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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2006}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large  \textbf{\decofourleft~ Baccalauréat ES Polynésie   juin 2006~\decofourright}}
 
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Pour chacune des quatre questions de ce Q. C. M., une seule des trois propositions est exacte. Le candidat recopiera sur sa copie le numéro de la question et la bonne affirmation. Aucune justification n'est demandée.

\emph{Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une réponse inexacte enlève $0,5$ point. L'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point. Si le total est négatif, la note de l'exercice est ramenée à} $0$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Si la fonction $f$ est strictement croissante sur $\R$ alors l'équation $f(x) = 0$ admet :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Au moins une solution.
\item[$\bullet~~$] Au plus une solution.
\item[$\bullet~~$] Exactement une solution.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\item Si la fonction $f$ est continue sur $[a~ ;~ b]$ et si $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes contraires, alors l'équation $f(x) = 0$ admet :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Au moins une solution.
\item[$\bullet~~$] Au plus une solution.
\item[$\bullet~~$] Exactement une solution.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\item Si la fonction $f$ est continue et positive sur $[a~ ;~ b]$ et $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal, alors  l'aire, en unités d'aire $\mathcal{A}$ du domaine délimité par $\mathcal{C}_{f}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x =  a$ et $x = b$ est donnée par la formule :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $\mathcal{A} = \displaystyle\int_{b}^a f(x)\:\text{d}x$.
\item[$\bullet~~$] $\mathcal{A} = \displaystyle\int_{a}^b f(x)\:\text{d}x$.
\item[$\bullet~~$] $\mathcal{A} = f(b) - f(a)$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\item Un produit coûte initialement 500 euros. Son prix augmente de 20\,\%. Si l'on veut revenir au prix initial, il faut :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Diminuer le prix de 20\,\%.
\item[$\bullet~~$] Diminuer le prix de $\dfrac{1}{20}\,\%$.
\item[$\bullet~~$] Diminuer le prix de $100$~euros.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement obligatoire}

\medskip
 
On sait que la courbe $\mathcal{C}_{f}$ d'une fonction numérique $f$ définie sur $]-2~;~+~\infty[$, passe par les points O(0~;~0) et A$(-1~;~0)$, que la tangente à $\mathcal{C}_{f}$ en O a pour coefficient directeur $\ln (2)$ et la tangente à $\mathcal{C}_{f}$ en A a pour équation $y = x + 1$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide des données ci-dessus, donner la valeur de $f(0)$, de $f'(0)$, de $f(- 1)$ et de $f'(- 1)$.
		\item Donner une équation de la tangente en O à $\mathcal{C}_{f}$.
	\end{enumerate}
\item On sait de plus  qu'il existe des réels $a,~ b$ et $c$ tels que pour tout $x > -2$ :

\[ f(x) = \left(ax^2 + bx + c\right) \ln (x + 2).\]

	\begin{enumerate}
		\item Exprimer  $f(0)$ à l'aide de $a,\:b$ et $c$.
		\item Exprimer $f'(x)$ à l'aide de $a,\:b$ et $c$
		\item En déduire $f'(0)$ et $f'(-1)$ à l'aide de $a,\:b$ et $c$.
		\item En déduire les valeurs de $a,~ b$ et $c$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Une compagnie aérienne propose des vols directs entre certaines villes, notées A, B, C, D, E, F et G. Cela conduit au graphe $\mathcal{G}$ suivant, dont les sommets sont les villes et les arêtes représentent les liaisons aériennes :
 
\begin{center}
\psset{xunit=1.25cm}
\begin{pspicture}(5.2,4)
\psset{arrowsize=2.5pt 3} \psset{arcangle=20}
\cnodeput(3,0){A}{A}  \cnodeput(5,2){B}{B} 
\cnodeput(4.6,3){C}{C}  \cnodeput(3.5,3.5){D}{D}
\cnodeput(0.8,2.5){E}{E} \cnodeput(0.5,1){F}{F} 
\cnodeput(1.5,0.3){G}{G} 
\ncarc{B}{A} \ncarc{A}{D}  \ncarc{A}{C}
\ncarc{C}{B} \ncarc{B}{D}  \ncarc{B}{E}  
\ncarc{B}{G}  \ncarc{D}{C} \ncarc{C}{E}  
\ncarc{E}{D}  \ncarc{E}{F} \ncarc{E}{G}
\ncarc{F}{G}  
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le graphe $\mathcal{G}$ est-il complet ? Quel est l'ordre de $\mathcal{G}$ ?
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Sur les cartes d'embarquement, la compagnie attribue à chaque aéroport une couleur, de sorte que deux aéroports liés par un vol direct aient des couleurs différentes.

Proposer un coloriage adapté à cette condition.
		\item Que peut-on en déduire sur le nombre chromatique de $\mathcal{G}$ ?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature du sous graphe formé par les sommets A, B, C et D ?
		\item Quel est le nombre minimal de couleurs que la compagnie doit utiliser pour pouvoir attribuer une couleur à chaque aéroport en respectant les conditions du 2. ?
\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En considérant les sommets dans l'ordre alphabétique, construire la matrice $M$ associée à $\mathcal{G}$.

		\item  On donne : 
		
\[M^8 = \begin{pmatrix}
\np{6945}&\np{9924}& \np{8764}& \np{8764}& \np{9358}& \np{3766}& \np{5786}\\
\np{9924}&\np{14345}& \np{12636}& \np{12636}& \np{13390}& \np{5486}& \np{8310}\\
\np{8764}&\np{12636}&\np{11178}&\np{11177}&\np{11807}&\np{4829}&\np{7369}\\
\np{8764}&\np{12636}&\np{11177}&\np{11178}&\np{11807}&\np{4829}&\np{7369}\\
\np{9358}&\np{13390}&\np{11807}&\np{11807}& \np{12634}&\np{5095}&\np{7807}\\
\np{3766}&\np{5486}&\np{4829}&\np{4829}& \np{5095}&\np{2116}&\np{3181}\\
\np{5786}&\np{8310}&\np{7369}&\np{7369}&\np{7807}&\np{3181}&\np{4890}\\
\end{pmatrix}\]

Combien y a-t-il de chemins de longueurs 8 qui relient B à D ?
\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Pourquoi est-il impossible pour un voyageur de construire un itinéraire qui utilise chaque liaison aérienne une et une seule fois ?
		\item Montrer qu'il est possible de construire un tel itinéraire en ajoutant une seule liaison qui n'existe pas déjà et que l'on précisera.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip

Une enquête est réalisée auprès des clients d'une compagnie aérienne. Elle révèle que 40\,\% des clients utilisent la compagnie pour des raisons professionnelles, que 35\,\% des clients utilisent la compagnie pour des raisons touristiques et le reste pour diverses autres raisons. 

Sur l'ensemble de la clientèle, 40\,\%  choisissent de voyager en première classe et le reste en seconde classe. 

En fait, 60\,\%  des clients pour raisons professionnelles voyagent en première classe, alors que seulement 20\,\% des clients pour raisons touristiques voyagent en première classe.

On choisit au hasard un client de cette compagnie. On suppose que chaque client à la même probabilité d'être choisi. On note :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  $A$ l'évènement \og le client interrogé voyage pour des raisons professionnelles \fg 
\item  $T$ l'évènement \og le client interrogé voyage pour des raisons touristiques \fg 
\item  $D$ l'évènement \og le client interrogé voyage pour des raisons autres que professionnelles ou touristiques \fg
\item  $V$ l'évènement \og le client interrogé voyage en première classe \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
    
\medskip
    
Si $E$ et $F$ sont deux évènements, on note $p(E)$ la probabilité que $E$ soit réalisé, et $p_F(E)$ la probabilité que $E$ soit réalisé sachant que $F$ est réalisé. D'autre part, on notera $\overline{E}$ l'évènement contraire de $E$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer : $p(A), \: p(T),\: p(V), \:p_{A}(V)$ et $p_{T}(V)$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la probabilité que le client interrogé voyage en première classe et pour des raisons professionnelles.
		\item Déterminer la probabilité que le client interrogé voyage en première classe et pour des raisons touristiques.
		\item En déduire la probabilité que le client interrogé voyage en première classe et pour des raisons autres que professionnelles ou touristiques.
	\end{enumerate} 
\item Déterminer la probabilité que le client interrogé voyage pour des raisons professionnelles sachant qu'il a choisi la première classe.
\item Soit un entier $n$ supérieur ou égal à 2. On choisit $n$ clients de cette compagnie aérienne d'une façon indépendante.

On note $p_{n}$ la probabilité qu'au moins un de ces clients voyage en seconde classe.
	\begin{enumerate}
		\item Prouver que : $p_{n} = 1 - 0,4^n$. 
		\item Déterminer le plus petit entier $n$ pour lequel $p_{n} > \np{0,9999}$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie pour tout $x \in \R$ par :

\[ f(x) = \left(x^2 + x + 1\right) \text{e}^x.\]
 
Dans le repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 2 cm sur chaque axe, on note $\mathcal{C}_{f}$ sa représentation graphique et $\mathcal{C}_{\text{exp}}$	la représentation graphique de la fonction exponentielle.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	  \begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
		\item Donner les valeurs de $\displaystyle\lim_{x \to -\infty}  x^2\text{e}^x$  et de $\displaystyle\lim_{x \to -\infty}  x\text{e}^x$.
		\item En déduire que $\displaystyle\lim_{x \to -\infty}  f(x) = 0$. Que peut-on en déduire graphiquement ?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $\R$, montrer que 
		
\[f'(x) = (x + 1)(x + 2)\text{e}^x.\]

		\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur $\R$.
		\item En déduire le tableau de variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer le signe de $f$ sur $\R$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Préciser les positions relatives de $\mathcal{C}_{f}$ et de $\mathcal{C}_{\text{exp}}$.
		\item Construire ces deux courbes dans le repère \Oij.
	\end{enumerate}
\item Soit $F$ la fonction définie pour tout $x \in  \R$ par : $F(x) = \left(x^2 - x + 2\right)\text{e}^x$.

Prouver que $F$ est une primitive de $f$ sur $\R$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la valeur exacte de l'aire en cm$^2$ du domaine $\mathcal{D}$ délimité par la courbe $\mathcal{C}_{f}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = - 1$ et $x = 0$.
		\item Déterminer la valeur exacte de l'aire en cm$^2$ du domaine $\mathcal{D}'$ délimité par les courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{\text{exp}}$, et les droites d'équations $x = - 1$ et $x = 0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}  