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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{4 septembre 2013}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty} 

\begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES  Polynésie 4 septembre 2013~\decofourright}}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\bigskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Les questions sont indépendantes les unes des autres. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est correcte.\\ 
Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.\\ 
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'apporte, ni n'enlève aucun point.} 

\medskip

On a tracé ci-dessous la courbe représentative $C_{f}$ d'une fonction $f$ définie sur $\R$ ainsi que sa tangente au point A d'abscisse 2. 

\begin{center}
\psset{unit=0.45cm}
\begin{pspicture*}(-20,-5)(6.5,7)
\multido{\n=-20+2}{14}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,-5)(\n,7)}
\multido{\n=-4+2}{6}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](-20,\n)(6,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-19.9,-5)(6.4,6.9)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-20}{3.5}{1.64872  2 x sub mul 2.71828 0.25 x mul exp mul}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1pt]{-2}{4}{2.71828   2 x sub mul}
\psline[linestyle=dashed](-2,0)(-2,4)(0,4)
\uput[ur](2,0){A}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Quelle est l'équation de la tangente à $C_{f}$ en A ?

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~} $y = - \text{e}x + 2\text{e}$& 	\textbf{b.~} $y = 3x + 2\text{e}$& 
\textbf{c.~} $y = \text{e}x + 3\text{e}$&\textbf{d.~} $y = - 5x + 4\text{e}$
\end{tabularx}
\medskip

\item La fonction $f$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}  
\textbf{a.~} concave sur $]- \infty~;~0]$& 
\textbf{b.~} convexe sur $]- \infty~;~0]$ &
\textbf{c.~} concave sur [0~;~2]&
\textbf{d.~} convexe sur [0~;~2]
\end{tabularx}
\medskip

\item La valeur de $\displaystyle\int_{0}^2 f(x)\:\text{d}x$ est: 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}  
\textbf{a.~} $50\text{e}$&\textbf{b.~} $16\text{e} - 24\sqrt{\text{e}}$& 
\textbf{c.~} $0,1\text{e}$&\textbf{d.~} $- 5\text{e} - \sqrt{\text{e}}$
\end{tabularx}
\medskip

\item Parmi les 4 courbes représentées ci-dessous, laquelle représente la fonction dérivée de la fonction $f$ ?

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X} 
\psset{unit=0.3cm}
\begin{pspicture}(-9,-6)(9,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-9,-6)(9,5)
\rput(-8,5){\textbf{a.}}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{-9}{3.9}{1.64872  2 x add 4 div  mul 2.71828 0.25 x mul exp mul neg}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}& \psset{unit=0.3cm}
\begin{pspicture}(-10,-4)(8,8)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-10,-4)(8,8)
\rput(-9,7){\textbf{b.}}
\pscurve[linewidth=1.25pt](-10,2)(-6,1.95)(0,1)(2,0)(3,2.25)(4,8)
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}\\
\psset{unit=0.3cm}
\begin{pspicture}(-12,-4)(4,8)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-12,-4)(4,8)
\rput(-11,6){\textbf{c.}}
\pscurve[linewidth=1.25pt](-12,1)(-6,0.9)(-2,0.4)(0,0)(1,1.6)(2,8)
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}&\psset{unit=0.3cm}
\begin{pspicture}(-10,-5)(8,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-10,-5)(8,5)
\rput(-9,5){\textbf{d.}}
\pscurve[linewidth=1.25pt](-10,1.2)(-4,1)(0,0.4)(2,0)(6,-2)(8,-4.5)
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{tabularx}
 
\end{enumerate} 

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats de ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip
 
\emph{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
\parbox{0.48\linewidth}{Un club sportif organise une course d'orientation. Sept postes de contrôles (appelés balises) sont prévus. 
 
Les sept balises notées B1 ; B2 ; \ldots ; B7 sont représentées sur le graphe ci-contre. Les arêtes du graphe représentent les chemins possibles entre les balises et sur chaque arête est indiqué le temps de parcours estimé en minutes.}\hfill
\parbox{0.48\linewidth}{\begin{pspicture}(6,5)
%\psgrid
\pspolygon(0.5,2)(1.2,4)(3.5,4.5)(2.5,2)%B3B1B2B4
\psline(3.5,4.5)(4.8,3)(2.5,2)(5.8,2)(4.8,3)%B2B6B4B7B6
\pspolygon(5.8,2)(2.5,2)(2.3,0.5)%B7B4B5
\psline(2.5,2)(0.5,2)(2.3,0.5)%B4B3B5
\uput[ul](0.82,3){13}\uput[u](2.2,4.2){21}\uput[ur](4.3,3.6){6}
\uput[l](3,3.2){9}\uput[ul](3.8,2.6){4}\uput[ur](5.3,2.4){5}
\uput[u](1.6,2){8}\uput[u](4.5,2){13}\uput[r](2.4,1.4){2}
\uput[dl](1.4,1.2){5}\uput[dr](4,1.2){15}
\uput[l](0.5,2){B3} \uput[ul](1.2,4){B1} \uput[ur](3.5,4.5){B2} 
\uput[ur](4.8,3){B6} \uput[r](5.8,2){B7} \uput[d](2.3,0.5){B5} 
\uput[ul](2.5,2){B4}  
\end{pspicture}}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Le graphe est-il connexe? Justifier la réponse.  
		\item Existe-t-il un parcours qui permet de revenir à une balise de départ en passant une et une seule fois par tous les chemins? Justifier la réponse. 
		\item Existe-t-il un parcours qui permet de relier deux balises différentes en passant une et une seule fois par tous les chemins ?
	\end{enumerate} 
\item Les organisateurs décident de situer le départ à la balise B1 et l'arrivée à la balise B7. Chaque participant doit rallier la balise B7 en un minimum de temps. Ils ne sont pas tenus à emprunter tous les chemins.
 
Quelle est la durée minimale du parcours possible et quel est ce parcours ? Justifier votre réponse à l'aide d'un algorithme.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Depuis l'année 2011, ce club sportif propose à ses licenciés une assurance spécifique. La première année, 80\,\% des licenciés y ont adhéré. En 2012, 70\,\% des licenciés ayant adhéré en 2011 ont conservé cette assurance et 60\,\% de ceux n'ayant pas adhéré en 2011 ont adhéré en 2012. 

En supposant que cette évolution se maintienne, le club sportif souhaite savoir quel pourcentage de licenciés adhèrera à cette assurance à plus long terme. 
On note : 	\begin{tabular}{l}
A \og  le licencié est assuré \fg\\ 
B \og le licencié n'est pas assuré \fg
\end{tabular} 

Pour tout entier $n$ non nul, l'état probabiliste du nombre d'assurés l'année $2011 + n$ est défini par la matrice 
ligne $P_{n} = \left(x_{n}\quad y_{n}\right)$ où $x_{n}$ désigne la probabilité pour un licencié d'être assuré l'année $2011 + n$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Représenter cette situation par un graphe probabiliste de sommets A et B. 
\item Écrire la matrice de transition $M$ de ce graphe en prenant les sommets A et B dans cet ordre. 
\item En remarquant que $P_{0} = (0,8\quad  0,2)$, déterminer $P_{1}$. Interpréter ce résultat. 
\item Le club sportif maintiendra son offre d'assurance spécifique si le nombre d'assurés reste supérieur à 55\,\%. L'évolution prévue lui permet-elle d'envisager le maintien de son offre à long terme ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip
  
Une entreprise qui produit du papier recyclé, a été créée en l'année 2000 et le tableau ci-dessous donne l'évolution de sa production.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.8cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année 				&2000 	&2002 	&2004 	&2006 	&2008 	&2010 	&2012\\ \hline 
Rang de l'année 	&0 		&2 		&4 		&6 		&8 		&10 	&12\\ \hline  
Production en tonnes &\np{7000} &\np{18811} &\np{36620} &\np{49000} &\np{58012} &\np{63098} &\np{68500}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le pourcentage d'augmentation de la production entre les années 2000 et 2012. On donnera le résultat arrondi sous la forme $a\,\%$ où $a$ est un nombre entier. 
		\item Déterminer un nombre réel positif qui est solution de l'équation :
		
$x^{12} = 9,79$. Interpréter ce nombre en termes de taux d'évolution de la production de cette entreprise entre les années 2000 et 2012. On donnera le résultat arrondi sous la forme $b\,\%$ où $b$ est un nombre entier.
	\end{enumerate} 
\item L'entreprise fait appel à un cabinet d'experts pour modéliser l'évolution de la production de l'entreprise afin de faire une projection jusqu'en 2020. Le cabinet d'experts propose la fonction $f$ définie sur l'intervalle [2~;~20] par : 

\[f(x) = \np{27131}\ln x + 0,626 x^3\]
 
où $x$ représente le rang de l'année et $f(x)$ le nombre de tonnes produites. 
	\begin{enumerate}
		\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle [2~;~20]. Déterminer $f'(x)$ puis les variations de la fonction $f$ sur [2~;~20]. 
		\item À l'aide de cette modélisation, l'entreprise peut-elle dépasser une production de \np{90000}~tonnes de papier recyclé avant l'année 2020 ? Justifier.
	\end{enumerate} 
\item Une commande de bobines de papier de 2,20 m de large et pesant chacune environ 500 kg est faite à cette entreprise. Le poids d'une bobine varie en fonction de nombreux facteurs.
 
Soit $X$ la variable aléatoire qui à toute bobine choisie au hasard dans cette commande associe son poids. On admet que $X$ suit une loi normale de paramètres $\mu = 500$ et $\sigma = 2$. 
	\begin{enumerate}
		\item Toute bobine dont le poids est inférieur à $496$~kg est refusée.
		 
Quelle est la probabilité qu'une bobine choisie au hasard dans cette commande soit refusée ? 

Donner une valeur arrondie du résultat à $10^{- 4}$. 
		\item L'entreprise perd de l'argent pour toute bobine dont le poids est supérieur à $506$~kg.
		 
Quelle est la probabilité qu'une bobine choisie au hasard dans cette commande fasse perdre de l'argent à l'entreprise ? Donner une valeur arrondie du résultat à $10^{- 4}$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

La population de l'Allemagne (nombre de personnes résidant sur le territoire allemand) s'élevait à \np{81751602}~habitants au premier janvier 2011.
 
De plus, on sait qu'en 2011, le nombre de naissances en Allemagne ne compense pas le nombre de décès, et sans tenir compte des flux migratoires on estime le taux d'évolution de la population allemande à $- 0,22\,\%$. On admet que cette évolution reste constante les années suivantes.
 
\emph{Les résultats seront arrondis à l'unité}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
On propose l'algorithme suivant: 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.85\linewidth}{l|X|}\cline{2-2}
\textbf{Entrée :}& Saisir le nombre entier naturel non nul S.\\ \cline{2-2} 
\textbf{Traitement :}&Affecter à U la valeur \np{81751602}\quad  \{initialisation\}\\  
&Affecter à N la valeur 0\phantom{\np{1751602}} \quad  \{initialisation\}\\ 
&Tant que U $ > $ S\\ 
&\qquad Affecter à U la valeur $\np{0,9978} \times $ U\\ 
&\qquad Affecter à N la valeur N $+ 1$\\ 
&Fin tant que\\ \cline{2-2} 
\textbf{Sortie :}& Afficher N\\ \cline{2-2} 
\end{tabularx}
\end{center} 

On saisit en entrée le nombre S $= \np{81200000}$. Recopier et compléter le tableau suivant autant que nécessaire en arrondissant les résultats à l'unité. Quel nombre obtient-on en sortie ? 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
U				&\np{81751602}	&\np{81571748}	&\ldots&\\ \cline{1-3}\cline{4-5}
N				& 0 			&				&\ldots&\\ \cline{1-3}\cline{4-5}
Test U $ > $ S	& Vrai			&				&\ldots&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
On note $u_{n}$ l'effectif de la population de l'Allemagne au premier janvier $2011 + n$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer $u_{0}$ et $u_{1}$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique, de 1\up{er} terme \np{81751602} et de raison \np{0,9978}. 
		\item Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate} 
\item Si cette évolution de $- 0,22\,\%$ se confirme : 
	\begin{enumerate}
		\item Quel serait l'effectif de la population de l'Allemagne au premier janvier 2035 ? 
		\item En quelle année la population passera-telle au-dessous du seuil de \np{81200000}~habitants ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip

Dans cette partie, on tient compte des flux migratoires : on estime qu'en 2011 , le solde migratoire (différence entre les entrées et les sorties du territoire) est positif en Allemagne et s'élève à \np{49800}~personnes.
 
On admet de plus que le taux d'évolution de $-0,22\,\%$ ainsi que le solde migratoire restent constants les années suivant 2011.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Modéliser cette situation à l'aide d'une suite $\left(v_{n}\right)$ dont on précisera le premier terme $v_{0}$ ainsi qu'une relation entre $v_{n+1}$ et $v_{n}$. 
\item Calculer $v_{1}$ et $v_{2}$. Que peut-on conjecturer sur l'évolution de la population de l'Allemagne ? 
\end{enumerate}

(\emph{Données recueillies par l'Institut national d'études démographiques}) 
\end{document}