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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small  septembre 1995}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Polynésie septembre 1995~\decofourright 
}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On considère le polynôme 

\[P(x) = 2x^3 - 9x^2 + x + 12. \]

\begin{enumerate}
\item Calculer $P\left(\dfrac{3}{2}\right)$. 
\item Dresser le tableau des valeurs $P(x)$ pour $x$ entier dans l'intervalle $[-2~;~5]$. 
\item Trouver deux racines réelles de l'équation 

\[2\text{e}^{3x} - 9\text{e}^{2x} + \text{e}^{x} + 12 = 0.\] 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

Une coopérative agricole peut louer chaque jour, pour la journée, trois tracteurs identiques.

En désignant par $N$ le nombre de tracteurs demandés chaque jour, la coopérative a pu établir les probabilités des valeurs de $N$ sous la forme du tableau suivant 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline
$N$ 
&0 &1 &2 &3 &4 &5& 6 et plus\\ \hline 
$p$&0,22 &0,34 &0,26 &0,13 &0,04 &0,01&0\\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip

On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de tracteurs loués un jour donné.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Donner la loi de probabilité de $X$. 
\item Pour la location d'un tracteur à la journée la coopérative demande \np{2400}~F à l'utilisateur. Le coût d'entretien de \textbf{l'ensemble des tracteurs} est de $800$~F par jour, quel que soit le nombre d'engins loués, auquel s'ajoutent $600$~F par jour pour chaque engin effectivement utilisé. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le bénéfice de la coopérative (en francs) est par jour 
		
$B = \np{1800}X - 800$. 
		\item Donner, sous forme de tableau, les différentes valeurs possibles du bénéfice quotidien et les probabilités associées. 
		\item Calculer l'espérance mathématique du bénéfice quotidien.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

Une urne A contient 4 boules noires et 2 boules blanches. 

Une urne B contient 1 boule noire et 3 boules vertes.
 
On tire simultanément trois boules, deux dans l'urne A et une dans l'urne B. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité que les deux boules tirées de A soient noires ?
		 
Montrer que la probabilité de tirer trois boules noires est égale à $\dfrac{1}{10}$ 

(\og tirage noir \fg) 
		\item On tire trois boules de trois couleurs différentes ; préciser pour chacune des couleurs l'urne d'origine de la boule correspondante.
		 
Quelle est la probabilité de l'évènement \og les trois boules tirées sont de trois couleurs différentes \fg{} ?  
	\end{enumerate}
\item On répète cinq fois de suite le tirage de trois boules, en remettant à chaque fois les boules tirées dans leurs urnes respectives, de sorte que l'on peut considérer les tirages successifs comme indépendants. 

Quelle est la probabilité que, sur les cinq tirages, on ait obtenu deux fois exactement un \og tirage noir \fg ?
 
\textbf{N. B.} : Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip 

\textbf{N. B.} : Toutes les réponses doivent être justifiées.

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie dans $\R$ par 

\[f(x) = x + \dfrac{2}{\text{e}^x  + 1}.\]

Sa courbe représentative, dans un plan muni d'un repère orthonormé \Oij{} 
(unité graphique : 3~cm), est notée $\mathcal{C}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les limites de $f$ en $+  \infty$ et en $- \infty$. 
		\item Calculer $f'(x)$, où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$. 
		
En déduire le sens de variation de $f$ dans $\R$, et dresser son tableau de variations. 
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les droites $D_{1}$, d'équation $y = x$, et $D_{2}$ d'équation $y = x + 2$, sont asymptotes à la courbe $\mathcal{C}$. 
Préciser les positions de $D_{1}$ et de $D_{2}$ par rapport à $\mathcal{C}$. 
		\item Donner une équation de la tangente $T$ de $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse $0$. 
		\item Après l'avoir recopié, compléter le tableau suivant, avec des valeurs décimales arrondies à $10^{-2}$ près.
		
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline		 
$x$		&$- 3$	&$-2,5$ &$-2$ 	&$-1,5$ &$-1$ 	&$-0,5$ &0\\ \hline 
$f(x)$	&		&		&$-0,24$&		&0,46 	&0,74	&\\ \cline{1-7}\hline\hline 
$x$ 	&0,5 	&1 		&1,5 	&2 		&2,5 	&3		&\multicolumn{1}{|c}{}\\ \cline{1-7} 
$f(x)$	& 1,26	&1,54	&		& 2,24	&		& 3,09	&\multicolumn{1}{|c}{}\\ \cline{1-7}
\end{tabularx}

\medskip 
 
		\item Représenter $D_{1}, D_{2}, T$ et $\mathcal{C}$.
	\end{enumerate} 
\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ possède une solution unique $\alpha$ dans $[-3~;~3]$, puis donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $2.10^{-2}$. 
\item On se propose de déterminer l'aire $\mathcal{A}$, en cm$^2$, de la partie du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$, la droite $D_{1}$, et les droites d'équations $x = 2$ et $x = 3$. 
	\begin{enumerate}
		\item Hachurer cette partie du plan sur le graphique. 
		\item Vérifier que $\dfrac{2}{\text{e}^x + 1} = 2 - \dfrac{2u'(x)}{u(x)}$ où $u(x) = \text{e}^x + 1$ et où $u'$ est la dérivée de $u$. 

En déduire une primitive de $g(x) =  \dfrac{2}{\text{e}^x + 1}$.
		\item Calculer $\mathcal{A}$ ; en donner la valeur exacte, puis une valeur décimale approchée à $10^{-2}$ près par défaut.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{document}