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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{septembre  2000}}
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\begin{center}
\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Polynésie septembre 2000~\decofourright}}\normalsize{}	
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Un salarié a mis en réserve \np{10000}~F sur un compte rémunéré, au taux de  $5\,\%$ par an, le 1\up{er} janvier 2000.
 
Au 1\up{er} janvier des années suivantes, les intérêts sont
cumulés à son capital.
Le salarié décide par ailleurs de faire prélever sur ce même compte les 
frais de gestion de sa carte bancaire. Ces frais sont annuels, s'élèvent à 200 F et sont prélevés le 1\up{er} janvier de l'année suivante.

On note $u_{0}$ le capital au 1\up{er} janvier 2000 et $u_{n}$ le
capital au 1\up{er} janvier de l'année 

(2000 + $n$).

Ainsi $u_{0} = \np{10000}$ et $u_{1} = \np{10300}$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Calculer $u_{2}$ et $u_{3}$.
\item Montrer que $u_{n+1} = 1,05 u_{n} - 200$.
\item Soit $\left(U_{n}\right)$ la suite définie pour tout entier
naturel $n$ par  $U_{n} = u_{n} - \np{4000}$.
 
Montrer que v est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
\item En déduire l'expression de $U_{n}$ puis de $u_{n}$ en fonction de 
$n$.
\item De quelle somme, arrondie au franc, le salarié disposera-t-il au
1\up{er} janvier 2010 ? 
\item Au bout de combien d'années le capital initial aura-t-il
doublé ?
\end{enumerate}

\vspace*{1cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

Une enquête est faite auprès des inscrits à un stage multi-activités 
(randonnée, natation,~parapente,~\ldots).

On note :

$\bullet~~$$F$ l'ensemble des femmes participant à ce stage ;

$\bullet~~$$A$ l'ensemble des stagiaires, hommes et femmes, pratiquant la 
randonnée.

L'enquête relève que :

\setlength\parindent{9mm}
$\bullet~~$$F$ représente 30\,\% de l'ensemble des stagiaires ;

$\bullet~~$$A$ représente 48\,\% de l'ensemble des stagiaires ;

$\bullet~~$chez les stagiaires du groupe $A$, il y a deux fois plus d'hommes que de femmes.
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item On interroge un stagiaire au hasard.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité que ce stagiaire pratique la randonnée ?
		\item Quelle est la probabilité que ce stagiaire soit une femme pratiquant la randonnée ?
 	\end{enumerate} 
 \item On interroge au hasard une stagiaire femme. Quelle est la probabilité qu'elle pratique la randonnée ?
 \item On interroge trois stagiaires au hasard, de manière indépendante. Quelle est la probabilité que, parmi ces trois stagiaires, aucun ne pratique la randonnée ?
 \end{enumerate}

\newpage

\textbf{Problème \hfill 10 points}

\medskip

Les représentations graphiques sont faites dans un même repère orthonormé
d'unité graphique 2~cm.

\begin{enumerate} 
\item Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par :

\[f(x) = x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3}.\]

\smallskip

	\begin{enumerate} 
		\item Calculer $f'(x)$. Montrer que $f'(x) =  \left(x - 
\dfrac{1}{2}\right)^2 + \dfrac{3}{4}$.
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ et donner le sens de variation de $f$.
		\item Tracer la partie $\mathcal{C}$ de la courbe représentative de $f$ limitée à [0~;~3].
	\end{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$
par $g(x) = \ln (x + 1)$.
	\begin{enumerate}
		\item Représenter graphiquement la fonction $\ln$ sur $[0~;~+ \infty[$.
		\item En déduire la partie $\mathcal{C}'$ de la courbe représentative de
$g$ limitée à [0 ; 3].
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Soit $\Psi$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~3]
par :

\[\Psi(x) = f(x) - g(x) = x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} -  \ln (x + 
1).\]

Calculer $\Psi(x)$, puis dresser le tableau de variations de $\Psi$ (on y
 fera figurer la valeur $\Psi(0)$).
 
En déduire le signe de $\Psi(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle 
[0~;~3].
		\item Quelles sont les positions relatives de $\mathcal{C}$ et 
$\mathcal{C}'$ ?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Soit $G(x) = (x + 1) \ln(x + 1) - x$.

Montrer que $G$ est une primitive de $g$ sur $[0~;~+ \infty[$.
		\item Calculer, en cm$^2$ , la valeur exacte de l'aire du domaine délimité par les courbes $\mathcal{C}, ~\mathcal{C}'$ et les droites 
 d'équations $x = 0$ et $x = 3$.
 
Donner une valeur approchée décimale de cette aire à $10^{-3}$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}