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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\lfoot{\small Polynésie}
\rfoot{\small{septembre 1999}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Polynésie septembre 1999~\decofourright}}
   \end{center}
    
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill  5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Une entreprise peint des jouets. Pour cela, elle utilise deux machines M$_{1}$ et M$_{2}$. La machine M$_{1}$ peint un quart de la production.

On sait que la machine M$_{1}$ peint correctement un jouet avec une probabilité de 0,85 alors que la machine M$_{2}$, plus récente, le fait avec une probabilité de 0,95.

Tous les jouets sont mélangés puis acheminés ensemble vers l'unité d'emballage.

On choisit alors un jouet au hasard, tous les choix étant équiprobables.

On note : $A_{1}$ l'évènement : \og le jouet est peint par M$_{1}$ \fg{}

\hspace{1.4cm}$A_{2}$ l'évènement : \og le jouet est peint par M$_{2}$ \fg{}
		
\hspace{1.4cm}$B$ l'évènement : \og le jouet est peint correctement \fg{}.
		
\medskip
		
\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Représenter par un arbre pondéré la situation décrite.
		\item Définir par une phrase l'évènement $A_1 \cap B$.
		\item Calculer la probabilité de l'évènement $A_1 \cap B$.
		\item Montrer que la probabilité de l'évènement $B$, notée $p$, est égale à $0,925$.
		\item Le jouet choisi est peint correctement.

Quelle est la probabilité pour qu'il ait été peint par la machine M$_{1}$ ?
	\end{enumerate}
\item \emph{Dans cette question, on donnera les résultats arrondis à} $10^{-2}$  \emph{près}.

On choisit maintenant au hasard et de fa\c{c}on indépendante 4 jouets.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité pour que les 4 jouets soient peints correctement ?
		\item Quelle est la probabilité pour qu'un jouet au moins ne soit pas peint correctement ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill  5 points}

\medskip


On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$, croissante sur cet intervalle et telle que  sa représentation graphique notée   $\mathcal{C}_{f}$ est donnée par le graphique 1 sur la feuille annexe.

La feuille annexe est à remettre avec la copie, en mettant en évidence sur les graphiques toutes les constructions utilisées.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Les graphiques 2 et 3 donnent les représentations graphiques de la fonction $g = \ln f$ et de la fonction $f'$ dérivée de $f$.\\
Préciser quelle courbe est donnée par chacun des graphiques 2 et 3 avec les justifications nécessaires.
\item On sait que $f(x) = \dfrac{1}{2}x+ 2 - h(x)$  où $h$ est une fonction définie et strictement négative sur l'intervalle $]0 ~;~ +\infty[$, telle que la limite de $h$ en $+ \infty$ est égale à 0. Interpréter graphiquement les renseignements donnés sur $h$.
\item Quel graphique de l'annexe 1 permet de déterminer l'abscisse $x_{0}$ du point de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ où la tangente a pour coefficient directeur 0,6 ?\\
Indiquer parmi les intervalles suivants celui auquel appartient $x_{0}$ :
\[ \text{I}_{1} = [0~;~1] \quad ; \quad \text{I}_{2} = [1~;~4]\quad ; \quad \text{I}_{3} = [4~;~7].\]
\item On considère l'intégrale $I$ définie par $I = \displaystyle \int_{4}^6 f(x)\,\text{d}x.$
 
À l'aide de la représentation graphique de $f$ trouver, en expliquant la démarche utilisée, un nombre entier $n$ tel que $n < I < n + 1$.
\end{enumerate}
\vspace{1cm}
\begin{center}
\begin{tabular}{c c c}
\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.6cm}
\begin{pspicture}(10,8)
\psgrid[gridlabelcolor=white,gridcolor=blue,subgriddiv=1]
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(10,8)
\psplot[linewidth=1.25pt]{0}{10}{x 2 div 2 add 2.71828 x neg exp sub}
\rput(4,9){Graphique 1}
\end{pspicture}&~~~~~~&
 \psset{xunit=0.6cm,yunit=1.75cm}
\begin{pspicture}(10,2.55)
\psgrid[gridlabelcolor=white,gridcolor=blue,subgriddiv=1](0,0)(10,2)
\multido{\n=0+0.2}{11}{\psline[linecolor=blue](0,\n)(10,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(10,2.2)
\psplot[linewidth=1.25pt]{0}{10}{0.5 2.71828 x neg exp add}
\rput(4,2.55){Graphique 2}
\end{pspicture}\\
 & & \vspace{0,5cm}\\
\psset{xunit=0.6cm,yunit=1.75cm}
\begin{pspicture}(10,2.5)
\psgrid[gridlabelcolor=white,gridcolor=blue,subgriddiv=1](0,0)(10,2)
\multido{\n=0+0.2}{11}{\psline[linecolor=blue](0,\n)(10,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(10,2.25)
\psplot[linewidth=1.25pt]{0}{10}{x 2 div 2 add 2.71828 x neg exp sub ln}
\rput(4,2.2){Graphique 3}
\end{pspicture}&~~~~~~& \\
\end{tabular}
\end{center}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}\hfill  10 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0 ~;~+ \infty[$ par :

\[f(x) = -(\ln x)^2 + 4\ln x - 3.\]

La courbe $\mathcal{C}$ représentative de $f$ est donnée en fin d'énoncé.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item	Déterminer la limite de $f$ en $0$ et interpréter graphiquement le résultat.
		\item 	Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
	(On pourra mettre $\ln x$ en facteur dans l'expression $f(x)$).
		\item	$f'$ étant la fonction dérivée de $f$, montrer que $f'(x) = \dfrac{4 - 2\ln x}{x}$.
		\item	En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0 ~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item	Résoudre dans $\R$ l'équation $X^2 - 4X +3 = 0$ et déterminer les abscisses des points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ et de l'axe des abscisses.
		\item	En déduire par lecture graphique les valeurs de $x$ telles que $f(x) > 0$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item	Interpréter graphiquement le nombre $A = \displaystyle\int_{\text{e}}^{\text{e}^3} f(x)\,\text{d}x$. 
		\item	Soit $h$ la fonction définie sur $]0 ~;~+ \infty[$ par $h(x) = - x\left[(\ln x)^2 - 6\ln x + 9\right]$.\\
Déterminer la dérivée $h'$ de $h$ et en déduire une primitive $F$ de $f$ sur l'intervalle $]0 ~;~+ \infty[$.
		\item  En déduire la valeur exacte de $A$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Une entreprise constate que la vente de sa production dégage un bénéfice moyen par objet (en milliers de francs) égal à : $(\ln x)^2 - 4\ln x + 3$
 où $x$ désigne le nombre de milliers d'objets fabriqués. Ce bénéfice moyen par objet n'est pas toujours positif.
 
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer le bénéfice total de l'entreprise pour une production de \np{1000} objets puis de \np{3000} objets. Indiquer, dans chaque cas, si l'entreprise fait un bénéfice positif.
\item Déduire de la partie A pour quelles quantités d'objets produits l'entreprise fait un bénéfice positif.
\end{enumerate}

\bigskip
\begin{center}
\psset{unit=0.5cm}\begin{pspicture}(-1,-7)(23,3)
\psgrid[gridlabelcolor=white,gridcolor=blue,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt](0,0)(-1,-7)(23,3)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=1]{->}(0,0)(-1,-7)(23,3)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=1](0,0)(0,0)(23,3)  \uput[u](4,0.5){\red $\mathcal{C}$}
\psplot[linecolor=red,linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{0.43}{23}{ x ln dup mul neg x ln 4 mul add 3 sub}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document} 