\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{fancybox}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{eucal}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pstricks-add,pst-node,pst-text}
\usepackage{pst-eucl}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{septembre 2011}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty} 

\begin{center} { \Large{ \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES (spécialité) Polynésie
septembre 2011~\decofourright}}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\bigskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 2~cm.
 
On s'intéresse dans cet exercice à la fonction $f$ définie sur l'ensemble des réels $\R$ par 

\[f(x) = - 1 + x\text{e}^x.\]
 
On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le repère \Oij.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. 
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $- \infty$. Interpréter graphiquement cette limite.
		 
(\emph{On rappelle le résultat:} $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x\text{e}^x = 0$)  
	\end{enumerate}
\item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f^{\prime}$ sa fonction dérivée. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout nombre réel $x$ on a $f^{\prime}(x) = (x + 1 )\text{e}^x$.
		 
Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ (la valeur de l'extremum sera arrondie à $10^{-2}$).
	\end{enumerate} 
\item Justifier que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle [0~;~ 1].
 
Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$. 
\item Démontrer qu'une équation de la tangente T à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$ est $y = x - 1$. 
\item Dans le repère \Oij{} tracer la droite T et la courbe $\mathcal{C}$. 

Quelle conjecture peut-on faire sur la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la droite T ? 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
Justifier la conjecture émise à la question 5. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

Dans  une  ville,  une  enquête  portant  sur  les  habitudes  des  ménages  en  matière  d'écologie  a donné les résultats suivants : 

\begin{itemize}
	\item  70 \% des ménages pratiquent le tri sélectif ; 
	\item parmi les ménages pratiquant le tri sélectif, 40\, \% consomment des produits bio ; 
	\item parmi les ménages ne pratiquant pas le tri sélectif, 10\, \% consomment des produits bio. 
\end{itemize}
 
On choisit un ménage au hasard (tous les ménages ayant la même probabilité d'être choisis) et on note : 

$T$ l'évènement \og le ménage pratique le tri sélectif \fg{} et  $\overline{T}$  son évènement contraire ; 

$B$ l'évènement \og le ménage consomme des produits bio \fg{} et  $\overline{B}$  son évènement contraire. 

\begin{center}
\emph{Les résultats seront donnés sous forme décimale}.
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner sans justification la probabilité  $p\left(T\right)$ de l'évènement $T$.
		\item Donner sans justification  $p_{T}\left(B\right)$ et $p_{\overline{T}}\left(B\right)$
	\end{enumerate}
\item Représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer  la  probabilité  de  l'évènement :  \og le  ménage  pratique  le  tri  sélectif  et consomme des produits bio \fg{}.
		\item Montrer que la probabilité que le ménage consomme des produits bio est égale à 0,31.
	\end{enumerate}
\item Calculer la probabilité que le ménage pratique le tri sélectif sachant qu'il consomme des produits bio (le résultat sera donné sous forme décimale arrondie au centième).
\item Les évènements $T$ et $B$ sont-ils indépendants ? Justifier. 
\item Calculer la probabilité de l'évènement $ T \cup B$ puis interpréter ce résultat. 
\item Cette  ville  décide  de  valoriser  les  ménages  ayant  un  comportement  éco-citoyen.  Pour cela, elle donne chaque année un chèque de 20~\euro{} aux ménages qui pratiquent le tri sélectif et un chèque de 10~\euro{} aux ménages qui consomment des produits bio sur présentation de justificatifs (les deux montants peuvent être cumulés). 

Soit $S$ la somme d'argent reçue par un ménage. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelles  sont  les  différentes  valeurs  que  peut  prendre  $S$ ?  (on  n'attend  pas  de justification). 
		\item Donner la loi de probabilité de $S$.
		\item Calculer l'espérance mathématique de cette loi et interpréter ce résultat. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip
 
Deux enfants Alexis et Bilal jouent dans la cour de leur immeuble.
 
Ils décident d'entamer une compétition formée d'une série de parties (notées partie 1, partie 2, \ldots).
 
On désigne par $n$ un entier supérieur ou égal à 1. On suppose que : 

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Alexis a 65\,\% de chances de gagner la partie 1 ; 
\item[$\bullet~~$] si Alexis gagne la partie $n$, alors il a 10\,\% de chances de gagner la partie $n + 1$ ; 
\item[$\bullet~~$] si Alexis perd la partie $n$, alors il a 60\,\% de chances de gagner la partie $n + 1$. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 1, on note : 

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $A_{n}$ l'évènement : \og Alexis gagne la partie $n$ \fg ; 
\item[$\bullet~~$] $B_{n}$ l'évènement : \og Bilal gagne la partie $n$ \fg (on remarquera que : $B_{n} = \overline{A_{n}}$) ; 
\item[$\bullet~~$] $a_{n}$ la probabilité de l'évènement $A_{n}$ et $b_{n}$ celle de l'évènement $B_{n}$. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}\textbf{Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre}\end{center}
 
\textbf{PARTIE A : Étude d'un graphe probabiliste}

\medskip
 
Pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 1, on note $P_{n} = \left(a_{n}\quad  b_{Jn}\right)$ la matrice ligne représentant l'état probabiliste lors de la partie $n$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner sans justification la matrice $P_{1}$. 
		\item Traduire la situation à l'aide d'un graphe probabiliste.
	\end{enumerate} 
\item On admet que la matrice de transition $M$ associée au graphe probabiliste précédent est $M = \begin{pmatrix}0,1 &0,9\\ 0,6& 0,4 \end{pmatrix}$
	\begin{enumerate}
		\item Donner $M^2$ (on pourra utiliser la calculatrice ; les coefficients de $M^2$ seront donnés sous forme décimale exacte). 
		\item En déduire la probabilité que Bilal gagne la partie 3, en justifiant la réponse (le résultat sera donné sous forme décimale arrondie à $10^{-2}$). 
	\end{enumerate}
\item Soit $P = (x\quad y)$ la matrice correspondant à l'état stable ($x$ et $y$ sont des nombres réels tels que $x + y = 1$). 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les nombres $x$ et $y$. 
		\item Interpréter ces deux valeurs.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{PARTIE B : Détermination d'un nombre chromatique}

\medskip

Carlos (C), Dora (D), Edwige (E) et Farid (F), eux aussi intéressés par le jeu, décident de rejoindre Alexis (A) et Bilal (B) et de former ainsi des équipes.
 
Comme ils ne s'entendent pas tous entre eux, ils optent pour une répartition en équipe par affinité. 

On donne ci-après le graphe G d'incompatibilité entre les différents enfants :

\medskip

\parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(-1,0)(5,5)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](0.5,2)(1.25,3.5)(4.5,3)(4,0.5)(2.5,0.5)(3.25,1.25)%ABCDE
\pspolygon(0.5,2)(4.5,3)(1.25,3.5)(2.5,0.5)%ACBEA
\pspolygon(4,0.5)(2.5,0.5)(3.25,1.25)%DEF
\uput[l](0.5,2){A} \uput[u](1.25,3.5){B} \uput[r](4.5,3){C} \uput[d](4,0.5){D} \uput[d](2.5,0.5){E} \uput[u](3.25,1.25){F} 
\end{pspicture}}
\hfill 
\parbox{0.5\linewidth}{Par exemple, Alexis ne peut pas se trouver dans une équipe où il y aurait Carlos ou Edwige.
 
Cela est représenté dans le graphe par le fait que les sommets A et C, ainsi que les sommets A et E sont adjacents.} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer un sous-graphe complet d'ordre 3. Que peut-on en déduire pour le nombre chromatique du graphe G ? 
\item Donner en justifiant un encadrement du nombre chromatique du graphe G. 
\item Proposer une coloration du graphe (sans justification) puis en déduire le nombre chromatique du graphe G. 
\item Proposer une répartition des enfants faisant intervenir un nombre minimal d'équipes. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats }

\bigskip

Le tableau suivant donne la valeur de revente d'une machine outil au bout de $t$ années d'utilisation (les prix sont donnés en centaines d'euros). On veut faire une estimation de son prix de revente au-delà de 6 ans.

\medskip
\renewcommand\arraystretch{1}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4.5cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Temps écoulé depuis l'achat $t_{i}$\: $0 \leqslant  i \leqslant 6$& 0 &1 &2& 3& 4 &5 &6\\ \hline 
Valeur de revente $y_{i}$\: en centaines d'euros $0 \leqslant  i \leqslant 6$&90 &73,8 &60 &49,5 &40,5 &33 &27 \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel est le pourcentage de baisse du prix de revente de la machine au bout de six ans d'utilisation (de $t_{0}$ à $t_{6}$) ? 
\item Étude d'un modèle affine 
	\begin{enumerate}
		\item Représenter graphiquement le nuage de points $M_{i}\left(t_{i}~;~y_{i}\right)$ pour $0 \leqslant i \leqslant 6$ dans un repère orthogonal, en prenant comme unités graphiques: 
1~cm pour une unité sur l'axe des abscisses ; 1~cm pour 10~unités sur l'axe des ordonnées. 
		\item Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite de régression de $y$ en $t$ par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis au centième). Tracer cette droite dans le repère précédent. 
		\item On sait qu'au bout de 10~ans la valeur de revente est de \np{1000}~euros. Le modèle vous semble-t-il adapté pour des calculs à plus long terme ?
	\end{enumerate} 
\item Étude d'un modèle exponentiel 
	\begin{enumerate}
		\item Pour $0 \leqslant i \leqslant 6$, on pose $z_{i} = \ln \left(y_{i}\right)$. Recopier et compléter le tableau suivant (en arrondissant les nombres au dixième) :
		
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Temps écoulé depuis l'achat $t_{i}$ \: $0
 \leqslant  i \leqslant 6$		&0 	&1 	&2	& 3	&4 	&5 	&6\\ \hline 
$z_{i} = \ln \left(y_{i}\right)$&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx} 

\medskip

		\item Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite d'ajustement de $z$ en $t$ par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis au dixième). 
		\item En déduire que $y = \text{e}^{- 0,2t + 4,5}$ est un ajustement exponentiel possible. 
		\item Déterminer à l'aide de ce modèle une estimation de la valeur de revente au bout de 10~ans d'utilisation. Ce modèle vous semble-t-il mieux adapté que celui de l'ajustement affine ? 
		
Justifier la réponse.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats }

\medskip

\parbox{0.45\linewidth}{Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $]- 4~;~+ \infty[$. 

On désigne par $f^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $]- 4~;~+ \infty[$. 

La courbe $\Gamma$ ci-contre est la représentation graphique dans un repère orthogonal de $f^{\prime}$, la fonction dérivée de $f$ sur  $]- 4~;~+ \infty[$. 

Cette courbe $\Gamma$ passe par les points A$(- 3~;~0)$, B$(- 1~;~0)$ et C$(0~;~- 1,5)$.}\hfill  
\parbox{0.5\linewidth}{\psset{xunit=0.88cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-5,-7)(2,3)
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\psgrid[gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange,subgriddiv=1,gridlabels=0pt]
\uput[dl](0,0){O}
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-5,-7)(2,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3.576}{2}{x 3 add 2 mul x 1 add mul x 4 add div neg}
\uput[l](-3.4,-3.5){\blue $\Gamma$}\uput[ul](-3,0){A}\uput[ur](-1,0){B}\uput[ur](0,-1.5){C}
\end{pspicture}}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item À l'aide de la représentation graphique de la fonction dérivée $f^{\prime}$, déterminer $f'(0)$ et $f'(-3)$. 
\item Trois courbes sont présentées ci-dessous. Une seule de ces trois courbes peut représenter la fonction $f$.

Déterminer laquelle des trois représentations graphiques ci-dessous est celle de la fonction $f$, en justifiant votre réponse :

%\hspace{-.1\linewidth}
\parbox{\linewidth}{
\begin{center}
\psset{xunit=0.42cm,yunit=0.4cm}
\begin{pspicture}(-5,-12)(3,3)
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=orange,subgriddiv=1,gridlabels=0pt](0,0)(-5,-12)(3,3)
\psaxes[linewidth=1pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-5,-12)(3,3)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-3.955}{1.38}{x 4 add ln 6 mul x dup mul add neg}
\uput[l](-3.7,-7){\red $\mathcal{C}_{1}$}
\end{pspicture} \hfill
\psset{xunit=0.42cm,yunit=0.4cm}
\begin{pspicture}(-5,-5)(3,10)
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=orange,subgriddiv=1,gridlabels=0pt](0,0)(-5,-5)(3,10)
\psaxes[linewidth=1pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-5,-5)(3,10)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-3.975}{1.51}{x 4 add ln 6 mul x dup mul add  .8 mul}
\uput[l](-3.4,7){\red $\mathcal{C}_{2}$}
\end{pspicture} \hfill
\psset{xunit=0.42cm,yunit=0.4cm}
\begin{pspicture}(-5,-5)(5,10)
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=orange,subgriddiv=1,gridlabels=0pt](0,0)(-5,-5)(5,10)
\psaxes[linewidth=1pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-5,-5)(5,10)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-3.293}{5}{6 x 4 add dup mul div 2 sub}
\uput[l](-3,4){\red $\mathcal{C}_{3}$}
\end{pspicture}
\end{center}}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
On suppose qu'il existe deux entiers relatifs $a$ et $b$ tels que, pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $]- 4~;~+ \infty[$, on a $f(x) = ax^2 + b \ln(x + 4)$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $x$ un réel appartenant à l'intervalle $]- 4~;~+ \infty[$. 

Exprimer $f^{\prime}(x)$ en fonction de $x,\:a$ et $b$. 
		\item Déduire des questions précédentes que $a = -1$ et $b = - 6$ 
	\end{enumerate}
\item On considère l'intégrale $I = \displaystyle\int_{-3}^{- 1} f^{\prime}(x)\:\text{d}x$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur exacte de l'intégrale $I$ puis en donner une valeur arrondie au dixième. 
		\item Donner une interprétation géométrique de l'intégrale $I$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}