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% Merci à Marc Incamps du lycée de Raiatea
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{11 juin 2010}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES  Polynésie 11 juin 2010~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\subsection*{{Exercice 1 \hfill 3 points}}

\emph{Commun à tous les candidats.}

\medskip
 
Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Pour chacune des questions suivantes, trois réponses sont proposées, une seule réponse est exacte.

Indiquer sur votre copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

\medskip
 
\emph{Une réponse exacte rapporte $1$ point, une réponse fausse enlève $0,5$ point, l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Si le total des points est négatif, il est ramené à zéro.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[- 4~;~6]$ dont la courbe est représentée sur la figure ci-dessous dans un repère orthonormé.
 
Les points A$(- 1~;~0)$, B(1~;~4), et C(3~;~0) appartiennent à la représentation graphique de $f$.

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture}(-4,-7)(6,5)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=8000]{-2.2}{4.2}{2 x mul 3 add x dup mul sub}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange](-4,-7)(6,5)
\psaxes[linewidth=1.pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-4,-7)(6,5.)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1)
\uput[ul](-1,0){A} \uput[u](1,4){B} \uput[ur](3,0){C} \uput[dl](0,0){O} 
\uput[d](6,0){$x$}\uput[l](0,4.5){$y$}\uput[d](1,0){1}\uput[l](0,1){1}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}

Parmi les trois courbes suivantes, laquelle est la représentation graphique d'une primitive de la fonction $f$ ? 

\medskip

\psset{unit=0.3cm}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{\centering \arraybackslash}X}}
\begin{pspicture}(-4,-4)(6,12)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange](-4,-4)(6,12)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-4,-4)(6,12)
\psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{-4}{5.4}{x 4 exp 4 div x dup mul 7.2 mul sub 4.8 add neg 0.24 mul}
\uput[d](6,0){$x$}\uput[l](0,12){$y$}\uput[d](1,0){1}\uput[l](0,1){1}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}&
\begin{pspicture}(-4,-10)(6,6)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange](-4,-10)(6,6)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-4,-10)(6,6)
\psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{-3}{5.1}{3 x mul x dup mul add x 3 exp 3 div sub neg }
\uput[d](6,0){$x$}\uput[l](0,6){$y$}\uput[d](1,0){1}\uput[l](0,1){1}\uput[dl](0,0){O}

\end{pspicture}&
\begin{pspicture}(-4,-3)(6,13)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange](-4,-3)(6,13)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-4,-3)(6,13)
\psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{-3}{5.1}{3 x mul x dup mul add x 3 exp 3 div sub}
\uput[d](6,0){$x$}\uput[l](0,13){$y$}\uput[d](1,0){1}\uput[l](0,1){1}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}\\
Courbe $\mathcal{C}_{1}$&Courbe $\mathcal{C}_{2}$&Courbe $\mathcal{C}_{3}$
\end{tabularx}

\medskip

\item Une primitive de la fonction $g$ définie sur l'ensemble des nombres réels $\R$ par $g(x) = x\text{e}^x$ est la fonction $G$ définie sur $\R$ par :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
$\bullet{~~}$ $G(x) = \dfrac{x^2}{2}\text{e}^x$&$\bullet{~~}$ $G(x) = (x + 1)\text{e}^x$&$\bullet{~~}$ $
G(x) = (x - 1)\text{e}^x$\\
\end{tabularx}

\medskip

\item La fonction $h$ définie sur l'ensemble des nombres réels $\R$ par $h(x) = 0,8^x$ est égale à la fonction $k$ définie sur $\R$ par :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
$\bullet{~~}$ $k(x) = \text{e}^{x\ln (0,8)}$&$\bullet{~~}$ $k(x) = \text{e}^{0,8\ln (x)}$&$\bullet{~~}$ $k(x) = 0,8\text{e}^x$\\
\end{tabularx}
 
\end{enumerate}

\subsection*{{Exercice 2 \hfill 5 points}}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Dans le service informatique d'une société, chaque informaticien a le choix entre deux logiciels de gestion : d'une part le logiciel Bestmath, leader du marché, et d'autre part le logiciel Aurora, son concurrent. Le chef de réseau informatique enregistre chaque année, en janvier, le nombre d'utilisateurs des deux logiciels et fournit des rapports réguliers sur le comportement des utilisateurs.
Lors de l'enquête de janvier 2009, la probabilité qu'un informaticien pris au hasard utilise le logiciel Aurora est $0,32$.

Lors de l'enquête suivante en janvier 2010, il a été constaté que 20\,\% des utilisateurs d'Aurora avaient changé de logiciel et utilisaient désormais Bestmath, tandis que 25\,\% des utilisateurs de Bestmath avaient changé de logiciel et utilisaient désormais Aurora.

\medskip

On interroge un informaticien au hasard et on définit les évènements suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item $A_{1}$ : \og la personne interrogée a choisi le logiciel Aurora la première année \fg{ ;}
\item $B_{1}$ : \og la personne interrogée a choisi le logiciel Bestmath la première année \fg{ ;}
\item $A_{2}$ : \og la personne interrogée a choisi le logiciel Aurora la deuxième année \fg{ ;}
\item $B_{2}$ : \og la personne interrogée a choisi le logiciel Bestmath la deuxième année \fg{ ;}
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Traduire l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré illustrant la situation.
\item Calculer la probabilité qu'un informaticien utilise le logiciel Bestmath la première et la deuxième année.
\item Vérifier que la probabilité de l'évènement B$_{2}$ est $p\left(B_{2}\right) : 0,574$.
\item Calculer la probabilité qu'un informaticien ait utilisé le logiciel Bestmath la première année, sachant qu'il l'utilise la deuxième année (on donnera le résultat arrondi au millième).
\item On interroge   au hasard et de façon indépendante trois informaticiens du service.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité qu'au moins un des trois informaticiens ait utilisé le logiciel Aurora la deuxième année (on donnera une valeur approchée du résultat à $10^{-3}$ près).
		\item \emph{Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
		
Calculer la probabilité qu'exactement deux des trois informaticiens aient utilisé le logiciel Aurora la deuxième année (on donnera une valeur approchée à $10^{-3}$ près).
	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\subsection*{{Exercice 2 \hfill 5 points}}

\textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Dans une société, le service informatique utilise deux logiciels de gestion : d'une part, le logiciel Aurora, leader du marché, et d'autre part le logiciel Bestmath, son concurrent. Le chef de réseau informatique enregistre chaque année, en janvier et en juillet, le nombre d'utilisateurs des deux logiciels et fournit des rapports réguliers sur le comportement des  utilisateurs.
 
Lors de l'enquête de janvier 2009, le chef de réseau a constaté que 32\:\% des informaticiens utilisait le logiciel Aurora, les autres informaticiens utilisaient le logiciel Bestmath.
 
Lors de chaque relevé suivant (juillet 2009, janvier 2010, ... ), le chef du réseau informatique a constaté que 20\,\% des utilisateurs du logiciel Aurora avaient changé de logiciel et utilisaient  désormais le logiciel Bestmath, tandis que 25\:\% des utilisateurs du logiciel Bestmath avaient 
changé de logiciel et utilisaient désormais Aurora.
 
Les semestres sont comptés à partir de janvier 2009, que l'on appellera semestre $0$ (juillet 2009 est donc le semestre 1).
 
Pour tout entier naturel $n$, on désigne par :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{enumerate}
\item[$\bullet{}$] $a_{n}$ la probabilité qu'un informaticien pris au hasard utilise le logiciel Aurora le  semestre $n$ ;
\item[$\bullet{}$] $b_{n}$ la probabilité qu'un informaticien pris au hasard utilise le logiciel Bestmath le  semestre $n$. 
\end{enumerate}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Traduire les données l'énoncé par un graphe probabiliste. 
		\item Écrire la matrice de transition M associée à ce graphe en respectant l'ordre alphabétique des sommets.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On note P$_{0} = \left(a_{0}\quad b_{0}\right)$ l'état initial de ce graphe en janvier 2009. Déterminer P$_{0}$. 
		\item On appelle P$_{1}$ l'état de la société en juillet 2009. Vérifier que 
		
P$_{1} = (0,426 \quad  0,574)$. 
		\item On appelle P$_{2}$ l'état en janvier 2010. Déterminer P$_{2}$ (les résultats seront arrondis à $10^{-3}$). 
	\end{enumerate}
\item  Dans cette partie on étudie la suite $\left(a_{n}\right)$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$ on a : $a_{n+1} = 0,55a_{n} + 0,25$. 
		\item On considère la suite $\left(U_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : 
		
$U_{n} = \dfrac{5}{9} - a_{n}$.
		
Démontrer que la suite $\left(U_{n}\right)$ est géométrique, déterminer sa raison ainsi que le premier terme. 
		\item En déduire l'expression de $U_{n}$ puis de $a_{n}$ en fonction de $n$.  
	\end{enumerate}
\item Soit P $ = (x \quad y)$ l'état probabiliste stable.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $x$ et $y$.
		\item \emph{Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans dans l'évaluation.}
		
On suppose 	que l'utilisation du logiciel Aurora dans l'entreprise progresse régulièrement de la même façon. Le distributeur du logiciel Aurora peut-il espérer que son logiciel soit utilisé un jour par plus de 60\:\% des informaticiens de l'entreprise ? 	
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{{Exercice 3 \hfill 5 points}}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Dans le cadre de son action en faveur du développement durable, le conseil Régional d'une région A de France métropolitaine rassemble et analyse des données sur la circulation des déchets valorisables par le recyclage. Depuis 2000, le ministère de l'Environnement fournit des données statistiques sur les quantités de déchets exportés de la région A en vue de leur valorisation.
 
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{6cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline	
Année									&2000 	&2001 	&2002 	&2003 	&2004 	&2005 	&2006\\ \hline
Rang de l'année $x_{i}~1 
\leqslant i \leqslant 7$				&1 		&2 		&3 		&4 		&5 		&6 		&7\\ \hline 
Déchets exportés $y_{i}$ 
(en tonnes)  $1 \leqslant i \leqslant 7$&797 	&816 	&\np{1140}&\np{1921}&\np{2199}&\np{3165} &\np{4195}\\ \hline
\multicolumn{8}{r}{\footnotesize \emph{Source : Ministère de l'Environnement (MEEDDAT)}}\\
\end{tabularx} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sur la feuille de papier millimétré jointe, représenter le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_{i}~;~y_{i}\right){} (1 \leqslant i \leqslant 7)$, le plan étant rapporté à un repère orthogonal d'unités graphiques : 2~cm pour une année sur l'axe des abscisses, 1~cm pour 200~tonnes sur l'axe des ordonnées. 
\item On considère qu'un ajustement exponentiel est adapté à l'analyse. Pour 

$1 \leqslant i \leqslant 7$ on pose alors $z_{i} = \ln y_{i}$.

	\begin{enumerate}
		\item Recopier sur votre copie le tableau ci-dessous et le compléter avec les valeurs de $z_{i}$ arrondies au centième : 
		
\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.5}		
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Rang $x_{i}$ de l'année  $1 \leqslant i \leqslant 7$&1 	&2 	&3 	&4 	&5 	&6 	&7\\ \hline
$z_{i} = \ln y_{i}~~1 \leqslant i \leqslant 7$		&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\renewcommand{\arraystretch}{1}
\medskip

		\item À l'aide de la calculatrice, et en utilisant les données du tableau ci-dessus, donner une équation de la droite d'ajustement de $z$ en $x$ par la méthode des moindres carrés, sous la forme $z = ax + b$ (les coefficients seront arrondis au millième).
		\item En déduire une approximation de la quantité de déchets exportés $y_{i}$, exprimée en tonnes, en fonction du rang de l'année $x$ sous la forme
		
\[y = \alpha \text{e}^{\beta x}\]

	\end{enumerate}
\item Selon cet ajustement, quelle quantité de déchets,	arrondie à une centaine de tonnes, peut être exportée de la région A en vue d'une valorisation à l'horizon 2011 ? 
\end{enumerate}

\subsection*{{Exercice 4 \hfill 7 points}}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A} 

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~10] par 

\[f(x) = - 0,25x^2 + 2x  + 3\ln (x + 1) - 1,75 - 3\ln 2.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $f(0)$ et $f(1)$.
\item On admet que la fonction $f$ est dérivable  sur [0~;~10] ; on note $f'$ sa fonction dérivée sur cet intervalle. 

Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~10],

\[f'(x) =  \dfrac{- 0,5(x + 2)(x - 5)}{x + 1}.\]

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur [0~;~10]. 
		\item Déterminer les variations de la fonction $f$ sur [0~;~10]. 
		\item Calculer la valeur exacte puis la valeur décimale arrondie au dixième du maximum de la fonction $f$ sur [0~;~10]. 
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que l'équation $f(x) = 0$ admet dans l'intervalle [5~;~10] une solution unique $x_{0}$.
		\item Donner, à l'aide de la calculatrice, la valeur approchée par défaut à $10^{-1}$ de $x_{0}$.		
	\end{enumerate}
\item  On admet qu'une primitive de la fonction $f$ sur [0~;~10] est la fonction $F$ définie par :

\[F(x) =- \dfrac{1}{12}x^3 + x^2 - (4,75 + 3\ln 2)x + 3(x + 1)\ln (x + 1).\] 

Montrer que la valeur décimale arrondie au dixième de $\dfrac{1}{10}\displaystyle\int_{0}^{10} f(x)\:\text{d}x$ est $2,8$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
À l'approche des fêtes de fin d'année, un supermarché souhaite commercialiser des guirlandes de Noël.
 
On note $x$ le nombre de guirlandes qu'il souhaite vendre (en milliers de guirlandes). On  suppose que $x$ est un réel compris entre $0$ et $10$.
 
Le bénéfice réalisé pour la vente de $x$ milliers de guirlandes, exprimé en milliers d'euros, est donné par la fonction $f$ définie sur [0~;~10] par : 

\[f(x)= - 0,25x^2 + 2x + 3\ln (x + 1) - 1,75 -  3\ln 2.\] 

Déduire de la \textbf{partie A} les réponses aux questions suivantes (les réponses seront données à la centaine de guirlandes vendues près). On explicitera la méthode utilisée.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Combien de guirlandes le supermarché doit-il vendre pour réaliser un bénéfice sur ce produit ? 
\item Combien de guirlandes le supermarché doit-il vendre pour réaliser un bénéfice maximal ? Quel est alors ce bénéfice maximal ? (à $100$~ euros près). 
\item Quel bénéfice moyen peut espérer le supermarché en vendant entre 0 et \np{10000}~guirlandes ? 
\end{enumerate}
\end{document}