\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc} 
\usepackage{fourier} 
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{ulem}
\usepackage{graphics}
\usepackage{lscape}
\usepackage{textcomp}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat ES},
pdftitle = {Polynésie obligatoire septembre 2010},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH
}    
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small septembre 2010}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures }

\vspace{0,25cm}

 {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES  Polynésie septembre 2010~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Un nom de domaine, sur Internet, est constitué de deux éléments :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] un nom (celui d'une société, d'une marque, d'une association, d'un particulier. .. ) ; 
\item[$\bullet~$] une extension (appelée aussi suffixe) : .fr, .de, .ca, .jp, .net, .com, .org, etc.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
Le tableau ci-dessous donne, en milliers, le nombre de domaines en \og .fr \fg{}  gérés par l'AFNIC (\emph{Association Française pour le Nommage Internet en Coopération}), organisme qui centralise les noms de domaine Internet, pour les mois de juin des années 2001 à 2008 :

\medskip

{\small\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline 
Année 							&2001 	&2002 	&2003 	&2004 	&2005 	&2006 	&2007 &2008\\ \hline 
Rang $x_{i}$ de l'année $1 
\leqslant i \leqslant 8$ 		&1 		&2 		&3 		&4 		&5 		&6 		&7 	&8\\ \hline 
Nombre $y_{i}$ des domaines
 en \og .fr \fg,  en milliers,
  $1 \leqslant i \leqslant 8$	&105,045&128,927&143,741 &224,452 &344,465 &463,729 &811,674 &\np{1125,161}\\ \hline
\multicolumn{9}{r}{\emph{(Source : AFNIC, 2009)}}\\
\end{tabularx}}

\bigskip 
 
Le nuage de points associé à cette série statistique est donné ci-dessous.

\bigskip 
 
\psset{xunit=0.75cm,yunit=0.0075cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-3,-50)(11,1200)
\uput[u](9.5,0){rang de l'année}
\uput[r](0,1230){nombre de domaines en .fr en milliers}
\uput[dl](0,0){O}
\psdots[dotstyle=+,dotscale=1.8,linecolor=blue](1,105.045)(2,128.927)(3,143.741)(4,224.452)(5,344.465)(6,463.729)(7,811.674)(8,1125.161)
\multido{\n=0.0+0.5}{23}{\psline[,linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,1200)}
\multido{\n=0+50}{25}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(11,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=100]{->}(0,0)(0,0)(11,1200)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer, en pourcentage, l'augmentation du nombre de domaines en \og .fr\fg{}  entre juin 2001 et juin 2002, arrondi à 1\,\%. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Expliquer pourquoi un ajustement affine de $y$ en $x$ ne semble pas justifié.
		
\medskip
 
On cherche alors un ajustement exponentiel. 
		\item Pour tout $1 \leqslant i \leqslant 8$, on pose $z_{i} = \ln y_{i}$.
		 
Recopier sur votre copie et compléter le tableau ci-dessous avec les valeurs de $z_{i}$ arrondies au centième :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4.25cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Rang de l'année $x_{i}$, $1 
\leqslant i \leqslant 8$	&1	& 2	& 3	& 4	& 5	& 6	& 7	& 8 \\ \hline
$z_{i}= \ln y_{i}$			&	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 

		\item À l'aide de la calculatrice et en utilisant les données du tableau précédent, donner une équation de la droite d'ajustement de $z$ en $x$ par la méthode des moindres carrés sous la forme $z = ax + b$ (les coefficients seront arrondis au centième). 
		\item En déduire que $y = 60,34 \text{e}^{0,35x}$ où les coefficients sont arrondis au centième, est une ajustement exponentiel possible.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant le modèle trouvé à la question 2. d., quel est le nombre estimé de domaines en \og .fr \fg{} en juin 2009 ? (le résultat sera arrondi au millier). 
		\item Si l'erreur commise en utilisant le modèle proposé est inférieure à 1\:\%, on considère que le modèle est pertinent.
		 
En réalité, le relevé de juin 2009 de l'AFNIC indiquait \np{1412652} domaines en \og .fr \fg. Le modèle proposé est-il pertinent ?
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans l'intervalle $[0~;~+\infty[$ l'inéquation $60,34 \text{e}^{0,35x} \geqslant \np{10000}$ (le résultat sera arrondi au dixième). 
		\item En déduire, en utilisant le modèle trouvé à la question 2. d., à partir du mois de juin de quelle année le nombre de \og domaines en .fr \fg{} dépassera 10~millions.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}
 
\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\og Un geste qui sauve : en France, chaque année, \np{55000}~personnes sont victimes d'un accident cardio-vasculaire. Sept fois sur dix, ces accidents surviennent devant témoin.\fg{} (\emph{Source: TNS / Fédération Française de Cardiologie, $2009$}).

 
En 2009, environ 36\,\% de la population française a appris à accomplir les gestes qui sauvent.

\medskip
 
\textbf{Partie 1}

\medskip
 
Lors d'un accident cardio-vasculaire devant témoins, on admet que la proportion de témoins formés aux gestes qui sauvent suit la proportion nationale.
 
La probabilité qu'un accident cardio-vasculaire se produise devant un témoin formé aux gestes qui sauvent est de 0,25.
 
Lorsque l'accident cardio-vasculaire s'est produit devant un témoin formé aux gestes qui  sauvent, la probabilité que le malade survive est 0,1.
 
Sinon, la probabilité que le malade survive est de 0,007. 

\medskip

On appelle $T$ l'évènement : \og L'arrêt cardiaque s'est produit devant un témoin formé aux gestes qui sauvent \fg.
 
On appelle $S$ l'évènement: \og Le malade survit à l'arrêt cardiaque \fg.
 
On appelle $\overline{T}$ et $\overline{S}$ les évènements contraires à $T$ et à $S$.

\medskip
 
\textbf{Rappel de notation :} si $A$ et $B$ sont deux évènements donnés, $p(A)$ désigne la probabilité que l'évènement $A$ se réalise et $p_{B}(A)$ désigne la probabilité de l'évènement $A$ sachant que l'évènement $B$ est réalisé.
 
\emph{On pourra s'aider d'un arbre pondéré. Les résultats seront arrondis au centième.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer, d'après l'énoncé, $p(T)$, $p_{T}(S)$ et $p_{\overline{T}}(S)$. 
\item En déduire $p(T \cap  S)$. 
\item Vérifier que la valeur arrondie au centième de $p(S)$ est 0,03. 
\item Interpréter ces deux derniers résultats. 
\item Justifier que le nombre de victimes d'accidents cardiaques survivant à cet accident peut s'estimer à environ \np{1650}.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie 2}

\medskip
 
\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip
 
En 2015 tous les lieux publics (stades, centres commerciaux, ... ) seront équipés en défibrillateurs. Par ailleurs, un sondage montre qu'environ 71\:\% de la population souhaite se former à accomplir les gestes qui sauvent. Si ce taux de formation est atteint :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] la probabilité que l'accident cardiaque survienne devant un témoin formé aux gestes qui sauvent serait de $0,5$ ; 
\item[$\bullet~$] la probabilité de survie en cas d'intervention d'un témoin formé aux gestes qui sauvent serait augmentée à $0,25$, et $0,046$ sinon.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Déterminer combien de vies supplémentaires pourraient être sauvées si ces conditions étaient satisfaites. 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip 

On donne le tableau de variation d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $]2~;~+\infty[$. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle $]2~;~+\infty[$.
 
On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé. 

\medskip

\psset{xunit=1cm,yunit=0.8cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(8.6,4)
%\psgrid
\psframe(8.6,4)\psline(0,3)(8.6,3)\psline(0,3.5)(8.6,3.5)
\psline(2.5,0)(2.5,4)\psline[doubleline=true](2.65,0)(2.65,3)
\rput(1.25,1.5){Variations de $f$}
\uput[u](1.25,2.9){Signe de $f'(x)$}
\uput[u](1.25,3.5){$x$} \uput[u](2.65,3.5){2} \uput[u](4.5,3.5){3} \uput[u](6.5,3.5){10} \uput[u](8.2,3.5){$+ \infty$} 
\uput[u](3.5,2.9){$+$} \uput[u](4.5,2.9){$0$} \uput[u](5.5,2.9){$-$} \uput[u](6.5,2.9){0} \uput[u](7.5,2.9){$+$}
\uput[u](3,0){$- \infty$} \uput[d](4.5,3){6} \uput[u](6.5,0){$-5$} \uput[d](8.4,3){4}
\psline{->}(3.1,0.5)(4.3,2.6) \psline{->}(4.7,2.6)(6.3,0.5)\psline{->}(6.8,0.5)(8.2,2.5)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

On suppose de plus que $f(5) = 0$ et que $f'(5) = - 2$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item À l'aide du tableau, répondre aux questions suivantes. \textbf{Aucune justification n'est demandée.} 
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les limites de la fonction $f$ aux bornes de son ensemble de définition ?
		 
Interpréter graphiquement les résultats. 
		\item Donner une équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse 3. 
		\item  Quel est le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 4$ sur l'intervalle $]2~;~+\infty[$ ?
	\end{enumerate} 
\item Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]2~;~+\infty[$ par : $g (x) = \text{e}^{f(x)}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $g(5)$. 
		\item Calculer la limite de la fonction $g$ en $2$. 
		\item Déterminer le sens de variations de $g$ sur l'intervalle $[3~;~ 10]$, en justifiant la réponse. 
		\item Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction $g$ au point d'abscisse $5$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip 
 
Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur l'intervalle [0~;~4] par 

\[f(x) = - x^2 - x + 4 + \ln (x + 1).\]
 
On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le repère orthogonal, donnée en annexe.

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle [0~;~4].

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$. 
\item Justifier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~ 4]. 
\item Montrer que sur l'intervalle [0~;~4], l'équation $f(x) = 0$ possède une unique solution $\alpha$.
 
Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude 0,01. En déduire le signe de $f(x)$ sur l'intervalle [0~;~4]. 
\item  On définit la fonction $F$ dérivable sur l'intervalle [0~;~4] par :
  
\[F(x) = -\dfrac{1}{3}x^3 -\dfrac{1}{2}x^2 + 3x + (x + 1) \ln(x + 1).\] 

Montrer que $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~4]. 
\item Soit $\mathcal{A}$ l' aire, en unités d'aire, du domaine $\mathcal{D}$ délimité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses, et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 1$. 
	\begin{enumerate}
		\item Hachurer le domaine $\mathcal{D}$ sur la figure fournie en annexe. 
		\item Par lecture graphique, donner un encadrement par deux entiers consécutifs de $\mathcal{A}$. 
		\item Calculer la valeur exacte en unités d'aire de $\mathcal{A}$. Vérifier la cohérence de vos résultats.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\large ANNEXE à rendre avec la copie\\[4pt]
Exercice 4}

\vspace{2cm}

\psset{xunit=2.7cm,yunit=0.9cm}
\begin{pspicture}(-0.2,-16)(4.5,4.1)

\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{4}{4 x sub x dup mul sub x 1 add ln add}
\uput[dl](0,0){O}\uput[d](4.1,0){$x$}\uput[l](0,4.5){$y$}
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0pt,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange](0,-16)(4,4)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,-16)(4,4.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[l](4,-14.4){\blue $\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}