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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES juin 2004}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2004}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Polynésie juin 2004~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

L'INED (Institut National d'Études Démographiques) a publié les informations
 suivantes sur la population française entre 1992 et 2000.

\medskip

{\small \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année&1992&1993 &1994 &1995&1996&1997&1998&1999&2000\\ \hline
Population(*)&57,24&57,47&57,66&57,84&58,02&58,21&58,40&58,62&58,62\\ 
\hline
 Nombre moyen d'enfants par femme&1,73&1,65&1,65&1,71&1,73&1,73&1,76&1,79&1,89\\\hline 
Espérance de vie à la naissance des hommes&73,2&73,3&73,7&73,9&74,2&74,6&74,6&74,9&75,2\\ \hline
Espérance de vie à la naissance des femmes&81,4& 81,4&81,8&81,9&82&82,3&82,4&82,4&84,7\\ \hline
\multicolumn{10}{r}{\footnotesize (*) en millions d'individus, arrondis à la dizaine de milliers.}
\end{tabularx} }

\medskip

\emph{Chaque question comporte trois propositions repérées par
les lettres a, b et c. Pour chaque question, une seule proposition est exacte. 
Indiquez laquelle en justifiant votre réponse.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le taux d'accroissement (arrondi au millième) de la population 
française entre 1992 et 2000 est-il de 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}\quad 1,024 ?& \textbf{b.}\quad $2,4\:\%$ ?&  \textbf{c.}\quad $0,24\,\%$ ?\\
\end{tabularx}
\medskip

\item En supposant un taux d'accroissement de $1\,\%$ tous les cinq ans, à 
partir de 2000, quel calcul permettrait d'obtenir exactement la 
population en 2020 ?

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
 \textbf{a.}\quad $58,62 \times 1,01^4$&   \textbf{b.}\quad $58,62 + 0,05$ 
& \textbf{c.}\quad $58,62 + 4 \times \np{0,5862}$.\\
\end{tabularx}
\medskip

\item Le taux d'accroissement de l'espérance de vie des femmes, entre 1996
 et 2000, est-il 
	\begin{enumerate}
		\item plus du triple de celui des hommes ? 
		\item le triple de celui des hommes ? 
		\item moins du triple de celui des hommes ?
	\end{enumerate}
\item Supposons que l'on ait effectué un ajustement linéaire du nuage de
 points représentant la population française en fonction des années, 
selon la méthode des moindres carrés. D'après cet ajustement, l'estimation
 de la population française en 2004 à 1 million près est-elle

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}\quad 59 ? & \textbf{b.}\quad 61 ? & \textbf{c.}\quad 62 ?\\
\end{tabularx}
\medskip 

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement
de spécialité}

\medskip

Un jeu télévisé propose quatre questions à un candidat. Pour chacune 
des quatre questions l'animateur propose trois réponses possibles, 
une seule étant la réponse exacte. 

Les questions posées lors du jeu  sont indépendantes les unes des autres. 

Un candidat retenu pour participer au jeu a une chance sur deux de connaître
 la réponse exacte à la question posée et, s'il ne connaît pas la 
réponse exacte, il répond au hasard.

\emph{Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item L'animateur pose la première question au candidat.

On considère les évènements :

$H$ : \og le candidat choisit au hasard la réponse à la première question \fg{}.

$E$ : \og le candidat répond correctement à la première question \fg{}.

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $P(H)$.
		\item Sachant qu'un candidat répond au hasard à la première question, 
quelle est la probabilité qu'il réponde correctement ? En déduire 
$P(E \cap H)$.
		\item Calculer $P(E)$. On pourra s'aider d'un arbre de probabilité.
		\item Un candidat a répondu correctement à la première question. Quelle  est la probabilité qu'il ait répondu au hasard à cette question ?
	\end{enumerate}
\item On admet que la probabilité qu'un candidat réponde correctement à 
une question est $\dfrac{2}{3}$.

On note $X$ le nombre de réponses exactes à l'issue des quatre questions.
	\begin{enumerate}
		\item Préciser la nature de la loi de probabilité de $X$ et donner ses 
paramètres. 
		\item Quelle est la probabilité que le candidat réponde correctement aux quatre questions ? 
		\item Quelle est la probabilité que le candidat donne au moins une bonne réponse ?
	\end{enumerate}  
 \end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\emph{Étude de l'évolution météorologique d'un jour à l'autre dans une
 localité.\\
Tous les résultats seront donnés sous forme de fractions rationnelles.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

$\bullet~$ S'il fait sec aujourd'hui, alors il fera encore sec demain avec
 la probabilité $\dfrac{5}{6}$, donc il fera humide
demain avec la probabilité $\dfrac{1}{6}$.

$\bullet~$ S'il fait humide aujourd'hui, alors il fera encore humide demain
 avec la probabilité $\dfrac{2}{3}$.

Nous sommes dimanche et il fait sec. On s'intéresse à l'évolution 
météorologique des jours suivants.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un arbre de probabilité représentant la situation de 
dimanche à mercredi.

\item En déduire la probabilité des évènements suivants :

$J$ : \og il fera sec lundi, mardi et mercredi \fg{} ;
	
$K$ : \og il fera sec mardi \fg{} ;
	
$L$ : \og il fera humide mercredi \fg.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $n$ un entier naturel, on note :

$s_n$ la probabilité pour que le jour $n$, il fasse sec ;

$h_n$ la probabilité pour que le jour $n$, il fasse humide ;

$P_n$ la matrice $(s_n,~h_n)$ traduisant l'état probabiliste du temps
 le jour $n$. Déterminer une relation entre $s_n$ et $h_n$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Si le premier dimanche est le jour correspondant à $n = 0$, donner  la matrice associée à l'état initial du temps. 
		\item Décrire l'évolution de cet état à l'aide d'un graphe probabiliste.
	\end{enumerate}
\item La matrice M de ce graphe est	$\begin{pmatrix}
\dfrac{5}{6}&\dfrac{1}{6}\\
\dfrac{1}{3}&\dfrac{2}{3}\\
\end{pmatrix}$

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer M$^2$ (utiliser la calculatrice).
		\item Expliquer comment retrouver à l'aide de la matrice M, la situation du mardi étudiée dans la partie A.
	\end{enumerate}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'état stable associé à l'évolution météorologique.
		\item En déduire, qu'à long terme, la probabilité qu'il pleuve un certain jour est $\dfrac{1}{3}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 9 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Dans un cadre économique, on appelle fonction de satisfaction toute 
fonction $f$ définie sur une partie de $\R$ et à valeurs dans 
l'intervalle [0~;~100].

On dit qu'il y a \og saturation \fg{} lorsque la satisfaction est maximale, 
c'est-à-dire lorsque la fonction $f$prend la valeur $100$.

On définit de plus la fonction \og envie \fg{} $v$ dérivée de la fonction 
$f$ ; on a donc $v  = f'$.

On dit qu'il y a  \og envie \fg{} lorsque $v$ est positive sinon on dit qu'il y a \og rejet \fg.

\textbf{Chaque partie traite d'un modèle \boldmath  $f$ 
\unboldmath différent. Les trois parties sont indépendantes.}

\bigskip

\textbf{Partie A }

\medskip

On donne ci-dessous l'allure de la courbe représentative d'une fonction
 de satisfaction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle [0~;~8].
 
\begin{center}
\psset{yunit=0.5mm}
\begin{pspicture}(10,120)
\multido{\n=0+20}{7}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=orange](0,\n)(10,\n)}
\multido{\n=0+1}{11}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=orange](\n,0)(\n,120)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=20]{->}(0,0)(10,120) 
\parabola[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](0,0)(4,100)
\psline[linewidth=1.25pt]{<->}(3,100)(5,100)
\end{pspicture}
\end{center}
\vspace{0,5cm}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Pour quelle quantité $x$ de produit y a-t-il saturation ?
		\item Sur quel(s) intervalle(s) y a-t-il envie ? Y a-t-il rejet ?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Par lecture graphique, donner $v(4)$.
		\item Exprimer $v(x)$ en fonction de $x$ sachant que $v$ est une fonction affine définie sur l'intervalle [0 ; 8] vérifiant $v(0) = 50$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

La fonction \og envie \fg{} $v$ pour un salaire dans une entreprise est modélisée, pour tout $x$ de $[0~;~+ \infty[$ par :

\[v(x) = \dfrac{100}{(x+1)^2}\]

où $x$ désigne le salaire annuel d'un employé en milliers d'euros.

\begin{enumerate}
\item On rappelle que $f$ est une primitive de la fonction $v$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
 
Sachant que $f(0) = 0$, montrer que $f(x) = \dfrac{100x}{x + 1}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en $ + \infty$. Interpréter graphiquement le résultat.
		\item Étudier le sens de variations de $f$ sur $[0 ~;~+ \infty[$. Dresser le tableau de variations de $f$.
		\item Représenter graphiquement la fonction $f$ dans un repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques 1~cm pour \np{1000}~euros en abscisse et 1~cm pour $10$ en ordonnée.
		\item Interpréter les résultats obtenus (limite et variations de $f$) 
en termes de satisfaction.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Une agence de voyages propose différents types de formule pour 
les vacances et décide d'étudier la satisfaction de ses clients 
concernant la durée en jours d'une croisière.

La fonction de satisfaction $f$ est définie sur l'intervalle [0~;~50] 
par 

\[f(x) = 10 x \text{e}^{- 0,1x +1}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$ où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$ sur [0~;~
50].

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le signe de $f'(x)$.
		\item En déduire le sens de variations de $f$ sur [ 0~;~50].
		\item Dresser le tableau de variations de $f$.
	\end{enumerate}
\item Quelle doit être la durée en jours de la croisière pour qu'il y 
ait saturation ?
\end{enumerate}
\end{document}