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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{septembre 2001}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES  Polynésie septembre 2001~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\vspace{0,25cm}

Le plan est rapporté à un repère orthogonal \Oij. Sur le graphique ci-après, la courbe $\mathcal{C}_{f}$ est la courbe représentative d'une fonction $f$ définie sur [0~;~10] par :

\[ f(x) = k\text{e}^{ax}, \text{où}\:  a \:\text{ et }\: k \: \text{ sont deux constantes réelles.}\]
 
La courbe $\mathcal{C}_{f}$ passe par les points A et B de coordonnées : A (0~;~0,8) et B (7~;~1,6).
 
La courbe $\mathcal{C}_{g}$ est la courbe représentative de la fonction $g$ définie sur [0~;~10] par : 

\[g(x) = 4\text{e}^{- 0,3x}.\]

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-2,-3)(10,6)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange] 
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-2,-3)(10,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{10}{2.71828 0.1 x mul exp 0.8 mul}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{10}{2.71828 0.3 x mul neg  exp 4 mul}
\psdots(0,0.8)(7,1.611)
\uput[dr](0,0.8){A} \uput[ur](7,1.611){B}
\uput[u](9.5,0.2){\red$\mathcal{C}_{g}$} \uput[u](9.5,2.2){\blue $\mathcal{C}_{f}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les nombres $a$ et $k$ à $10^{- 1}$ près. 
		\item Justifier le sens de variation de $g$.
		\item Résoudre graphiquement l'équation $f(x) = g(x)$ dans [0~;~10]. 
	\end{enumerate}
\item Dans une étude de marché, pour un produit donné, on a modélisé l'offre par la fonction $f$ et la demande par la fonction $g$ en fonction du prix unitaire $x$ par :
\[ 
f(x) = 0,8\text{e}^{0,1x}\quad \text{et} \quad  g(x) = 4\text{e}^{- 0,3x}.\]
 
Le prix d'équilibre correspond à la solution de l'équation $f(x) = g(x)$. 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation $f(x) = g(x)$ dans [0~;~10].
		\item Donner la valeur approchée, notée $x_{e}$ à $10^{- 1}$ près par défaut du prix d'équilibre.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Pour $x$ appartenant à [0~;~9] montrer que le quotient $\dfrac{f(x + 1) - f(x)}{f(x)}$ est constant.
		
On donnera une valeur exacte, puis une valeur approchée à $10^{- 2}$ près par défaut. 
		\item En déduire le taux d'accroissement, exprimé en pourcentage, de l'offre quand le prix unitaire augmente d'une unité.
	\end{enumerate}
\item Le prix est fixé égal au prix $x_{e}$. On augmente ce prix de 1\,\% ; déterminer alors le pourcentage $t$\:\% de variation de la demande (on donnera un arrondi de $t$ à $10^{- 1}$).
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

Une maison d'édition a ouvert le 1\up{er} janvier 2002, sur Internet, un site de vente par correspondance.
 
Le tableau suivant donne l'évolution du nombre de livres vendus par mois en milliers.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Mois				& janvier 2002	& janvier 2003	& juillet 2003	& janvier 2004	& avril 2004\\ \hline 
Rang du mois $x_{i}$&1 				&13 			&19 			&25 			&28 \\ \hline
Nombre de livres en
milliers $y_{i}$	&1,2 			&2,5 			&3,5 			&5,1 			&6\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 
 
\begin{enumerate}
\item Représenter le nuage de points $\left(x_{i}~;~y_{j}\right)$ dans un repère (unités graphiques : 1~cm représente deux mois en abscisse et 1~cm représente 500~livres en ordonnée). 
\item L'allure du nuage permet d'envisager un ajustement exponentiel plutôt qu'un ajustement affine.
 Pour cela, on pose $z_{i} = \ln \left(y_{i}\right)$.
 
Après l'avoir recopié, compléter le tableau suivant où $z_{i}$ est arrondi à $10^{- 3}$.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Rang du mois $x_{i}$			&1	&13 &19 	&25 &28\\ \hline 
$z_{i} = \ln \left(y_{i}\right)$&	&	&1,253	&	&\\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip 

\item \emph{Dans cette question, les résultats numériques pourront être obtenus à l'aide de la calculatrice, sans justification.}
 
Écrire une équation de la droite d'ajustement affine D de $z$ en $x$ par la méthode des moindres carrés, $\left(\text{les coefficients seront arrondis à}~ 10^{-2}\right)$. 
\item Déduire de la question précédente une relation entre $y$ et $x$ de la forme 
$y = a\text{e}^{kx}$.
 
Les coefficients $a$ et $k$ seront arrondis à $10^{-2}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

On considère un groupe de 500~villes d'un pays.
 
Chaque année les impôts locaux d'une ville peuvent augmenter ou ne pas augmenter.
 
$n$ étant un entier naturel, on note :

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $a_{n}$ la probabilité qu'une ville ait augmenté les impôts locaux l'année $n$ ; 
\item[$\bullet~$] $b_{n}$ la probabilité qu'une ville n'ait pas augmenté les impôts locaux l'année $n$ ; 
\item[$\bullet~$] $P_{n}$ la matrice $\left(a_{n}~~b_{n}\right)$ traduisant l'état probabiliste à l'année $n$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On a constaté statistiquement que tous les ans :

\setlength\parindent{5mm} 
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 20\:\% des villes qui ont augmenté les impôts l'année précédente les augmentent l'année suivante ; 
\item[$\bullet~$] 90\:\% des villes qui n'ont pas augmenté les impôts l'année précédente les augmentent l'année suivante.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Chaque année, une ville peut être à l'état A \og les impôts locaux ont augmenté \fg{} ou à l'état B \og les impôts locaux n'ont pas augmenté \fg.
		
Tracer un graphe probabiliste traduisant les données de l'énoncé.

Exprimer $a_{n + 1}$ et $b_{n + 1}$ en fonction de $a_{n}$ et $b_{n}$. 
		\item Vérifier que la matrice $M$ de ce graphe est $\begin{pmatrix}
0,2& 0,8\\
0,9& 0,1\\
\end{pmatrix}$
	\end{enumerate} 
\item On a constaté qu'en 2002, les impôts locaux ont été augmentés dans 300 villes et n'ont pas été augmentés dans 200 villes.
 
On note $a_{0}$ et $b_{0}$ les fréquences correspondantes.
 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'état initial $P_{0} = \left(a_{0}\quad b_{0}\right)$.
		\item Calculer $P_{1}$. En déduire le nombre de villes qui augmenteront les impôts en 2003 et le nombre de celles qui ne les augmenteront pas en 2003.
	\end{enumerate}
\item On rappelle que, pour tout entier naturel $n$ : 

\[a_{n} + b_{n} = 1\quad  \text{et}\quad  P_{n + 1} = P_{n} \times  M.\]
 
Exprimer $a_{n + 1}$ en fonction de $a_{n}$·
\item  Soit $P = (x \quad  y)$ l'état stable. Expliquer ce que représentent $x$ et $y$ et déterminer $x$ et $y$ en utilisant les résultats précédents.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur [1~;~12] par 

\[f(x) = \dfrac{5 \ln x}{x^2}.\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que $f'(x) = \dfrac{5(1 - 2\ln x)}{x^3}$.
\item En déduire les variations de $f$ sur [2~;~10] puis dresser le tableau de variations de $f$.
\item Montrer que l'équation $f(x) = 0,5$ admet une solution unique sur [2~;~10] notée $\alpha$ puis donner un encadrement
de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{PARTIE B}
 
\medskip
 
Une ville décide de promouvoir les déplacements à vélo afin de lutter contre la pollution et a acheté un parc de
\np{1000}~vélos qu'elle loue à la journée. On constate que la demande est fonction du prix de location et que cette demande est modélisée par la fonction $f$ donnée ci-dessus dans la partie A définie sur [2~;~10] où
$x$ désigne le prix de location d'un vélo pour la journée et $f(x)$ la demande en milliers de vélos.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item En utilisant la partie A, indiquer le prix à partir duquel la demande sera inférieure à 500~vélos.

On donnera la valeur au centime d'euro près.
\item On suppose que le prix de location est fixé à 3~euros. Calculer le pourcentage de variation de la demande
à $10^{-2}$ près lorsque le prix augmente de $0,03$~euros.
\item Le pourcentage de variation de la demande lorsque le prix augmente de 1\:\% est appelé \og élasticité de la demande par rapport au prix \fg.

On admet qu'une valeur approchée de ce  nombre est $x\dfrac{f'(x)}{f(x)}$.
On note E$(x) = x\dfrac{f'(x)}{f(x)}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que E$(x) = \dfrac{1 - 2\ln(x)}{\ln (x)}$.
		\item Calculer E$(3)$ arrondi à $10^{-2}$. Comparer ce résultat avec celui de la question 2.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{PARTIE C}
 
\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la recette lorsque le prix est égal à 3~\euro{} (on donnera le résultat à l'euro près).
\item Exprimer en euros la recette $R(x)$ en fonction du prix $x$.
\item Montrer que $R'(x) = \np{5000} \times \dfrac{1 - \ln x}{x^2}$.

Étudier les variations de $R$ sur [2~;~10].
\item En déduire  le prix de location permettant d'obtenir la recette maximum et déterminer cette recette maximum.

Le prix de la location sera arrondi au centime d'euro près et la recette à l'euro près.
\end{enumerate}

\end{document}