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% Tapuscrit Jean-Paul Goualard que nous remercions 
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2008}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} { \Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Polynésie juin 2008~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{1cm}

\subsection*{{Exercice 1 \hfill 4 points}}

\emph{Commun à tous les candidats.} 

\medskip

\parbox{0.45\textwidth}{Le plan est muni d'un repère orthonormal. Soient $f$ une fonction définie et dérivable sur l'ensemble $\mathbb{R}$ des nombres réels et $\mathcal{C}$ sa courbe tracée ci-contre. La droite $\mathcal{D}$ est la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0.\\
On appelle B, A et E les points de coordonnées respectives $(4~;~0)$, $\left(4~;~\dfrac{179}{75}\right)$ et $\left(0~;~\dfrac{179}{75}\right)$.
Ces trois points n'appartiennent pas à la  courbe $\mathcal{C}$. }\hfill
\parbox{0.5\textwidth}{\psset{unit=0.72,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-3,-5)(7,6)
\psplot[plotpoints=8000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-0.6}{4.9}{-17*x^3/50+203*x^2/100-3*x+3}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{\psplot{0}{4}{-17*x^3/50+203*x^2/100-3*x+3},\psline(4,0)(0,0)}
\psplot[linewidth=1.25pt]{-1}{2}{-3*x+3}
\psdots(0,2.387)(4,2.387)(4,0)
\uput[l](0,2.387){E}\uput[r](4,2.387){A}\uput[dl](4,0){B}
\uput[r](4.8,-2){\blue $\mathcal{C}$}
\uput[r](1.8,-2){$\mathcal{D}$}
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0,gridwidth=0.4pt,gridcolor=orange](-3,-3)(7,6)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-3,-3)(7,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\end{pspicture}}

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des quatre questions, trois réponses sont proposées ; une seule de ces réponses convient.\\
\textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte sans justifier le choix effectué.}

\bigskip

\emph{Barème : Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une réponse inexacte ou une absence de réponse n'apporte et n'enlève aucun point.}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item  L'ordonnée à l'origine de la droite $\mathcal{D}$ est égale à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~~$}X}}
0& 1& 2\\
\end{tabularx}

\medskip

\item  Le nombre dérivé $f'(0)$ est égal à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~~$}X}}
$\dfrac{-1}{3}$& 5&$-3$\\
\end{tabularx}

\medskip

\item Sachant que l'aire grisée sur la figure est égale à l'aire du rectangle OBAE, la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~4]$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~~$}X}}
$\dfrac{179}{75}$&$\dfrac{716}{75}$&$-\dfrac{179}{75}$.
\end{tabularx}

\medskip

\item Sur l'intervalle $[0~;~4]$, l'équation $f'(x) =0$
	\begin{enumerate}
		\item[$\bullet$] possède deux solutions distinctes
		\item[$\bullet$] ne possède pas de solution.
		\item[$\bullet$] possède une unique solution. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{{Exercice 2 \hfill 5 points}}

\emph{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité.}

\medskip

Un site Internet offre la possibilité à des particuliers de vendre des objets aux enchères.Pour chaque objet, la durée des enchères dure une semaine. Si une annonce reçoit une enchère, alors la vente de l'objet est obligatoire à 1a fin des enchères et ce, même si le vendeur juge le prix de vente trop peu élevé.

Sur ce site une étude statistique a montré que :
\begin{enumerate}
\item[$\bullet$] $\dfrac{3}{5}$ des annonces reçoivent une première enchère le lendemain de leur parution ; dans  ce cas, 75\,\% des vendeurs sont satisfaits du prix de vente final ;
\item[$\bullet$] $\dfrac{1}{3}$ des annonces re\c coit une première enchère au bout de trois jours et, dans ce cas, 57\,\% des vendeurs sont satisfaits du prix de vente final de leur objet ;

\item[$\bullet$] les autres annonces ne reçoivent aucune enchère et le vendeur retire alors son objet de la vente. 
\end{enumerate}
On choisit au hasard une annonce mise en ligne sur le site. On note :

\begin{enumerate}
\item[$\bullet$] $L$ : l'évènement \og l'annonce reçoit une première enchère le lendemain de sa parution \fg ; 
\item[$\bullet$] $T$ : l'évènement \og  l'annonce reçoit une première enchère au bout de trois jours \fg ; 
\item[$\bullet$] $A$: l'évènement \og l'annonce ne reçoit aucune enchère \fg ; 
\item[$\bullet$]  $S$ : l'évènement \og le vendeur est satisfait du prix de vente final de son objet \fg ~et $\overline{S}$ son évènement contraire. 
\end{enumerate}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Traduire la situation par un arbre de probabilité. 
\item Calculer la probabilité que l'annonce ait reçu une première enchère le lendemain de sa parution et que le vendeur soit satisfait du prix de vente final. 

\item Démontrer que la probabilité que le vendeur soit satisfait du prix de vente de son objet est 0,64. 
\item Un objet est vendu à un prix qui satisfait son vendeur. Quelle est la probabilité que cet objet ait reçu une première enchère dès le lendemain de la parution de l'annonce (le résultat sera donné sous forme décimale, arrondi au centième) ? 
\item Marc a mis en vente le même jour trois jeux vidéo identiques sur ce site. On suppose que les déroulements des enchères sont indépendants les uns des autres.

Calculer la probabilité qu'à la fin des enchères, Marc soit  satisfait du prix de vente d'au moins deux de ces jeux vidéo (\emph{le résultat sera donné sous forme décimale, arrondi au centième}). 
\end{enumerate}

\subsection*{{Exercice 2 \hfill 5 points}}

\emph{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Une grande ville a mis en place un système de location de bicyclettes en libre service. Un abonné peut ainsi louer une bicyclette dans une station puis la déposer dans n'importe quelle station de son choix. la ville comporte sept stations de location nommées A, B,  C, D, E, F et G.

Les stations sont reliées entre elles par une piste cyclable et les temps de parcours en minutes sont indiqués sur le graphe ci-contre.
\begin{center}
\psset{unit=0.7cm}
\begin{psmatrix}[mnode=circle,rowsep=0.8cm,colsep=0.8cm]
 &  &  & B \\
A &  &  &  &  & C \\
 & E \\
 &  &  &  &  &  &  & D \\
 & F \\
 &  &  &  & G
\end{psmatrix}
\psset{arrows=-,shortput=nab}
\ncline{2,1}{1,4}^{7}
\ncline{2,1}{2,6}\ncput*{11}
\ncline{2,1}{5,2}\ncput*{13}
\ncline{1,4}{2,6}^{10}
\ncline{1,4}{4,8}\ncput*{15}
\ncline{3,2}{1,4}^{14}
\ncline{2,6}{3,2}^{9}
\ncline{2,6}{5,2}^{18}
\ncline{4,8}{3,2}\ncput*{5}
\ncline{4,8}{6,5}^{5}
\ncline{3,2}{5,2}^{8}
\ncline{5,2}{6,5}^{18}
\end{center}
\smallskip

\begin{enumerate}
\item Philippe, cycliste très prudent, décide de visiter cette ville en n'empruntant que des pistes cyclables. 

A-t-il la possibilité d'effectuer un parcours empruntant une fois et une seule toutes les pistes cyclables. Justifier la réponse. 

À la fin de ce parcours, pourra-t-il rendre sa bicyclette dans la station de départ ? Justifier la réponse.

\item On appelle $M$ la matrice associée à ce graphe. on donne deux matrices $N$ et $T$ :
\begin{center}
$N=\begin{pmatrix}4&9&8&5&5&9&2\\
9&6&10&7&10&6&4\\
8&10&8&5&10&9&4\\
5&7&5&2&8&4&5\\
5&10&10&8&6&11&2\\
9&6&9&4&11&4&6\\
2&4&4&5&2&6&0
\end{pmatrix}~\text{et}~T=\begin{pmatrix}
4&9&8&4&5&9&1\\
9&6&10&6&10&6&4\\
8&10&8&4&10&9&4\\
5&7&5&2&8&4&5\\
5&8&10&8&6&11&0\\
9&6&9&4&11&4&6\\
1&4&4&5&0&6&0
\end{pmatrix}$
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Une des deux matrices $N$ ou $T$ est la matrice $M^3$. Sans calcul, indiquer quelle est la matrice $M^3$. Justifier la réponse.

\item Philippe a loué une bicyclette à la station F et l'a rendue à la station E. Au cours de son déplacement, il est passé exactement deux fois devant une station. Combien de trajets différents a-t-il pu suivre ? Expliquer.
\end{enumerate}

\item Le lendemain, il envisage de rejoindre le plus rapidement possible la station G en partant de la station A. À l'aide d'un algorithme, déterminer un tel parcours et donner le temps nécessaire pour l'effectuer.
\end{enumerate}

\subsection*{{Exercice 3 \hfill 4 points}}

\emph{Commun à tous les candidats.}

\medskip

Le tableau ci-dessous présente l'évolution de l'indice des prix des logements anciens en Île de France entre 2000 et 2006 (base 100 en 2000).

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année					&2000	&2001	&2002	&2003	&2004	&2005	&2006 \\\hline
Rang $x_{i}$ de l'année	&0		&1		&2		&3		&4		&5		&6\\\hline
Indice $y_{i}$ des prix	&100 	&106,3	&114,3	&126,1	&143,6	&166,3	&181,5\\\hline
\multicolumn{8}{r}{\footnotesize (Source : INSEE)}
\end{tabularx}

\medskip

On cherche à étudier l'évolution de l'indice des prix $y$ en fonction du rang de $x$ de l'année.
\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le taux d'évolution de cet indice entre 2000 et 2006.
\item Représenter le nuage de points $M_{i} (x_{i}~;~y_{i})$ associé à cette série statistique dans le plan muni d'un repère orthogonal, d'unités graphiques :

\begin{enumerate}
\item[$\bullet~$] sur l'axe des abscisses, 2~cm pour un an ; 
\item[$\bullet~$] sur l'axe des ordonnées, 1~cm pour $10$ (en plaçant $100$ à l'origine). 
\end{enumerate}

L'allure de ce nuage suggère un ajustement exponentiel.

On pose $z = \ln y$.
\item Recopier et compléter le tableau suivant (les valeurs de $z_{i}$ seront arrondies au millième) :

\smallskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
Rang $x_{i}$		& 0		&1	&2	&3	&4	&5	&6\\\hline
$z_{i}=\ln y_{i}$	&4,605 	&	&	&	&	&	&\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip

\item Dans cette question, les calculs effectués à la calculatrice ne seront pas justifiés.
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer une équation de la droite d'ajustement de $z$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés (\emph{les coefficients seront arrondis au millième}). 
		\item En déduire une approximation de l'indice des prix $y$ en fonction du rang $x$ de l'année. 
	\end{enumerate}
\item On prend l'approximation : $y=96\mathrm{e}^{0,104x}$ et on suppose qu'elle reste valable pour les années suivantes.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $96\mathrm{e}^{0,104n}\geqslant 250$.
		\item Donner une interprétation du résultat obtenu. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{{Exercice 4 \hfill 7 points}}

\emph{ Commun à tous les candidats.}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $] 0~;~+\infty[$  par :
 
\[g(x) =\ln x + 2x^2 - 3.\]

Le tableau de variations de la fonction $g$ est donné ci-dessous :

\begin{center}
\begin{pspicture}(7,2.5)
\psframe(7,2.5) \psline(0,2)(7,2) \psline(2,0)(2,2.5) \psline[doubleline=true](2.2,0)(2.2,2)
\uput[u](1,1.9){$x$} \uput[u](2.2,1.9){$0$} \uput[u](4.5,1.9){$\alpha$} \uput[u](6.6,1.9){$+ \infty$}
\rput(1,1){$g$} \rput(2.6,0.2){$- \infty$} \rput(4.5,1){$0$} \rput(6.7,1.8){$+ \infty$} 
\psline{->}(2.8,0.4)(6.3,1.6)
\end{pspicture}
\end{center}
 
En utilisant une calculatrice, on a obtenu $\alpha\approx1,19$.

Dresser le tableau donnant le signe de la fonction $g$ sur l'intervalle $] 0~;~+\infty[$.
\item On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $] 0~;~+\infty[$  par :
 
\[f(x)=\dfrac{2}{x}- \dfrac{\ln x}{x} +2x - 5.\]

On note $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le repère \Oij.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en 0. 
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
	\end{enumerate}
\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$ et montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $] 0~;~+\infty[$, on a : 
		
\[f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}.\]

		\item En déduire le sens de variation de $f$ sur l'intervalle $] 0~;~+\infty[$ et dresser son tableau de variations.
		\item Déterminer le signe de $f (x)$ pour tout réel $x$ supérieur ou égal à $\mathrm{e}$.

\emph{Toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.}
	\end{enumerate}
\item  Soit $h$ la fonction définie sur $] 0~;~+\infty[$ par $h(x)=\left(\ln x\right)^2$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la dérivée $h'$ de $h$.
		\item En remarquant que pour tout $x$ de l'intervalle $]0~;~+\infty[$, on a : 
		
$f (x) =\dfrac{2}{x}-\dfrac{1}{2}h'(x)+2x-5$, trouver une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
		\item Déterminer l'aire en unités d'aire de la partie du plan délimitée par la courbe $\mathcal{C}_{f}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = \mathrm{e}$ et 
		
$x =\mathrm{e}^{2}$ (\emph{on donnera la valeur exacte, puis une valeur décimale arrondie au dixième}). 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}