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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{ Polynésie}}
\rfoot{\small{septembre 2003}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES (obligatoire) Polynésie septembre 2003~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Le tableau suivant donne le taux de prélèvement obligatoire en France 
exprimé en points de PIB (produit intérieur brut).

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.7cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année					&1992	& 1993	&1994	&1995	&1996	&1997	&1998	&1999	&2000	&2001\\ \hline
Rang de l'année $x_i$ 	&0		&1		&2		&3		&4		&5		&6		&7		&8		&9\\  \hline
Taux $t_i$				&42,7 	&42,9	&43,4	&43,7	&44,8	&44,9	&44,9	&45,7	&44,7 	&44,2\\ \hline
\multicolumn{11}{r}{\footnotesize Source :	budget}
\end{tabularx}

\medskip

Le nuage de points associe à la série $\left(x_i~;~t_i\right)$ présentant des écarts à peu près réguliers de part et d'autre de la droite d'ajustement, on 
effectue un lissage par la méthode des moyennes mobiles d'ordre
3 en remplaçant le taux $t_i$ par la moyenne $z_i = \dfrac{t_{i-1} + t_i  + 
t_{i+1}}{3}$. Par exemple : $z_1 = \dfrac{z_0 + z_1 + z_2}{3} = 43$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Compléter après l'avoir reproduit le tableau suivant (les valeurs 
seront arrondies à 0,1) et compléter le nuage de points sur la figure
 donnée en annexe.

\begin{center} 
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Rang de l'année $x_i$	&1	&2		&3	&4		&5	&6	&7		&8\\ \hline
Moyenne $z_i$			&43	&43,3	&	&44,5	&	&	&45,1	&44,9 \\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}

\item Écrire une équation de la droite d'ajustement affine D de $z$ en $x$ 
par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis
 à 0,01). Tracer D sur la figure fournie en annexe.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

L'allure du nuage permet d'envisager un autre ajustement correspondant
 à la parabole $\mathcal{P}$ d'équation

\[y = - 0,065x^2 + 0,91x + 42.\]

\smallskip

\begin{enumerate} 
\item Tracer la parabole $\mathcal{P}$ sur la figure fournie en annexe en
 utilisant le tableau suivant. On prendra 45,2 comme valeur approchée 
de l'ordonnée du sommet de $\mathcal{P}$.

\[\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_i$ & 1	&2		&3		&4		&5		&6		&7		&8\\ \hline
$y_i$ & 42,8&43,6 	&44,1 	&44,6 	&44,9 	&45,1 	&45,2 	&45,1\\\hline
\end{tabularx} \]

\item On se propose d'étudier pour lequel des deux modèles on obtient 
le meilleur ajustement. Pour cela, on calcule les sommes des carrés 
des écarts entre les valeurs $z_i$ et les valeurs données par le modèle.
On appelle S$_{\mathcal{P}}$ et S$_{\text{D}}$ les sommes associées 
respectivement à la parabole $\mathcal{P}$ et à la droite D. 
	\begin{enumerate} 
		\item Compléter après l'avoir reproduit le tableau suivant. Les valeurs sont
 données à 0,01 près.

\[\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_i$ 						&1 		&2 		&3 	&4 		&5 	&6 	&7 		&8\\ \hline
$\left(z_i - y_i\right)^2$ 	&0,04 	&0,09 	& 	&0,01 	& 	& 	&0,01 	&0,04 \\ \hline
\end{tabularx} \]

		\item Calculer S$_{\mathcal{P}} = \displaystyle\sum_{i=1}^8  (z_i - y_i)^2$.
		\item Pour le modèle correspondant à la droite D on donne S$_{\text{D}}$ = 0,8. Quel est le modèle qui donne le meilleur ajustement ?
	\end{enumerate}
\item En utilisant le modèle associé à la parabole $\mathcal{P}$ :
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer $y_9$ ( valeur arrondie à $10^{-2}$).
		\item Cette valeur étant une estimation de la moyenne mobile $z_9$, en déduire une estimation $t_{10}$ du taux de prélèvement obligatoire en 2002.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

La D.G. XXIV de la Commission Européenne, dans son rapport du 8 juillet 1999,
 détaille ainsi l'évaluation du test W pour le diagnostic de I'ESB 
(Encéphalopathie Spongiforme Bovine) :

$\bullet~$ la proportion des réactions POSITIVES au test effectué sur
 des tissus nerveux provenant d'animaux infectés est égale à $70\:\%$ ;

$\bullet~$ la proportion des réactions NÉGATIVES au test effectué sur
 des tissus nerveux provenant d'animaux non infectés est égale à $90\:\%$.

On envisage un dépistage dans un cheptel bovin. On choisit dans le 
cheptel un animal au hasard.

\smallskip

On désigne par $M$ l'évènement \og l'animal est malade \fg{} et par $T$ l'évènement \og le test est positif \fg.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On estime à $0,07$ la fréquence d'animaux malades dans le cheptel.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Construire un arbre pondéré représentant cette situation et donner 
les valeurs manquantes.
\item En utilisant cet arbre, calculer $P(M\cap T)$ puis $P(T)$.
\item En déduire la probabilité que l'animal soit malade sachant que le 
test est positif. On donnera la valeur arrondie à $10^{-3}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On estime maintenant à $x$ la fréquence d'animaux malades dans le cheptel.

\begin{enumerate} 
\item Construire un arbre pondéré représentant cette situation.
\item En utilisant cet arbre, calculer $P(M\cap T)$ puis $P(T)$.
\item On note $P_{T}(M)$ la probabilité que l'animal soit malade 
sachant que le test est positif.

Montrer que $P_{T}(M) = \dfrac{7x}{6x + 1}$.
\item Soit $f$ la fonction numérique de la variable $x$ définie sur [0~;~1] 
par 

$f(x) = \dfrac{7x}{6x+ 1}$.

Résoudre sur [0~;~1] l'inéquation $f(x) \geqslant 0,9$. Interpréter le résultat.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Le tableau de variations donné ci-dessous est celui de la fonction $g$ 
définie sur $\R$ par :

\[g(x) = 2\text{e}^x - x  - 2.\]

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=3pt 3} 
\begin{pspicture}(9,3.5)
\psframe(9,3.5)
\psline(0,2)(9,2)
\psline(0,3)(9,3)
\psline(3,0)(3,3.5)
\uput[u](1.5,3){$x$} \uput[u](3.3,3){$- \infty$} 
\uput[u](6,3){$- \ln 2$} \uput[u](8.5,3){$+ \infty$}
\uput[u](1.5,2){Signe de $g'(x)$} \rput(4.5,2.5){$-$} 
\rput(6,2.5){$0$}
\rput(7.5,2.5){$+$} \rput(1.5,1){Variations de $g$} 
\rput(3.3,1.8){$+ \infty$} \rput(6,0.3){$\ln 2 - 1$}
\rput(8.5,1.8){$+ \infty$}
\psline{->}(3.7,1.7)(5.3,0.4) 
\psline{->}(6.6,0.4)(8.2,1.7)
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer $g(0)$.
		\item Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une autre solution $\alpha$ appartenant à l'intervalle $[-2 ~;~-1]$.
	\end{enumerate}

Dans la suite, on prendra $-1,6$ comme valeur arrondie de $\alpha$.
\item Déterminer le signe de $g$ sur $\R$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[f(x) = \text{e}^{2x} - x\text{e}^x - \text{e}^x.\] 

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$.
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$ (on pourra mettre 
$\text{e}^{2x}$ en facteur dans l'expression $f(x)$).
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'$ et $g$ ont le même signe.
		\item En déduire le sens de variations de $f$.
		\item Dresser le tableau de variations de $f$.
	\end{enumerate}
\item Tracer la courbe représentative $\mathcal{C}$ de $f$ dans un repère orthogonal (unités graphiques : 5~cm sur l'axe des abscisses et 3~cm sur l'axe 
des ordonnées).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Soit $H$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[H(x) = \text{e}^x (x  - 1).\]

Montrer que $H$ est une primitive sur $\R$ de la fonction $h$ définie par 
$h(x) = x \text{e}^x$.
\item En déduire une primitive sur $\R$ de la fonction $f$.
\item Calculer l'aire du domaine limité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des 
abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$. On donnera la
 valeur exacte en unités d'aire, puis la valeur arrondie à $10^{-2}$ en 
 cm$^2$.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie D}

\medskip

Dans une entreprise, le coût de fabrication, en centaines d'euros,
 de $x$ dizaines d'objets est modélisé par la fonction $C$ définie sur 
 $[0~;~+ \infty[$ par $C(x) =  f(x)$.

\medskip
 
\begin{enumerate} 
\item Calculer le coût de fabrication de 10 objets au centime d'euro près. 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Résoudre graphiquement l'équation $C(x) = 6$.

Donner une valeur approchée à $10^{-1}$ près par défaut du résultat.
		\item En déduire le nombre maximal d'objets qu'on peut fabriquer pour 
un coût de $600$~\euro{} ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{Annexe à rendre avec la copie}
    
\vspace{3cm}
    
Exercice 1
    
\vspace{1cm}
    
\psset{xunit=1.2cm,yunit=4cm,comma=true}    
\begin{pspicture}(0,0)(10,4)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridcolor=cyan](0,0)(10,4)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=42,Dy=0.5](0,0)(10,4)
\multido{\n=0.5+1.0}{4}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=cyan](0,\n)(10,\n)}
\psdots[linecolor=red](1,0.8)(2,1.6)(3,2.1)(4,2.1)(5,2.9)(6,3.1)(7,3.2)(8,3.1)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}