\documentclass[10pt]{article}
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% Tapuscrit : Denis Vergès
% Corrigé : François Hache
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\usepackage{pst-eucl}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
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\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ 
\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
%   Commandes perso FH
\newcommand{\ds}{\displaystyle}%   displaystyle
\newcommand{\cg}{\rceil \hspace{-4.5pt} \rfloor}% crocher gauche
\newcommand{\cd}{\lceil \hspace{-4.5pt} \lfloor}% crochet droit
\renewcommand{\d}{\,\text{d}\,}%  le d de différentiation
\newcommand{\e}{\,\text{e}\,}%    le e de l'exponentielle
\renewcommand{\i}{\text{\,i\,}}%  le i des complexes
\renewcommand{\(}{\left(}%        parenthèse gauche
\renewcommand{\)}{\right)}%       parenthèse droite  
\newcommand{\pg}{\geqslant}%      plus grand ou égal
\newcommand{\pp}{\leqslant}%      plus petit ou égal
\newcommand{\ssi}{\Leftrightarrow}% équivalent
\newcommand{\limit}[2]{\lim\limits_{#1 \to #2}}% limite
\newcommand{\integ}[2]{\displaystyle\int_{#1}^{\,#2}}% intégrale
%\newcommand{\t}[1]{\text{#1}}
\newcommand*{\point}[4]{
\psdots(#1,#2)
\uput[#3](#1,#2){#4}
}
% permet de placer un point et de marquer son nom en même temps
% abscisse ordonnée emplacement et nom
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{4 septembre 2013}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty} 

\vspace*{-0.7cm}
\begin{center} 
{\Large{ \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES  Polynésie ~\decofourright\\[3pt]
4 septembre 2013\\[8pt]
Corrigé}}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}%  \section{exercice 1}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

%\medskip
%
%On a tracé ci-dessous la courbe représentative $C_{f}$ d'une fonction $f$ définie sur $\R$ ainsi que sa tangente au point A d'abscisse 2. 
%
%\begin{center}
%\psset{unit=0.5cm}
%\begin{pspicture*}(-20,-5)(6.5,7)
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-20,-5)(6.4,6.9)
%\multido{\n=-20+2}{14}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,-5)(\n,7)}
%\multido{\n=-4+2}{6}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](-20,\n)(6,\n)}\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-20}{3.5}{1.64872  2 x sub mul 2.71828 0.25 x mul exp mul}
%\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1pt]{-2}{4}{2.71828   2 x sub mul}
%\psline[linestyle=dashed](-2,0)(-2,4)(0,4)
%\uput[u](-2,4){S}
%\uput[ur](2,0){A}
%\end{pspicture*}
%\end{center}

\emph{Aucune justification n'était demandée dans cet exercice.}


\begin{enumerate}
\item% Quelle est l'équation de la tangente à $C_{f}$ en A ?
%
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
%\textbf{a.~} $y = - \text{e}x + 2\text{e}$& 	\textbf{b.~} $y = 3x + 2\text{e}$& 
%\textbf{c.~} $y = \text{e}x + 3\text{e}$&\textbf{d.~} $y = - 5x + 4\text{e}$
%\end{tabularx}
%\medskip

Une équation de la tangente à $C_{f}$ en A est $y=-\e x +2\e$ ; \textbf{réponse a.}

\emph{Le coefficient directeur de la tangente doit être négatif, ce qui élimine les réponses \textbf{b} et \textbf{c}; l'ordonnée à l'origine est inférieure à 6 donc elle ne peut pas être égale à $4\e \approx 10,9$ ce qui élimine la réponse \textbf{d.}}


\item% La fonction $f$ est :
%
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}  
%\textbf{a.~} concave sur $]- \infty~;~0]$& 
%\textbf{b.~} convexe sur $]- \infty~;~0]$ &
%\textbf{c.~} concave sur [0~;~2]&
%\textbf{d.~} convexe sur [0~;~2]
%\end{tabularx}
%\medskip

La fonction $f$ est concave sur $[0~;~2]$; \textbf{réponse c.}

\emph{Sur $[0~;~2]$, la courbe est située au-dessous de chacune de ses tangentes.}
 

\item% La valeur de $\displaystyle\int_{0}^2 f(x)\:\text{d}x$ est: 
%
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}  
%\textbf{a.~} $50\text{e}$&\textbf{b.~} $16\text{e} - 24\sqrt{\text{e}}$& 
%\textbf{c.~} $0,1\text{e}$&\textbf{d.~} $- 5\text{e} - \sqrt{\text{e}}$
%\end{tabularx}
%\medskip

La valeur de $\displaystyle\int_{0}^2 f(x)\:\text{d}x$ est $16\text{e} - 24\sqrt{\text{e}}$; \textbf{réponse b.}

\emph{La fonction $f$ est positive sur $[0\:; 2]$.
L'intégrale $\displaystyle\int_{0}^2 f(x)\:\text{d}x$ représente l'aire comprise entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=2$.
Elle doit être un nombre positif, donc on élimine la réponse \textbf{d}. La réponse \textbf{a}, $50\e \approx 136$, est trop grande, la réponse \textbf{c}, $0,1\e \approx 0,27$ est trop petite.}


\item% Parmi les 4 courbes représentées ci-dessous, laquelle représente la fonction dérivée de la fonction $f$ ?
%
%
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{X X} 
%\psset{unit=0.3cm}
%\begin{pspicture}(-9,-6)(9,6)
%\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
%\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
%\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-9,-6)(9,6)
%\rput(-8,5){\textbf{a.}}
%\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt]{-9}{3.9}{1.64872  2 x add 4 div  mul 2.71828 0.25 x mul exp mul neg}
%\uput[dl](0,0){\scriptsize {0}}
%\end{pspicture}& \psset{unit=0.3cm}
%\begin{pspicture}(-10,-4)(8,8)
%\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
%\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
%\def\f{.25*((x-3)*EXP(x)+EXP(2))}
%\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-10,-4)(8,8)
%\rput(-9,7){\textbf{b.}}
%\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt]{-10}{3.64}{\f}
%\uput[dl](0,0){\scriptsize {0}}
%\end{pspicture}\\
%\psset{unit=0.3cm}
%\begin{pspicture}(-12,-4)(6,8)
%\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
%\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
%\def\f{(x-1)*EXP(x)+1}
%\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-12,-4)(6,8)
%\rput(-11,6){\textbf{c.}}
%\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt]{-12}{1.98}{\f}
%\uput[dl](0,0){\scriptsize {0}}
%\end{pspicture}&\psset{unit=0.3cm}
%\begin{pspicture}(-10,-6)(8,6)
%\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
%\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
%\def\f{18*(x-2)/(5*x-58)}
%\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-10,-6)(8,6)
%\rput(-9,5){\textbf{d.}}
%\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt]{-10}{8}{\f}
%\uput[dl](0,0){\scriptsize {0}}
%\end{pspicture}
%\end{tabularx}
 
Parmi les 4 courbes tracées, la fonction dérivée de la fonction $f$ est représentée par la courbe \textbf{a.} 

\emph{La fonction $f$ est croissante sur $]-\infty\:; -2]$ et décroissante sur $[-2\:; +\infty[$; sa dérivée est donc positive sur $]-\infty\:; -2]$ et négative sur $[-2\:; +\infty[$, ce qui correspond à la courbe \textbf{a.}}
 
 
\end{enumerate} 

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}%  \section{exercice 2 spé}
 
\textbf{Candidats de ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

%\medskip
% 
%\emph{Les parties A et B sont indépendantes}
%
\medskip
 
\textbf{Partie A}%  \subsection{partie A}

%\medskip
% 
%\parbox{0.48\linewidth}{Un club sportif organise une course d'orientation. Sept postes de contrôles (appelés balises) sont prévus. 
% 
%Les sept balises notées B1 ; B2 ; \ldots ; B7 sont représentées sur le graphe ci-contre. Les arêtes du graphe représentent les chemins possibles entre les balises et sur chaque arête est indiqué le temps de parcours estimé en minutes.}\hfill
%\parbox{0.48\linewidth}{\begin{pspicture}(6,5)
%%\psgrid
%\pspolygon(0.5,2)(1.2,4)(3.5,4.5)(2.5,2)%B3B1B2B4
%\psline(3.5,4.5)(4.8,3)(2.5,2)(5.8,2)(4.8,3)%B2B6B4B7B6
%\pspolygon(5.8,2)(2.5,2)(2.3,0.5)%B7B4B5
%\psline(2.5,2)(0.5,2)(2.3,0.5)%B4B3B5
%\uput[ul](0.82,3){13}\uput[u](2.2,4.2){21}\uput[ur](4.3,3.6){6}
%\uput[l](3,3.2){9}\uput[ul](3.8,2.6){4}\uput[ur](5.3,2.4){5}
%\uput[u](1.6,2){8}\uput[u](4.5,2){13}\uput[r](2.4,1.4){2}
%\uput[dl](1.4,1.2){5}\uput[dr](4,1.2){15}
%\uput[l](0.5,2){B3} \uput[ul](1.2,4){B1} \uput[ur](3.5,4.5){B2} 
%\uput[ur](4.8,3){B6} \uput[r](5.8,2){B7} \uput[d](2.3,0.5){B5} 
%\uput[ul](2.5,2){B4}  
%\end{pspicture}}
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
	
		\item% Le graphe est-il connexe? Justifier la réponse.  
Deux sommets quelconques de ce graphe sont reliés par une chaîne, donc ce graphe est connexe.

		\item% Existe-t-il un parcours qui permet de revenir à une balise de départ en passant une et une seule fois par tous les chemins? Justifier la réponse. 
Un parcours de graphe est \og{} eulérien \fg{} s'il passe une fois et une seule par chaque arête.

Il s'agit d'un cycle eulérien si on part et on revient au même sommet après avoir parcouru toutes les arêtes.

Il existe un cycle eulérien dans un graphe, si et seulement si ce graphe ne contient aucun sommet de degré impair; or ce graphe contient 6 sommets de degré impair : B2 (3), B3 (3), B4 (5), B5 (3), B6 (3) et B7 (3).

Donc il n'existe pas de parcours permettant de revenir à une balise de départ en passant une et une seule fois par tous les chemins.

		\item% Existe-t-il un parcours qui permet de relier deux balises différentes en passant une et une seule fois par tous les chemins ?

Il existe un chemin eulérien joignant deux sommets différents, c'est-à-dire parcourant toutes les arêtes, s'il y a exactement 2 sommets de degré impair.

Comme il y a 6 sommets de degré impair, il n'y a pas de parcours permettant de relier deux balises différentes en passant une et une seule fois par tous les chemins.

	\end{enumerate}

\newpage
	 
\item %Les organisateurs décident de situer le départ à la balise B1 et l'arrivée à la balise B7. Chaque participant doit rallier la balise B7 en un minimum de temps. Ils ne sont pas tenus à emprunter tous les chemins.
% 
%Quelle est la durée minimale du parcours possible et quel est ce parcours ? Justifier votre réponse à l'aide d'un algorithme.

On va chercher le plus court chemin allant de B1 à B7 en utilisant l'algorithme de Dijkstra:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline 
B1 & B2 & B3 & B4 & B5 & B6 & B7 & On garde \\ 
\hline 
0 & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & B1 \\ 
\hline 
 & 21 & \fcolorbox{yellow}{yellow}{13} & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & B3 (B1) \\ 
\hline 
 & 21 &  & 21 & \fcolorbox{yellow}{yellow}{18} & $\infty$ & $\infty$ & B5 (B3) \\ 
\hline 
 & 21 &  & \sout{21} &  & $\infty$ & 33 &  \\ 
 &    &  & \fcolorbox{yellow}{yellow}{20} &  &  &  & B4 (B5)  \\  
\hline 
 & \fcolorbox{yellow}{yellow}{21} &  &  &  & 24 & 33 & B2 (B1) \\ 
\hline 
 &  &  &  &  & \sout{27} & 33 &  \\
  &  &  &  &  & \fcolorbox{yellow}{yellow}{24} &  & B6 (B4) \\ 
\hline 
 &  &  &  &  &  & \sout{33} &  \\
 &  &  &  &  &  & \fcolorbox{yellow}{yellow}{29} & B7 (B6) \\ 
\hline 
\end{tabular}
}
\end{center} 

\medskip

Le trajet le plus rapide reliant B1 à B7 est donc:

\hfill 
B1 $\stackrel{13}{\longrightarrow}$ 
B3 $\stackrel{5}{\longrightarrow}$ 
B5 $\stackrel{2}{\longrightarrow}$ 
B4 $\stackrel{4}{\longrightarrow}$ 
B6 $\stackrel{5}{\longrightarrow}$ B7
\hfill\,

Il a une durée totale de $13+5+2+4+5=29$ minutes. 


\end{enumerate}
\bigskip
 
\textbf{Partie B}%  \subsection{partie B}
%
%\medskip
% 
%Depuis l'année 2011, ce club sportif propose à ses licenciés une assurance spécifique. La première année, 80\,\% des licenciés y ont adhéré. En 2012, 70\,\% des licenciés ayant adhéré en 2011 ont conservé cette assurance et 60\,\% de ceux n'ayant pas adhéré en 2011 ont adhéré en 2012. 
%
%En supposant que cette évolution se maintienne, le club sportif souhaite savoir quel pourcentage de licenciés adhèrera à cette assurance à plus long terme. 
%On note : 	\begin{tabular}{l}
%A \og  le licencié est assuré \fg\\ 
%B \og le licencié n'est pas assuré \fg
%\end{tabular} 
%
%Pour tout entier $n$ non nul, l'état probabiliste du nombre d'assurés l'année $2011 + n$ est défini par la matrice 
%ligne $P_{n} = \left(x_{n}\quad y_{n}\right)$ où $x_{n}$ désigne la probabilité pour un licencié d'être assuré l'année $2011 + n$.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}

\item %Représenter cette situation par un graphe probabiliste de sommets A et B. 
Sachant qu'on désigne  par A \og{}le licencié est assuré\fg{} et par B \og{}le licencié n'est pas assuré\fg{} les deux sommets, le graphe probabiliste associé à la situation décrite dans le texte est: 

\hspace*{1cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-0.8)(6,1.2)
\Rnode{A}{A} \hskip 4cm \Rnode{B}{B}%               définition des sommets
\psset{nodesep=3pt,arcangle=15,arrowsize=2pt 3}%    paramètres
\ncarc{->}{A}{B} \Aput{0,30}%                       arc pondéré partant de A
\ncarc{->}{B}{A} \Aput{0,60}%                       arc pondéré partant de B
\nccircle[angleA=90]{->}{A}{4mm}   \Bput{0,70}%     boucle autour de A
\nccircle[angleA=-90]{->}{B}{.4cm} \Bput{0,40}%     boucle autour de B
\end{pspicture}


\item% Écrire la matrice de transition $M$ de ce graphe en prenant les sommets A et B dans cet ordre. 
D'après le cours, la matrice de transition est
$M=
\begin{pmatrix} 0,7 & 0,3 \\ 0,6 & 0,4 \end{pmatrix}$

\item $P_{0} = \begin{pmatrix} 0,8 & 0,2 \end{pmatrix}$

$P_{1} = P_0 \times M =
\begin{pmatrix} 0,8 & 0,2 \end{pmatrix} \times
\begin{pmatrix} 0,7 & 0,3 \\ 0,6 & 0,4 \end{pmatrix} \\
\phantom{P_{1}} = 
\begin{pmatrix} 0,8\times 0,7+ 0,2\times 0,6 & 0,8\times 0,3 + 0,2\times 0,4  \end{pmatrix} 
 = \begin{pmatrix} 0,68 & 0,32 \end{pmatrix}
$

$P_0$ correspond à l'année 2012, donc $P_1 = \begin{pmatrix} 0,68 & 0,32 \end{pmatrix}$ correspond à 2013.

En 2013, il y a donc $68\,\%$ de licenciés qui ont l'assurance spécifique, et $32\,\%$ qui ne l'ont pas.

\item% Le club sportif maintiendra son offre d'assurance spécifique si le nombre d'assurés reste supérieur à 55\,\%. L'évolution prévue lui permet-elle d'envisager le maintien de son offre à long terme ? 

En faisant les calculs à la calculatrice, on peut conjecturer que le pourcentage de licenciés ayant souscrit l'assurance spécifique tend à se rapprocher de $66,67\,\%$; on va donc chercher un état stable du graphe probabiliste.

L'état stable $\begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix}$ est solution du système:

$\left\lbrace 
\begin{array}{l @{\ =\ } l}
\begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix} \times M\\
a+b & 1
\end{array}
\right. $

$
\begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix} \times M
\iff
\begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix} \times 
\begin{pmatrix} 0,7 & 0,3 \\ 0,6 & 0,4 \end{pmatrix}
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{l @{\ =\ } l}
a & 0,7\,a + 0,6\,b\\
b & 0,3\,a + 0,4\,b
\end{array}
\right. \\
\hspace*{29mm} \iff
\left\lbrace 
\begin{array}{l @{\ =\ } l}
0 & -0,3\,a + 0,6\,b\\
0 & 0,3\,a - 0,6\,b
\end{array}
\right. 
\iff
3a-6b=0
$

$\left\lbrace 
\begin{array}{l @{\ =\ } l}
3a-6b & 0\\
a+b & 1
\end{array}
\right. 
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{l @{\ =\ } l}
3a-6b & 0\\
6a+6b & 6
\end{array}
\right.
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{l @{\ =\ } l}
9a & 6\\
b & 1-a
\end{array}
\right.
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{l @{\ =\ } l}
a & \dfrac{2}{3}\\[8pt]
b & \dfrac{1}{3}
\end{array}
\right.$

\smallskip

Donc on peut conclure que le pourcentage de licenciés ayant souscrit l'assurance spécifique tend en diminuant vers $\dfrac{2\rule{0pt}{10pt}}{3\rule[-2pt]{0pt}{11pt}}\approx 66,67\,\%$; on peut en déduire que le pourcentage d'assurés reste au dessus de $55\,\%$.

Le club sportif peut donc maintenir son offre à long terme.

\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}%  \section{exercice 3}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

%\medskip
%  
%Une entreprise qui produit du papier recyclé, a été créée en l'année 2000 et le tableau ci-dessous donne l'évolution de sa production.
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.8cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%Année &2000 &2002 &2004 &2006 &2008 &2010 &2012\\ \hline 
%Rang de l'année &0 &2 &4 &6 &8 &10 &12\\ \hline  
%Production en tonnes &\np{7000} &\np{18811} &\np{36620} &\np{49000} &\np{58012} &\np{63098} &\np{68500}\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}

\item 

	\begin{enumerate}

		\item %Déterminer le pourcentage d'augmentation de la production entre les années 2000 et 2012. On donnera le résultat arrondi sous la forme $a\,\%$ où $a$ est un nombre entier. 
Le pourcentage d'augmentation entre les années 2000 et 2012 est donné par la formule:
$\dfrac{\np{68500}-\np{7000}\rule{0pt}{10pt}}{\np{7000}\rule[-2pt]{0pt}{10pt}} \times 100 \approx \np{878,57}$.

Donc le pourcentage d'augmentation entre 2000 et 2012 est approximativement de $879\,\%$.


		\item% Déterminer un nombre réel positif qui est solution de l'équation :
		
$x^{12} = 9,79 \iff x=\ds\sqrt[12]{9,79} \iff x= 9,79^{\frac{1}{12}} \approx 1,21$

Le taux d'évolution $T$ de la production entre 2000 et 2012 permet de calculer le coefficient multiplicateur
 $1+ \dfrac{T}{100} = 1+\dfrac{879}{100}=9,79$.

Entre 2000 et 2012, il y a 12 années et on vu que $1,21^{12}=9,79$.

Donc le coefficient par lequel il faudrait multiplier chaque année pendant 12 ans la production pour aboutir à \np{68500}~tonnes en 2012 est $1,21$.

Ce coefficient correspond à un taux d'évolution $t$  tel que $1+\dfrac{t}{100}=1,21$ donc $t=21\,\%$.

\emph{Ce taux est généralement appelé \og{}taux d'évolution annuel moyen\fg{}.}

	\end{enumerate} 

\item% L'entreprise fait appel à un cabinet d'experts pour modéliser l'évolution de la production de l'entreprise afin de faire une projection jusqu'en 2020. Le cabinet d'experts propose la fonction $f$ définie sur l'intervalle [2~;~20] par : 

%\[f(x) = \np{27131}\ln x + 0,626 x^3\]
 
%où $x$ représente le rang de l'année et $f(x)$ le nombre de tonnes produites. 

	\begin{enumerate}

		\item %On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle [2~;~20]. Déterminer $f'(x)$ puis les variations de la fonction $f$ sur [2~;~20]. 

$f$ est la fonction définie sur [2~;~20] par: 
$f\(x\) = \np{27131}\ln x + 0,626 x^3$.
		
$f'\(x\)= \np{27131}\times \dfrac{1}{x} + 0,626 \times 3x^2 = \dfrac{\np{27131}}{x} + 1,878x^2 >0$ sur $[2~;~20]$

Donc la fonction $f$ est strictement croissante sur $[2~;~20]$.

		\item% À l'aide de cette modélisation, l'entreprise peut-elle dépasser une production de \np{90000}~tonnes de papier recyclé avant l'année 2020 ? Justifier.
L'année 2020 correspond à $x=20$. 

La fonction $f$ est strictement croissante sur $[2~;~20]$ donc la plus grande valeur de $f\(x\)$ sur cet intervalle est $f\(20\)$.

Or $f\(20\) \approx \np{86285} < \np{90000}$; l'entreprise ne peut donc pas dépasser une production de \np{90000} tonnes de papier recyclé avant l'année 2020. 
	\end{enumerate} 
	
\item% Une commande de bobines de papier de 2,20 m de large et pesant chacune environ 500 kg est faite à cette entreprise. Le poids d'une bobine varie en fonction de nombreux facteurs.
 
%Soit $X$ la variable aléatoire qui à toute bobine choisie au hasard dans cette commande associe son poids. On admet que $X$ suit une loi normale de paramètres $\mu = 500$ et $\sigma = 2$. 

	\begin{enumerate}

		\item% Toute bobine dont le poids est inférieur à $496$~kg est refusée.
% 
%Quelle est la probabilité qu'une bobine choisie au hasard dans cette commande soit refusée ? 
%
%Donner une valeur arrondie du résultat à $10^{- 4}$. 

La variable aléatoire $X$ suit la loi normale de paramètres $\mu=500$ et $\sigma=2$; on cherche $P\(X<496\)$.

D'après la calculatrice, $P\(X<496\) \approx \np{0,0228}$.

La probabilité qu'une bobine choisie au hasard dans une commande soit refusée est de \np{0,0228}.

		\item% L'entreprise perd de l'argent pour toute bobine dont le poids est supérieur à $506$~kg.
%		 
%Quelle est la probabilité qu'une bobine choisie au hasard dans cette commande fasse perdre de l'argent à l'entreprise ? Donner une valeur arrondie du résultat à $10^{- 4}$.
On cherche $P\(X>506\)$.

D'après la calculatrice, $P\(X>506\) \approx \np{0,0013}$.

La probabilité qu'une bobine choisie au hasard dans cette commande fasse perdre de l'argent à l'entreprise est \np{0,0013}.


	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}%  \section{exercice 4}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

%\medskip
%
%La population de l'Allemagne (nombre de personnes résidant sur le territoire allemand) s'élevait à \np{81751602}~habitants au premier janvier 2011.
% 
%De plus, on sait qu'en 2011, le nombre de naissances en Allemagne ne compense pas le nombre de décès, et sans tenir compte des flux migratoires on estime le taux d'évolution de la population allemande à $- 0,22\,\%$. On admet que cette évolution reste constante les années suivantes.
% 
%\emph{Les résultats seront arrondis à l'unité}
%
\medskip
 
\textbf{Partie A}%  \subsection{partie A}

%\medskip
% 
%On propose l'algorithme suivant: 
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.85\linewidth}{l|X|}\cline{2-2}
%\textbf{Entrée :}& Saisir le nombre entier naturel non nul S.\\ \cline{2-2} 
%\textbf{Traitement :}&Affecter à U la valeur \np{81751602}\quad  \{initialisation\}\\  
%&Affecter à N la valeur 0\phantom{\np{1751602}} \quad  \{initialisation\}\\ 
%&Tant que U $ > $ S\\ 
%&\qquad Affecter à U la valeur $\np{0,9978} \times $ U\\ 
%&\qquad Affecter à N la valeur N $+ 1$\\ 
%&Fin tant que\\ \cline{2-2} 
%\textbf{Sortie :}& Afficher N\\ \cline{2-2} 
%\end{tabularx}
%\end{center} 

On saisit en entrée le nombre S $= \np{81200000}$.

En faisant tourner l'algorithme proposé, on obtient les résultats suivants:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.1}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline 
U & \np{81751602} & \np{81571748} & \np{81392290} & \np{81213227} &  \np{81034558} \\ 
\hline 
N & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 
\hline 
Test U > S  & Vrai & Vrai & Vrai & Vrai & Faux \\ 
\hline 
\end{tabular} 
}
\end{center}

Le nombre obtenu en sortie est 4.
 
\medskip 
 
\textbf{Partie B}%  \subsection{partie B}

\medskip
 
On note $u_{n}$ l'effectif de la population de l'Allemagne au premier janvier $2011 + n$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item% Déterminer $u_{0}$ et $u_{1}$. 
$u_0$ désigne la population en 2011, donc $u_0=\np{81751602}$.

On calcule $0,22\,\%$ de \np{81751602}: $\dfrac{0,22 \times \np{81751602}}{100} \approx \np{179854}$.

$u_1 = \np{81751602} - \np{179844} = \np{81571748}$  

\item 
	\begin{enumerate}

		\item% Justifier que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique, de 1\up{er} terme \np{81751602} et de raison \np{0,9978}. 
Retirer $0,22\,\%$, c'est multiplier par $1-\dfrac{0,22}{100\rule[-2pt]{0pt}{10pt}}= \np{0,9978}$; donc la suite $\(u_n\)$ est géométrique de premier terme $u_0= \np{81751602}$ et de raison $q=\np{0,9978}$.

		\item% Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$.
D'après le cours, pour tout $n$, $u_n = u_0\times q^n = \np{81751602} \times  \(\np{0,9978}\)^n$.

	\end{enumerate} 
	
\item% Si cette évolution de $- 0,22\,\%$ se confirme : 

	\begin{enumerate}

		\item% Quel serait l'effectif de la population de l'Allemagne au premier janvier 2035 ? 
$2035 = 2011 + 24$ donc l'année 2035 correspond à $n=24$.

D'après la calculatrice, $u_{24} = \np{81751602} \times \(\np{0,9978}\)^{24} \approx \np{77542583}$ donc la population en 2035 serait de \np{77542583} habitants.  

		\item% En quelle année la population passera-telle au-dessous du seuil de \np{81200000}~habitants ?
D'après la partie \textbf{A}, $u_3 = \np{81213227}$ et $u_4 = \np{81034558}$; donc la population est en dessous de \np{81200000} à partir de $n=4$ donc à partir de l'année $2011+4$ soit 2015.

	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C}%  \subsection{partie C}

%\medskip
%
%Dans cette partie, on tient compte des flux migratoires: on estime qu'en 2011, le solde migratoire (différence entre les entrées et les sorties du territoire) est positif en Allemagne et s'élève à \np{49800}~personnes.
% 
%On admet de plus que le taux d'évolution de $-0,22\,\%$ ainsi que le solde migratoire restent constants les années suivant 2011.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item% Modéliser cette situation à l'aide d'une suite $\left(v_{n}\right)$ dont on précisera le premier terme $v_{0}$ ainsi qu'une relation entre $v_{n+1}$ et $v_{n}$.

D'après le texte, on peut dire que pour tout $n$, $v_{n+1}=\np{0,9978}v_n + \np{49800}$.
 
De plus, $v_0 = u_0 + \np{49800} = \np{81751602} +  \np{49800} = \np{81801402}$
 
\item% Calculer $v_{1}$ et $v_{2}$. Que peut-on conjecturer sur l'évolution de la population de l'Allemagne ? 

$v_1=\np{0,9978}v_0 + \np{49800} = \np{0,9978}\times \np{81801402} + \np{49800} \approx \np{81671239}$

$v_2=\np{0,9978}v_1 + \np{49800} = \np{0,9978}\times \np{81671239} + \np{49800} \approx \np{81541362}$

La population de l'Allemagne  semble encore diminuer malgré le flux migratoire positif de \np{49800} personnes chaque année.
\end{enumerate}

%(\emph{Données recueillies par l'Institut national d'études démographiques}) 
\end{document}