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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small Polynésie}
\rfoot{\small septembre 2008}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES (obligatoire) Polynésie septembre 2008~\decofourright}}
\end{center}
\begin{document}

\medskip

{\large \textbf{Exercice 1 \hfill 3 points}}

\textbf{Commun à tous les candidats} 

\medskip 

Cet exercice est un questionnaire à  choix multiples. Pour chacune des six questions, trois réponses sont proposées ; une seule de ces réponses convient. 

\medskip

\textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte sans justifier le choix effectué.}

\medskip 

\emph{Barème : une réponse exacte rapporte $0,5$~point. Une réponse inexacte ou une absence de réponse n'apporte et n'enlève aucun point.}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item  $\text{e}^{-2\ln 3}$  est égal à  :

\medskip 

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}X}} 
\textbullet \quad  $\dfrac{2}{3}$ &\textbullet \quad  $\dfrac{1}{9}$ & \textbullet \quad  9\\
\end{tabularx}

\medskip 

\item L'ensemble des solutions dans $\R$ de l'inéquation $\text{e}^{3x} - 1  \geqslant 0$ est l'intervalle :

\medskip 

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}X}} 
\textbullet \quad  $[0~;~+ \infty[$ & \textbullet \quad  $[1~;~+ \infty[$ & \textbullet \quad  $\left[\dfrac{1}{3}~;~+ \infty \right[$\\
\end{tabularx}

\medskip 

\item	Une primitive de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$  par $f(x)~=~\ln~x~+~1$ est :

\medskip 

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}X}} 
\textbullet \quad  $x \mapsto x\ln x + x$ & \textbullet \quad  $x \mapsto x\ln x$ & \textbullet \quad  $x \mapsto \dfrac{1}{x}$\\
\end{tabularx}

\medskip 

\item	Le prix TTC (toutes taxes comprises) d'un article est 299~\euro. Sachant que le taux de la TVA est de 19,6\:\%, son prix HT (hors taxes) est :

\medskip 

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}X}} 
\textbullet \quad  240,40~\euro & \textbullet \quad  250~\euro & \textbullet \quad  279,40~\euro\\
\end{tabularx}

\medskip 

\item	Lors d'une expérience aléatoire, on considère deux évènements indépendants $A$ et $B$ tels	que $P(A) =  0,6$ et $P(B) = 0,2$.	On a alors :

\medskip 

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}X}} 
\textbullet \quad  $P(A \cup B) = 0,8$ & \textbullet \quad  $P(A \cup B) = 0,68$ & \textbullet \quad  $P(A \cup B) = 0,92$\\
\end{tabularx}

\medskip 

\item	$\left(U_{n}\right)_{n \in \N}$ est une suite géométrique telle que : $U_{0} =  2$ et $U_{8} =  32$. Sa raison est égale à  :

\medskip 

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}X}} 
\textbullet \quad  $\sqrt{2}$ & \textbullet \quad  2 & \textbullet \quad  4\\
\end{tabularx}

\end{enumerate}

\bigskip 

{\large \textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} 

\medskip

On considère un groupe de 2000~lecteurs, tous abonnés à  une des revues la \emph{Drosera}, \emph{l'Iguane} ou le \emph{Nénuphar}. Chacun d'eux n'est abonné qu'à  une revue et ne lit que celle-là .

 Parmi ces abonnés :
 \begin{itemize}
\item  400~abonnés lisent la \emph{Drosera}, et 20\:\% des abonnés à  la \emph{Drosera} sont des femmes ;
\item  700~abonnés lisent \emph{l'Iguane} et 30\:\% des abonnés à  \emph{l'Iguane} sont des femmes ;
\item  les autres abonnés lisent le \emph{Nénuphar} et 60\:\% des abonnés au \emph{Nénuphar} sont des femmes.
\end{itemize}

\medskip 

On choisit un lecteur au hasard parmi ces abonnés.

 On note par D, I, N, F et H les évènements suivants :
 
\begin{itemize}
\item[]  D : \og l'abonné lit la \emph{Drosera} \fg ;
\item[]  I : \og l'abonné lit \emph{l'Iguane} \fg ;
\item[]  N : \og l'abonné lit le \emph{Nénuphar} \fg ;
\item[]  F : \og l'abonné est une femme \fg ;
\item[]  H : \og l'abonné est un homme \fg.
\end{itemize}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Traduire les données de l'exercice à  l'aide d'un arbre de probabilité.
\item	 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité que l'abonné soit une femme lisant la \emph{Drosera}.		
		\item Calculer la probabilité que l'abonné soit une femme lisant \emph{l'Iguane}.		
		\item  Démontrer que la probabilité que l'abonné soit une femme est égale à  0,415.
	\end{enumerate}
\item Sachant que l'abonné choisi est une femme, calculer la probabilité qu'il soit lecteur de la \emph{Drosera} (\emph{le résultat sera donné sous forme décimale, arrondi au millième}).
		\item On interroge au hasard et de faà§on indépendante trois abonnés.
	
	Quelle est la probabilité qu'aucun des abonnés ne soit une femme lectrice du \emph{Nénuphar} (\emph{le résultat sera donné sous forme décimale, arrondi au millième}) ?
\end{enumerate}

\bigskip 

{\large \textbf{Exercice 3 \hfill 6 points}}

\textbf{Commun à  tous les candidats} 

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par $f(x) =  \text{e}^{x - 1} + x - 1$.

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 1~cm.

\medskip

\textbf{\textsf {\textsc {partie a}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer $f(0)$ et $f(1)$. \emph{On donnera les valeurs exactes}.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la limite de $f$ en $- \infty$.		
		\item Montrer que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = x - 1$ est asymptote oblique à  la courbe $\mathcal{C}$.		
		\end{enumerate}
		\item Calculer la limite de $f$ en $+ \infty$.
	\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\textsf {\textsc {partie b}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. Calculer $f'(x)$ pour tout $x$ réel et étudier son signe sur $\R$.		
		\item Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\R$.
			\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que sur l'intervalle $[0 ~;~ 1]$ l'équation $f(x) = 0$ admet une seule solution $\alpha$.		
		\item  Donner une valeur, arrondie au centième, de $\alpha$.		
		\item Préciser le signe de $f(x)$ selon les valeurs du réel $x$.
 	\end{enumerate}
\item Tracer la droite $\mathcal{D}$ et la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère \Oij.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\textsf {\textsc {partie c}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer une primitive $F$ de la fonction $f$ sur $\R$.
\item  Calculer l'intégrale $I = \displaystyle\int_{1}^3 f(x)\:\mathrm{d}x$.

Donner la valeur exacte de $I$, puis une valeur décimale arrondie au centième.

Donner une interprétation graphique de cette intégrale.
\end{enumerate}

\bigskip 

{\large \textbf{Exercice 4 \hfill 6 points}}

\textbf{Commun à  tous les candidats} 

\medskip

Le tableau suivant donne l'évolution de la population de l'Inde de 1951 à  1991.

\medskip


\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année 							&1951 	&1961 	&1971 	&1981 	&1991\\ \hline
Rang $x_{i}$ 					&1 		&2 		&3 		&4 		&5\\ \hline
Population $y_{i}$ (en millions)&361	&439 	&548 	&683	&846 \\ \hline
$z_{i}$ \rule[-4mm]{0pt}{1cm} 	& 		& 		& 		& 		&  \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

On cherche à  étudier l'évolution de la population $y$ exprimée en millions d'habitants, en fonction du rang $x$ de l'année.

\begin{enumerate}
\item  Représenter graphiquement le nuage de points $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans le plan muni d'un repère orthonormal d'unités graphiques 1~cm pour 1 sur l'axe des abscisses et 1~cm pour 100~ millions sur l'axe des ordonnées.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de la calculatrice, déterminer un ajustement affine de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés. 
		\item En utilisant cet ajustement, déterminer la population de l'Inde que l'on pouvait prévoir pour 2001, c'est-à-dire pour $x = 6$ (\emph{le résultat sera arrondi au million}).	
	\end{enumerate}
\item	On cherche un autre ajustement et on se propose d'utiliser le changement de variable suivant : $z = \ln y$.	
	\begin{enumerate}
		\item Recopier le tableau ci-dessus et compléter la dernière ligne (\emph{les valeurs seront arrondies au millième}).	
		\item À l'aide de la calculatrice, déterminer un ajustement affine de $z$ en fonction de $x$ par la méthode des moindres carrés (\emph{les coefficients seront arrondis au millième}).	
		\item En déduire qu'une approximation de la population $y$, exprimée en millions d'habitants, en fonction du rang $x$ de l'année est donnée par : $y \approx  289\text{e}^{0,215x}$.
		\item En utilisant cet ajustement, calculer la population que l'on pouvait prévoir pour 2001(\emph{le résultat sera arrondi au million}).	
	\end{enumerate}
\item	Les résultats obtenus en 2001 ont révélé que la population comptait \np{1027}~millions d'habitants.

Déterminer une estimation de la population, arrondie au million d'habitants, en 2011 en choisissant le modèle qui semble le plus approprié. Justifier ce choix.
\end{enumerate}
\end{document}