&11	&	14,6\\ \hline
\multicolumn{3}{r}{\footnotesize (source Renault)}
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{center} \textbf{Partie A} \end{center}

Le nuage de points $M_i$ associé à la série statistique $\left(x_i~;~ y_i\right)$ dans un plan rapporté à un repère orthonormal est donné en annexe.

\textsl{Les résultats seront arrondis si nécessaire au centième.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées du point moyen et le placer sur le graphique.
\item Le nuage de points montre qu'un ajustement affine semble justifié. À 
l'aide de la calculatrice, donner une équation de la droite D d'ajustement 
affine de $y$ en $x$, obtenue  par la méthode des moindres carrés.

Représenter D sur le graphique.
\item En déduire graphiquement puis par le calcul les prévisions du temps de 
montage moyen pour l'année 2005 puis l'année 2007, en supposant que le modèle
 reste valable jusqu'en 2007.
\item Calculer la variation en pourcentage de ce temps de l'année 2000 à 
l'année 2001.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center} \textbf{Partie B}\end{center}

On décide d'approcher ce nuage par un arc de parabole ; pour cela on pose 
$z~=~\sqrt{y}$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Donner le tableau des valeurs $\left(x_i~;~ z_i\right)$. Les valeurs $z_i$ seront arrondies au millième.

On suppose qu'un ajustement affine de $z$ en $x$ est justifié.
\item Donner une équation de la droite d'ajustement affine obtenue par la 
méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis au millième).
\item En déduire l'expression de $y$ en fonction de $x$, puis le temps de montage en 2005 et en 2007 arrondis au dixième.
\item Ces temps sont-ils plus plausibles que ceux obtenus dans la partie A ?
 
Expliquer.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\textsl{Chaque question comporte trois affirmations repérées par les 
lettres} a, b, c.

\textsl{Vous devez indiquer pour chacune d'elles si elle est vraie ou fausse sans justification.}

\textbf{Les réponses seront transcrites dans le tableau figurant en 
annexe.}

Soit $f$ une fonction impaire définie et dérivable sur $[-5~;~5]$ ; on désigne par $F$ une primitive de $f$ sur cet intervalle.

Sur les graphiques ci-dessous, le repère \Oij~ est un repère 
orthogonal.

La courbe $\mathcal{C}$ est la représentation graphique de la fonction $f$.

Le point A a pour coordonnées $(-2~;~8)$, le point B a pour 
coordonnées $\left(-2\sqrt{3}~;~0\right)$  et le point C
a pour coordonnées $\left(2\sqrt{3}~;~0\right)$.

La droite (OA) est la tangente en O à $\mathcal{C}$.

\parbox[l]{0.53\linewidth}{
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $\mathcal{C}$ est la courbe 
représentative de $F'$.
		\item $f'(0) =  -2$.
		\item $f$ est négative ou nulle sur $[-1~;~1]$. 
	\end{enumerate}
\vspace{1cm}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $S$ l'aire , exprimée en unités d'aire, de la
portion de plan délimitée pu $\mathcal{C}$, l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{\imath}\right)$ et la droite d'équation $x = -2$.

On a : $0 \leqslant S \leqslant 2$.
		\item $\displaystyle\int_{-2}^2 f(x)\:\text{d}x = 0$.

		\item $F(2) - F(0) < 0$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}} \hfill
\parbox{0.42\linewidth}{%
\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.2cm}
\begin{pspicture}(-5,-22)(5,22)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange](-5,-22)(5,22)
\psaxes[linewidth=1.pt,Dx=30,Dy=30]{->}(0,0)(-5,-22)(5,22)
\psline(-5,20)(5,-20)
\uput[dl](0,0){O} 
\uput[dr](0.5,0){\footnotesize $\vect{\imath}$}
\uput[ur](0,0.5){\footnotesize $\vect{\jmath}$}
\psdots(-2,8)(-3.464,0)(3.464,0)
\uput[ur](-2,8){A} \uput[dr](-3.46,0){B} \uput[dr](3.46,0){C}
\uput[ul](-4,-6){\blue $\mathcal{C}$} 
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-5}{5}{x 3 exp x 12 mul sub 0.3385 mul}
\end{pspicture}
}

\vspace{0,5cm}

\textbf{3.} Parmi les courbes $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$ l'une représente $f'$ et l'autre représente $F$.

\hspace{1cm} \textbf{a.} Une équation de $\mathcal{C}_1$ est $y = x^2 -2$.

\hspace{1cm} \textbf{b.} $\mathcal{C}_2$ est la courbe représentative de $f'$.

\hspace{1cm} \textbf{c.} $\displaystyle\int_0^{2\sqrt{3}} f(x)\:\text{d}x = - 10$.

\parbox[c]{0.45\textwidth}{\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.3cm}
\begin{pspicture}(-5,-5)(5,22)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange](0,0)(-5,-5)(5,22)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=50](0,0)(-5,-5)(5,22)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=50]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){O} \uput[dr](1,0){\footnotesize $\vect{\imath}$}
\uput[ur](0,1){\footnotesize $\vect{\jmath}$}
\uput[ul](-3,5){\blue $\mathcal{C}_1$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-5}{5}{x 2 exp 4 sub}
\end{pspicture}} \hfill
\parbox[c]{0.45\textwidth}{$\mathcal{C}_2$ est la représentation graphique
 d'une fonction dérivable.
 
Le point D a pour abscisse $-2\sqrt{3}$.

Le point E a pour abscisse $2\sqrt{3}$.

\vspace{1cm} \psset{xunit=0.5cm,yunit=0.3cm}
\begin{pspicture}(-5,-13)(5,3)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange](0,0)(-5,-13)(5,3)
\psaxes[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=50](0,0)(-5,-13)(5,3)
\uput[ul](0,0){O} \uput[dr](0.5,0){$\vect{\imath}$}
\uput[ur](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[r](-4.7,-2.5){\blue $\mathcal{C}_2$}
\uput[d](3.4641,-12){E} \uput[d](-3.4641,-12){D}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-5}{5}{x 4 exp 12 div x 2 exp 2 mul sub}
\end{pspicture}}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

\emph{Chaque question comporte trois affirmations repérées par les lettres a, b, c.\\ 
Vous devez indiquer pour chacune d'elles si elle est vraie oufausse sans justification.}

\medskip
 
\textbf{Les réponses seront transcrites dans le tableau figurant en annexe.}

\medskip
 
Dans une ville la circulation réglementée par des sens uniques est représentée par le graphe G ci-dessous dont les sommets illustrent les carrefours existant entre les rues.

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(8,6)
\cnodeput(3.7,5.8){A}{A}
\cnodeput(7.4,3.6){B}{B}
\cnodeput(6,0.7){C}{C}
\cnodeput(1,2.4){D}{D}
\cnodeput(1,4.4){E}{E}
\ncarc{<->}{A}{E} 
\ncarc{->}{A}{B}
\ncarc{->}{B}{C}
\ncarc{->}{C}{D}
\ncarc{->}{D}{E}
\ncarc{->}{B}{E}
\ncarc{->}{E}{C}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Les sommets étant classés dans l'ordre alphabétique,  
	\begin{enumerate}
		\item  la matrice associée au graphe G est : $\begin{pmatrix}
0 	&1	&0	&0	&1\\ 		 
1	&0 	&1	&0 &1\\ 
0	&1 	&0	&1	&1\\ 
0	&0	&1	&0	& 1\\
1	&1	&1	&1	& 0\\
\end{pmatrix}$ 
		\item la matrice associée au graphe G est : $\begin{pmatrix}
0 	&1	& 1	& 1	&1\\ 		 
0	&0 	&1	& 1 &1\\ 
0	&0 	&0	&1	&1\\ 
0	&0	&0	&0	&1\\
0	& 0	&1	&0	&0\\
\end{pmatrix}$  
		\item la matrice associée au graphe G est : $\begin{pmatrix}
0 	&1	&0	&0	&1\\ 		 
0	&0 	&1	&0 	&1\\ 
0	&0 	&0	&1	&0\\ 
0	&0	&0	&0	&1\\
1	&0	&1	&0	&0\\
\end{pmatrix}$
	\end{enumerate} 
\item Le nombre de chaînes de longueur 3 qui vont du sommet A vers le sommet D du graphe G est : 
	\begin{enumerate}
		\item 3 
		\item 2 
		\item 4
	\end{enumerate} 
\item Le graphe G est pondéré par la distance exprimée en mètres entre deux carrefours comme suit: 

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(8,6)
\cnodeput(3.7,5.8){A}{A}
\cnodeput(7.4,3.6){B}{B}
\cnodeput(6,0.7){C}{C}
\cnodeput(1,2.4){D}{D}
\cnodeput(1,4.4){E}{E}
\ncarc{<->}{A}{E}\ncput*{800} 
\ncarc{->}{A}{B}\ncput*{200}
\ncarc{->}{B}{C}\ncput*{\np{1000}}
\ncarc{->}{C}{D}\ncput*{300}
\ncarc{->}{D}{E}\ncput*{100}
\ncarc{->}{B}{E}\ncput*{200}
\ncarc{->}{E}{C}\ncput*{300}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

Un automobiliste est au carrefour A et cherche à rejoindre le carrefour D.
 
Le poids (minimum) en mètres de la plus courte chaîne reliant le sommet A au sommet D est:
	\begin{enumerate}
		\item \np{1400} 
		\item \np{1000} 
		\item 900 
	\end{enumerate}
\item En tenant compte du sens de circulation la plus grande distance parcourue est:
	\begin{enumerate}
		\item de A vers D. 
		\item de B vers D. 
		\item de C vers B.
	\end{enumerate}		 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

Soient $f$ et $g$ les fonctions définies sur $[0~;~+ \infty[$ par :

\[f(t) = 2 \ln(t +1) + 1\quad \text{et} \quad  g(t) = \cfrac{4}{ 1 + 
\text{e}^{- t}}.\]

\smallskip
\begin{enumerate} 
\item Étude de la fonction $f$
	\begin{enumerate} 
		\item Étudier la limite de $f$ en $+ \infty$.
		\item Étudier le sens de variation de $f$.

Dresser le tableau de variations de $f$.
	\end{enumerate}
\item Étude de la fonction $g$
	\begin{enumerate} 
		\item Étudier la limite de $g$ en $+ \infty$.
		\item Étudier le sens de variation de $g$.

Dresser le tableau de variations de $g$.
	\end{enumerate}
\item Étude graphique

Sur la feuille donnée en annexe, la courbe $\mathcal{C}$ est la représentation 
graphique de $f$ dans un repère orthogonal \Oij. On appelle $\Gamma$ la courbe
 représentative de la fonction $g$ dans ce repère.
	\begin{enumerate} 
		\item Une des deux courbes admet une asymptote. Préciser laquelle et tracer  cette asymptote dans le repère \Oij.
		\item Tracer la courbe $\Gamma$.
		\item À l'aide du graphique, donner une valeur approchée à $0,1$ près de l'abscisse $\alpha$ du point d'intersection des courbes $\mathcal{C}$ et $\Gamma$, puis étudier graphiquement le signe de $g(t) - f (t)$ suivant
les valeurs de $t$.
	\end{enumerate}
\item Calcul de primitives
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que $g(t) = \cfrac{4 \text{e}^t}{\text{e}^t + 1}$ pour tout $t$ de $[0~;~+ \infty[$.

En déduire une primitive de $g$ sur $[0~;~  + \infty[$.
		\item Soit $H$ la fonction définie sur $[0~;~  + \infty[$ par 

\[H(t) = (t + 1) \ln (1+t) - t.\]

Déterminer la dérivée de $H$ et en déduire une primitive de $f$ sur
 $[0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate} 
\item Application économique

Un plan de restructuration dans une industrie est établi sur cinq ans. On 
admet que $f(t)$ modélise le nombre d'emplois créés, en milliers d'emplois,
 et que $g(t)$ représente le nombre d'emplois supprimés, en milliers d'emplois, $t$ représentant le temps en années.

On admet que, sur cinq ans, la variation du nombre d'emplois est donnée 
par :

\[\text{I} = \displaystyle\int_0^5 [f(t) -g(t)]\:\text{d}t.\]

	\begin{enumerate} 
		\item Calculer I et donner la variation du nombre d'emplois sur les cinq ans à la dizaine d'emplois près.

Interpréter ce résultat.
		\item Déterminer, à l'aide de la \textbf{question 3}, le temps nécessaire, exprimé  en mois, pour que le nombre d'emplois créés soit supérieur au nombre d'emplois supprimés.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{Annexe à rendre avec la copie}

\vspace{1cm} Exercice 1

\vspace{1cm}

\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.428cm}
\begin{pspicture}(18,28)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(18,28)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2](0,0)(18,28)
\psdots[dotstyle=*,dotscale=1.3](5,26.2)(6,23.7)(7,21.4)(8,18.5)(9,16.8)(10,15.4)(11,14.6)
\end{pspicture}

\newpage

\textbf{Exercice 2}

\vspace{0,5cm}

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|>{\centering\arraybackslash}X|c|>{\centering\arraybackslash}X|}\hline
Question 1&& Vrai ou Faux\\ \hline
& a &  \\ \hline   
& b &  \\ \hline 
& c &  \\ \hline
Question 2&& Vrai ou Faux\\ \hline
& a &  \\ \hline   
& b &  \\ \hline 
& c &  \\ \hline
Question 3&& Vrai ou Faux\\ \hline
& a &  \\ \hline   
& b &  \\ \hline 
& c &  \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\vspace{1cm}

\textbf{Problème}

\vspace{1cm}

\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(5,5)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=2,Dy=2](0,0)(0,0)(5,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[u](3.8,4.2){\blue $\mathcal{C}$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{5}{x 1 add ln 2 mul 1 add}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}