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% Tapuscrit Denis Vergès et pour l'exercice de spécialité Philippe Camus que nous remercions 
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdfsubject = {Baccalauréat ES},
pdftitle = {Polynésie juin 2007},
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2007}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center} { \Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Polynésie juin 2007~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points}

\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des trois questions, trois réponses sont proposées ; une seule de ces réponses convient.

\textbf{ Indiquer sur votre copie le numéro de la question et recopier la réponse que vous jugez convenir, sans justifier votre choix.}

\emph{Barème : Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une réponse inexacte ou une question sans réponse ne rapporte et n'enlève aucun point.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Voici la courbe représentative d'une fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~6[.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-.5,-0.5)(7,5)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,0)(7,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2000,linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{0}{6}{(6-x)*(x^2-3*x+6)/9}
\end{pspicture} 
\end{center}
Sur l'intervalle [0~;~6[, la fonction composée $x \longmapsto \ln [f(x)]$ :
\setlength\parindent{5mm} 
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  est strictement croissante.
\item[$\bullet~$] a les mêmes variations que $f$.
\item[$\bullet~$] a les variations contraires de celles de $f$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{5mm}
\item  Soit $g$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par $g(x) = 4x -2 \ln x$.

Dans un repère, une équation de la tangente à la courbe représentative de $g$ au point d'abscisse 1 est :
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $y = 2x + 2$.
\item[$\bullet~$] $y = 4x - 2$.
\item[$\bullet~$] $y = 2x + 6$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
\item  L'ensemble des solutions de l'équation $2 \ln x = \ln (2x + 3)$ est :
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] l'ensemble vide.
\item[$\bullet~$] $\{-1~;~3\}$.
\item[$\bullet~$] $\{3\}$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Dans un village de vacances, trois stages sont proposés aux adultes et aux enfants. Ils ont lieu dans la même plage horaire ; leurs thèmes sont : la magie, le théâtre et la photo numérique.
\par

150 personnes dont 90 adultes se sont inscrites à l'un de ces stages. Parmi les 150 personnes inscrites, on relève que :
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] la magie a été choisie par la moitié des enfants et 20\,\% des adultes
\item[$\bullet~$] 27 adultes ont opté pour la photo numérique ainsi que 10\,\% des enfants.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
\begin{enumerate}
\item  Recopier et compléter le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
		&Magie	&Théâtre	&Photo numérique&Total\\ \hline
Adultes	&		&			&				& \\  \hline	
Enfants	&		&			&				&  \\ \hline	
Total	&		&			&				&	150\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

On appelle au hasard une personne qui s'est inscrite à un stage. On pourra utiliser les notations suivantes :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $A$ l'évènement \og la personne appelée est un adulte \fg{};
\item[$\bullet~$] $M$ l'évènement \og la personne appelée a choisi la magie \fg{};
\item[$\bullet~$] $T$ l'évènement \og la personne appelée a choisi le théâtre \fg{};
\item[$\bullet~$] $N$ l'évènement \og la personne appelée a choisi la photo numérique \fg{}.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Quelle est la probabilité que la personne appelée soit un enfant ? 
		\item  Quelle est la probabilité que la personne appelée ait choisi la photo sachant que c'est un adulte ? 
		\item  Quelle est la probabilité que la personne appelée soit un adulte ayant choisi le théâtre
	\end{enumerate}
\item Montrer que la probabilité que la personne appelée ait choisi la magie est $0,32$.
\item Le directeur du village désigne une personne ayant choisi la magie. Il dit qu'il y a deux chances sur trois pour que ce soit un enfant. A-t-il raison ? Justifier votre réponse.
\item On choisit, parmi les personnes qui désirent suivre un stage, trois personnes au hasard. On assimile ce choix à un tirage avec remise.

Quelle est la probabilité qu'une seule personne ait choisi la magie (\emph{on donnera une valeur arrondie au centième}) ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Une entreprise fabrique des savons et des bougies parfumées en quantités
respectives $x$ et $y$ exprimées en tonnes.

Le coût total de production $z$, exprimé en milliers d'euros, est
donné par la relation 

\[z = 2x^{2}-8x+y^{2}-6y+18 \:\text{ avec }\: x \in \left[0~;~6\right]\: \text{ et }\:y \in \left[0~;~8\right].\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item  La surface $\mathcal{S}$ représentant
le coût en fonction de $x$ et $y$ dans un repère orthogonal \Oijk{}
est donnée sur la feuille annexe 1, figure 1.

\begin{center}
\textbf{\textsl{L'annexe $1$ sera rendue complétée avec la copie.}}
\par\end{center}

\begin{enumerate}
\item  Le point A(3~;~2~;~3) appartient-il à la surface $\mathcal{S}$ ? Justifier. 

\medskip

\item  Placer sur la figure 1 le point $B$
d'abscisse 5 et d'ordonnée 2 qui appartient à $\mathcal{S}$.

\medskip

\item  Soit $y = 2$. Exprimer alors $z$ sous
la forme $z = f\left(x\right)$ puis donner la nature de la section
de la surface $\mathcal{S}$ par le plan d'équation $y = 2$ en justifiant.
\end{enumerate}

\item  La fabrication de $x$ tonnes de savons et de
$y$ tonnes des bougies parfumées engendre la contrainte $x + y = 5$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Quelle est la nature de l'ensemble des points
de l'espace dont les coordonnées vérifient $x + y = 5$ ?

\medskip

\item  Vérifier que, sous la contrainte $x + y = 5$, $z$
peut s'écrire sous la forme $z=g\left(x\right)$ avec 

$g(x) = 3x^{2} - 12x + 13$.

\medskip

\item  Déterminer la valeur de $x$ pour laquelle $g$
admet un minimum puis la valeur de $y$ et le coût de production $z$
qui correspondent. On note $C$ le point de la surface $\mathcal{S}$
qui correspond à ce coût minimum.

\medskip

\item  On donne, sur la feuille annexe 1, figure 2,
la projection orthogonale de la surface $\mathcal{S}$ sur le plan
$\left(x\text{O}y\right)$ (\og vue de dessus de la surface $\mathcal{S}$ \fg{}).

Construire sur cette figure 2 la projection orthogonale sur le plan
$\left(x\text{O}y\right)$ des points dont les coordonnées vérifient $x+y=5$.

Placer sur cette figure 2 le point $C_{1}$, projeté orthogonal du
point $C$ sur le plan $\left(x\text{O}y\right)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage

\begin{center}
\textbf{\textcolor{black}{ANNEXE 1 : Exercice 2 (spécialité)}}
\par\end{center}

\begin{center}
\textbf{\textcolor{black}{À rendre avec la copie}}
\par\end{center}

\textbf{\textcolor{black}{Figure 1}}

%\begin{center}
\hspace{-2cm}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-3,-2)(15,9)
\psset{Beta=30,Alpha=170}
%\psset{Beta=85,Alpha=160} pour tests
\pstThreeDCoor[xMin=0,yMin=0,zMin=0,xMax=8,yMax=6,zMax=60,drawing=false]
\pstThreeDLine(0,0,0)(0,0,6)(0,6,6)(8,6,6)(8,6,0)(8,0,0)(0,0,0)
\pstThreeDPut(-0.5,0,2){20}
\pstThreeDPut(-0.5,0,4){40}
\pstThreeDPut(-0.5,0,6){60}
\pstThreeDPut(-0.5,0,1){10}
\pstThreeDPut(-0.5,0,3){30}
\pstThreeDPut(-0.5,0,5){50}  
\pstThreeDPut(-0.5,0,0){0}
\pstThreeDPut(3,0,-1){$y$}
\pstThreeDPut(9,3,0){$x$}
\pstThreeDPut(-1,0,3){$z$}
\pstThreeDLine(0,6,0)(0,6,6)
\multido{\n=0+1}{9}{\pstThreeDPut(\n,0,-0.5){\n}}
\multido{\n=0+1}{7}{\pstThreeDPut(8.5,\n,0){\n}}
\multido{\n=0+1}{6}{\pstThreeDLine(0,0,\n)(0,6,\n)(8,6,\n)}
\multido{\n=0+1}{8}{\pstThreeDLine(\n,0,0)(\n,6,0)}
\multido{\n=0+1}{6}{\pstThreeDLine(8,\n,0)(0,\n,0)}
%z est divisé par 10
%z=0-10
\newgray{gris}{0.85}
\parametricplotThreeD(-70.529,250.529){t cos 3 mul 3 add t sin 2.121 mul 2 add  1}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ 
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](-70.529,250.529){t cos 3 mul 3 add t sin 2.121 mul 2 add  1}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](2,4){t 0 t 2 exp 6 t mul sub 18 add 10 div}}
 %z=10-20
\newgray{gris}{0.7}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](250.529,-70.529){t cos 3 mul 3 add t sin 2.121 mul 2 add  1}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](4,6.317){t 0 t 2 exp 6 t mul sub 18 add 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](-40.458,133.492){t cos 4.359 mul 3 add t sin 3.082 mul 2 add 2}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](4.236,0){0 t t 2 exp 2 mul 8 t mul sub 18 add 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](0,2){t 0 t 2 exp 6 t mul sub 18 add 10 div}
}
%z=20-30
\newgray{gris}{0.55}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](-31.683,-21.801){t cos 5.385 mul 3 add t sin 3.808 mul 2 add 3}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,linecolor=blue](0.586,3.414){8 t t 2 exp 2 mul 8 t mul sub 34 add 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](21.801,123.8545){t cos 5.385 mul 3 add t sin 3.808 mul 2 add 3}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,linecolor=blue](5.162,4.236){0 t t 2 exp 2 mul 8 t mul sub 18 add 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](133.492,-40.458){t cos 4.359 mul 3 add t sin 3.082 mul 2 add 2}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,linecolor=blue](6.317,7.582){t 0 t 2 exp 6 t mul sub 18 add 10 div}}

%z=30-40
\newgray{gris}{0.4}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,linecolor=blue](7.582,8){t 0 t 2 exp 6 t mul sub 18 add 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,linecolor=blue](0,0.586){8 t t 2 exp 2 mul 8 t mul sub 34 add 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](-21.801,-31.683){t cos 5.385 mul 3 add t sin 3.808 mul 2 add 3}}
\pscustom[fillstyle=solid, fillcolor=gris]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](21.801,123.8545){t cos 5.385 mul 3 add t sin 3.808 mul 2 add 3}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,linecolor=blue](5.162,5.873){0 t t 2 exp 2 mul 8 t mul sub 18 add 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](118.7105,115.066){t cos 6.245 mul 3 add t sin 4.416 mul 2 add 4}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,linecolor=blue](0.354,5.646){t 6 t 2 exp 6 t mul sub 42 add 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](64.934,36.809){t cos 6.245 mul 3 add t sin 4.416 mul 2 add 4}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,linecolor=blue](4.646,3.414){8 t t 2 exp 2 mul 8 t mul sub 34 add 10 div}}

%z=40-50
\newgray{gris}{0.25}
\pscustom[fillstyle=solid, fillcolor=gris]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](36.809,64.934){t cos 6.245 mul 3 add t sin 4.416 mul 2 add 4}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,linecolor=blue](5.646,7.123){t 6 t 2 exp 6 t mul sub 42 add 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](53.913,44.415){t cos 7 mul 3 add t sin 4.95 mul 2 add 5}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,linecolor=blue](5.448,4.646){8 t t 2 exp 2 mul 8 t mul sub 34 add 10 div}}

\pscustom[fillstyle=solid, fillcolor=gris]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](115.066,118.7105){t cos 6.245 mul 3 add t sin 4.416 mul 2 add 4}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,linecolor=blue](5.873,6){0 t t 2 exp 2 mul 8 t mul sub 18 add 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,linecolor=blue](0,0.354){t 6 t 2 exp 6 t mul sub 42 add 10 div}}

%z=50-60
\newgray{gris}{0.1}
\pscustom[fillstyle=solid, fillcolor=gris]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](53.913,44.415){t cos 7 mul 3 add t sin 4.95 mul 2 add 5}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,linecolor=blue](5.448,6){8 t t 2 exp 2 mul 8 t mul sub 34 add 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,linecolor=blue](8,7.123){t 6 t 2 exp 6 t mul sub 42 add 10 div}}

%la surface...
\psplotThreeD[xPlotpoints=8,yPlotpoints=6,drawStyle=xyLines,linecolor=blue,plotstyle=curve](0,8)(0,6){%
y 2 exp 2 mul x 2 exp add y 8 mul sub x 6 mul sub 18 add 10 div}
% le bord de la surface :
\parametricplotThreeD[linecolor=blue](0,8){t 6 t 2 exp 6 t mul sub 42 add 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,linecolor=blue](0,6){8 t t 2 exp 2 mul 8 t mul sub 34 add 10 div}
%la légende
\psframe[linewidth=0.5pt](9.5,0)(12,6)
\psset{linewidth=0.5pt, fillstyle=solid}
\newgray{gris}{0.85}
\psframe[ fillcolor=gris](9.6,0.5)(9.9,0.8)  \rput[l](10.5,0.65){0-10}
\newgray{gris}{0.7}
\psframe[ fillcolor=gris](9.6,1.5)(9.9,1.8)  \rput[l](10.5,1.65){10-20}
\newgray{gris}{0.55}
\psframe[ fillcolor=gris](9.6,2.5)(9.9,2.8)  \rput[l](10.5,2.65){20-30}
\newgray{gris}{0.4}
\psframe[ fillcolor=gris](9.6,3.5)(9.9,3.8)  \rput[l](10.5,3.65){30-40}
\newgray{gris}{0.25}
\psframe[ fillcolor=gris](9.6,4.5)(9.9,4.8)  \rput[l](10.5,4.65){40-50}
\newgray{gris}{0.1}
\psframe[ fillcolor=gris](9.6,5.5)(9.9,5.8)  \rput[l](10.5,5.65){50-60}
\end{pspicture*}
\par
%\end{center}

\textbf{\textcolor{black}{Figure 2}}

\begin{center}
%Polynésie 2007, figure 2

\psset{unit=1cm}

\begin{pspicture}(-1,-1)(14,7)

\newgray{gris}{0.85}
\pscustom[fillstyle=solid, fillcolor=gris]{
\parametricplot{-70.529}{250.529}{t cos 3 mul 3 add t sin 2.121 mul 2 add }
\psline(2,0)(4,0)}

\newgray{gris}{0.7}
\pscustom[fillstyle=solid, fillcolor=gris]{
\parametricplot{-70.529}{250.529}{t cos 3 mul 3 add t sin 2.121 mul 2 add }
\psline(2,0)(0,0)(0,4.236)
\parametricplot{133.492}{-40.458}{t cos 4.359 mul 3 add t sin 3.082 mul 2 add }
\psline(6.317,0)(4,0)}

\newgray{gris}{0.55}
\pscustom[fillstyle=solid, fillcolor=gris]{
\parametricplot{-40.458}{133.492}{t cos 4.359 mul 3 add t sin 3.082 mul 2 add }
\psline(0,4.236)(0,5.162)
\parametricplot{123.8545}{21.801}{t cos 5.385 mul 3 add t sin 3.808 mul 2 add }
\psline(8,3.414)(8,0.586)
\parametricplot{-21.801}{-31.683}{t cos 5.385 mul 3 add t sin 3.808 mul 2 add }
\psline(7.582,0)(6.317,0)}

\newgray{gris}{0.4}
\pscustom[fillstyle=solid, fillcolor=gris]{
\psline(7.582,0)(8,0)(8,0.586)
\parametricplot{-21.801}{-31.683}{t cos 5.385 mul 3 add t sin 3.808 mul 2 add }}
\pscustom[fillstyle=solid, fillcolor=gris]{
\parametricplot{123.8545}{21.801}{t cos 5.385 mul 3 add t sin 3.808 mul 2 add }
\psline(8,3.414)(8,4.646)
\parametricplot{36.809}{64.934}{t cos 6.245 mul 3 add t sin 4.416 mul 2 add }
\psline(5.646,6)(0.354,6)
\parametricplot{115.066}{118.7105}{t cos 6.245 mul 3 add t sin 4.416 mul 2 add }
\psline(0,5.873)(0,5.162)}

\newgray{gris}{0.25}
\pscustom[fillstyle=solid, fillcolor=gris]{
\parametricplot{36.809}{64.934}{t cos 6.245 mul 3 add t sin 4.416 mul 2 add }
\psline(5.646,6)(7.123,6)
\parametricplot{53.913}{44.415}{t cos 7 mul 3 add t sin 4.95 mul 2 add }
\psline(8,5.448)(8,4.646)}
\pscustom[fillstyle=solid, fillcolor=gris]{
\parametricplot{115.066}{118.7105}{t cos 6.245 mul 3 add t sin 4.416 mul 2 add }
\psline(0,5.873)(0,6)(0.354,6)}

\newgray{gris}{0.1}
\pscustom[fillstyle=solid, fillcolor=gris]{
\parametricplot{53.913}{44.415}{t cos 7 mul 3 add t sin 4.95 mul 2 add }
\psline(8,5.448)(8,6)(7.123,6)}
\psgrid[subgriddiv=0,gridcolor=black,gridwidth=0.6pt](0,0)(8,6)
%la légende
\psframe[linewidth=0.5pt](10,0)(12.8,6)
\psset{linewidth=0.5pt, fillstyle=solid}
\newgray{gris}{0.85}
\psframe[ fillcolor=gris](10.2,0.5)(10.5,0.8)  \rput[l](11,0.65){0-10}
\newgray{gris}{0.7}
\psframe[ fillcolor=gris](10.2,1.5)(10.5,1.8)  \rput[l](11,1.65){10-20}
\newgray{gris}{0.55}
\psframe[ fillcolor=gris](10.2,2.5)(10.5,2.8)  \rput[l](11,2.65){20-30}
\newgray{gris}{0.4}
\psframe[ fillcolor=gris](10.2,3.5)(10.5,3.8)  \rput[l](11,3.65){30-40}
\newgray{gris}{0.25}
\psframe[ fillcolor=gris](10.2,4.5)(10.5,4.8)  \rput[l](11,4.65){40-50}
\newgray{gris}{0.1}
\psframe[ fillcolor=gris](10.2,5.5)(10.5,5.8)  \rput[l](11,5.65){50-60}
\end{pspicture}
\par\end{center}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Le tableau ci-dessous donne l'évolution du montant des ventes d'appareils photos numériques en France, en milliers d'euros, entre 1999 et 2004.

\begin{center}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année						&1999	&2000	&2001	&2002		&2003		&2004\\ \hline
Rang de l'année $x_{i}$		&1		&2		&3		&4			&5			&6\\ \hline
Montant des ventes $y_{i}$	&179	&332	&584	&\np{1092}	&\np{2675}	&\np{4164}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer l'augmentation, en pourcentage, du montant des ventes entre 1999 et 2000 puis entre 2000 et 2001. On exprimera ces pourcentages par un nombre entier en effectuant un arrondi.\\
Peut-on additionner ces augmentations successives pour obtenir le pourcentage d'augmentation entre 1999 et 2001 ? Justifier.
\item  La rapidité de la croissance suggère un ajustement de type exponentiel. On pose : $z_{i} = \ln \left(y_{i}\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item  Présenter la série statistique $\left(x_{i}~;~z_{i}\right)$ dans un tableau en arrondissant les valeurs de $z_{i}$ au centième.
		\item  Donner une équation de la droite d'ajustement affine de $z$ en $x$ par la méthode des moindres carrés, les coefficients seront arrondis au centième.
		\item  En utilisant cet ajustement, donner une estimation du montant des ventes pour l'année 2008, arrondie au millier d'euros.
	\end{enumerate}
\item Du fait de l'apparition des téléphones mobiles avec appareil photo intégré, on a observé un ralentissement dans la progression des ventes, avec un montant de \nombre{5027} milliers d'euros en 2005 puis une diminution de 10\,\%  en 2006.
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer le montant des ventes, arrondi au millier d'euros, pour 2006.
		\item  En supposant qu'après 2006 le montant des ventes continuera de baisser de 10\,\% par an, quelle prévision peut-on faire pour 2008 ? (On arrondira le montant au millier d 'euros)
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Dans une entreprise, on a modélisé le bénéfice réalisé, en milliers d'euros, pour la vente de $x$ centaines d'appareils par la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par :
 
\[f(x) = - 2x + \left(\text{e}^2 - 1\right)\ln x + 2.\]

La courbe de la fonction $f$ est donnée sur la figure ci-dessous :
 
\begin{center}
\begin{pspicture}(-2,-3)(10,4)

\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psplot{1}{7.38906}{2.71828 2 exp 1 sub x ln mul 2 add x 2 mul sub} 
\psline(1,0)(7.38906,0)
}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.2pt,linecolor=blue]{0.54}{9.8}{2.71828 2 exp 1 sub x ln mul 2 add x 2 mul sub}
\psline[linestyle=dashed](3.1945,0)(3.1945,3)
\psline[linewidth=1.1pt]{<->}(2.1945,3.05)(4.1945,3.05)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridcolor=orange,gridwidth=0.8pt](0,0)(-2,-3)(10,4)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-2,-3)(10,4)
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier par le calcul que $f(1) = 0$ et $f\left(\text{e}^2\right) = 0$.
\item À l'aide du graphique, déterminer approximativement :
	\begin{enumerate}
		\item  le nombre d'appareils que l'entreprise doit fabriquer pour réaliser un bénéfice maximal et le montant de ce bénéfice ; 
		\item  les valeurs de $x$ pour lesquelles le bénéfice réalisé est positif ou nul,
	\end{enumerate}
\item 	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la dérivée $f'$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ et en déduire le sens de variation de la fonction $f$.
		\item En déduire le nombre d'appareils vendus par cette entreprise quand elle réalise le bénéfice maximal (le résultat sera arrondi à l'unité).
	\end{enumerate}
\item Parmi les courbes données en annexe, une seule correspond à celle d'une primitive de $f$. Déterminer la courbe qui convient, en expliquant votre choix (on pourra s'appuyer sur le signe de $f(x)$).
\item En utilisant le résultat de la question précédente, en déduire, par une lecture graphique, une valeur approchée (en unité d'aire) de l'aire du domaine hachuré dans la figure ci-dessus.
\item 	
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que la fonction $F$ définie sur l'intervalle $]0 ~;~+ \infty[$ par :

\[F(x) = -x^2 + \left(3 - \text{e}^2\right)x + \left(\text{e}^2 - 1\right)x\ln x~~ \text{est une primitive de}~f.\]

		\item Déterminer la valeur moyenne du bénéfice de l'entreprise sur l'intervalle où ce bénéfice est positif ou nul.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE : exercice 4}
\medskip

\psset{unit=6mm}
\begin{pspicture*}(-3,-5)(10,5)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,griddots=10,gridcolor=orange](0,0)(-3,-5)(10,5)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-3,-4.99)(10,5)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3}{-2}{6.389 x div 2 sub}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.9}{10}{6.389 x div 2 sub}
\rput(12,0){Courbe de $F_{1}$}
\end{pspicture*}

\bigskip

\psset{unit=5mm}
\begin{pspicture}(-3,-4)(14,10)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,griddots=10,gridcolor=orange](0,0)(-3,-4)(14,10)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-3,-4)(14,10)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0.01}{12}{6.389 x mul x ln mul x 4.389 mul sub x 2 exp sub 2 add}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0.01}{12}{6.389 x mul x ln mul x 4.389 mul sub x 2 exp sub 2 add}
\rput(17,0){Courbe de $F_{2}$}
\end{pspicture}

\bigskip

\psset{unit=6mm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(10,10)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,griddots=10,gridcolor=orange](0,0)(-2,-2)(10,10)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-2,-2)(10,10)
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0.11}{9.24}{7.2 x mul x ln 6 mul sub x dup mul 0.6 mul sub 4 sub}
\rput(12,0){Courbe de $F_{3}$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}