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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{10 juin 2011}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Polynésie 10 juin 2011 \decofourright}}
\end{center}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 1 \hfill 5 points}}

\textbf{Commun à tous les candidats.} 

\medskip
 
\emph{Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip
 
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv.
 
\begin{enumerate}
\item Soient A le point d'affixe $2 - 5\text{i}$ et B le point d'affixe $7 - 3\text{i}$.
 
\textbf{Proposition 1 :} Le triangle OAB est rectangle isocèle.
 
\item  Soit $(\Delta)$ l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ telle que $|z - \text{i}| = |z + 2 \text{i}|$.
 
\textbf{Proposition 2 :} $(\Delta)$ est une droite parallèle à l'axe des réels.
 
\item  Soit $z = 3 + \text{i}\sqrt{3}$.
 
\textbf{Proposition 3 :} Pour tout entier naturel $n$ non nul, $z^{3n}$ est imaginaire pur.
 
\item  Soit $z$ un nombre complexe non nul.
 
\textbf{Proposition 4 :} Si $\dfrac{\pi}{2}$ est un argument de $z$ alors $|\text{i} + z| = 1 + |z|$.
 
\item  Soit $z$ un nombre complexe non nul.
 
Proposition 5 : Si le module de $z$ est égal à 1 alors $z^2 + \dfrac{1}{z^2}$ est un nombre réel.
\end{enumerate}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 2 \hfill 5 points}}

\textbf{Enseignement obligatoire} 

\medskip

Un joueur débute un jeu vidéo et effectue plusieurs parties successives. 

On admet que :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] la probabilité qu'il gagne la première partie est de \np{0,1} ; 
\item[$\bullet~~$] s'il gagne une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à \np{0,8} ; 
\item[$\bullet~~$] s'il perd une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à \np{0,6}.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On note, pour tout entier naturel $n$ non nul :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] G$_{n}$ l'évènement \og le joueur gagne la $n$-ième partie \fg{} ; 
\item[$\bullet~~$] $p_{n}$ la probabilité de l'évènement G$_{n}$·
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}	
	 
On a donc $p_{1} = \np{0,1}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que $p_{2} = \np{0,62}$. On pourra s'aider d'un arbre pondéré. 
\item Le joueur a gagné la deuxième partie. Calculer la probabilité qu'il ait perdu la première. 
\item Calculer la probabilité que le joueur gagne au moins une partie sur les trois premières parties. 
\item Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, $p_{n+1} = \dfrac{1}{5}p_{n} + \dfrac{3}{5}$. 
\item Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ non nul, 
$p_{n} = \dfrac{3}{4}  - \dfrac{13}{4}\left(\dfrac{1}{5} \right)^n$. 
\item Déterminer la limite de la suite $\left(p_{n}\right)$ quand $n$ tend vers $+ \infty$. 
\item Pour quelles valeurs de l'entier naturel $n$ a-t-on : $\dfrac{3}{4} - p_{n} < 10^{-7}$ ? 
\end{enumerate}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 2 \hfill 5 points}}

\textbf{Enseignement de spécialité} 

\medskip

On rappelle la propriété, connue sous le nom de petit théorème de Fermat :
 
Si $p$ est un nombre premier et $a$ est un entier naturel non divisible par $p$, alors 

$a^{p -1} \equiv 1\quad  (\text{modulo} p)$.

\medskip
 
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ d'entiers naturels définie par : 

\[u_{0} = 1\, \text{et, pour tout entier naturel}\, n, u_{n+1} = 10 u_{n} + 21.\]
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_{1},~u_{2}$ et $u_{3}$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n,$
		$3u_{n} = 10^{n+1} - 7$. 
		\item En déduire, pour tout entier naturel $n$, l'écriture décimale de $u_{n}$·
	\end{enumerate} 
\item Montrer que $u_{2}$ est un nombre premier.

\medskip
 
\emph{On se propose maintenant d'étudier la divisibilité des termes de la suite $\left(u_{n}\right)$ par certains nombres premiers.}
 
\item  Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\, u_{n}$ n'est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5.
\item   
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\, 3u_{n} \equiv 4 - (- 1)^n \quad (\text{modulo} 11)$. 
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n,\, u_{n}$ n'est pas divisible par 11.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer l'égalité : $10^{16} \equiv 1 \quad(\text{modulo} 17)$. 
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $k,\, u_{16k+8}$ est divisible par 17.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 3 \hfill 5 points}}

\textbf{Commun à tous les candidats} 

\medskip

\textbf{Partie A : Restitution organisée de connaissances}

\medskip
 
On supposera connus les résultats suivants :
 
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Soient $u$ et $v$ deux fonctions continues sur un intervalle $[a~;~b]$.
 
Pour tous réels $\alpha$ et $\beta,\, \displaystyle\int_{a}^b [\alpha u(x) + \beta v(x)]\:\text{d}x = \alpha \displaystyle\int_{a}^b u(x)\:\text{d}x + \beta \displaystyle\int_{a}^b v(x) \:\text{d}x$. 
\item[$\bullet~~$] Si $u$ désigne une fonction continue sur un intervalle $[a~;~b]$ et $U$ une primitive de $u$ sur $[a~;~b]$ 

alors $\displaystyle\int_{a}^b u(x)\:\text{d}x =[U(x)]_{a}^b = U(b) - U(a)$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
En utilisant la formule de dérivation d'un produit de deux fonctions dérivables, à dérivées continues sur un intervalle $[a~;~b]$, démontrer la formule d'intégration par parties.

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = x^2\ln x.\]
 
La courbe $(\mathcal{C})$ représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij{} est donnée en annexe.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. 
		\item Étudier les variations de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate} 
\item \emph{Pour cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
Démontrer qu'il existe une tangente unique à la courbe $(\mathcal{C})$ passant par O. Préciser une équation de cette tangente. 
\item On considère le solide obtenu par rotation autour de l'axe $(\text{O}x)$ de la région plane délimitée par la courbe $(\mathcal{C})$, l'axe $(\text{O}x)$ et les droites d'équations $x = \dfrac{1}{\text{e}}$ et $x = 1$. 
 
On note $V$ une mesure, exprimée en unités de volume, du volume de ce solide et on admet que : 

\[V = \int_{\frac{1}{\text{e}}}^1 \pi[f(x)]^2\:\text{d}x. \]
 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer qu'une primitive de la fonction $x \longmapsto x^4 \ln x$ sur $]0~;~+ \infty[$ est la fonction $x \longmapsto \dfrac{x^5}{25}(5\ln x - 1)$. 
		\item En déduire, à l'aide d'une intégration par parties, que : $V = \dfrac{\pi}{125}\left(2 - \dfrac{37}{\text{e}^5}\right)$.	 
	\end{enumerate}	
\end{enumerate}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 4 \hfill 5 points}}

\textbf{Commun à tous les candidats.} 

\medskip

On considère le cube ABCDEFGH de côté 1 représenté ci-dessous. 

\medskip
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,5.5)
\psframe(0.3,0.2)(4,4)%ABFE
\psline(4,0.2)(5.4,1.4)(5.4,5.1)(4,4)%BCGF
\psline(5.4,5.1)(1.7,5.1)(0.3,4)%GHE
\psline[linestyle=dashed](0.3,0.2)(1.8,1.3)(5.4,1.4)%ADC
\psline[linestyle=dashed](1.8,1.3)(1.8,5.1)%DH
\uput[dl](0.3,0.2){A} \uput[dr](4,0.2){B} \uput[r](5.4,1.4){C} \uput[ul](1.8,1.3){D} 
\uput[l](0.3,4){E} \uput[dr](4,4){F} \uput[ur](5.4,5.1){G} \uput[u](1.7,5.1){H} 
\end{pspicture}
\end{center}
\medskip

Dans tout l'exercice, l'espace est rapporté au repère orthonormal $\left(\text{D}~;~\vect{\text{DA}},\, \vect{\text{DC}},\, \vect{\text{DH}}\right)$. On note K le barycentre des points pondérés (D,\, 1) et (F,\, 2).

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que le point K a pour coordonnées $\left(\dfrac{2}{3}~;~\dfrac{2}{3}~;~\dfrac{2}{3}\right)$.
\item Montrer que les droites (EK) et (DF) sont orthogonales. 
\item Calculer la distance EK.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $M$ un point du segment [HG].
 
On note $m$ = H$M$ ($m$ est donc un réel appartenant à [0~;~1]).

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout réel $m$ appartenant à l'intervalle [0~;~1], le volume du tétraèdre E$M$FD, en unités de volume, est égal à $\dfrac{1}{6}$. 
 
\item Montrer qu'une équation cartésienne du plan ($M$FD) est 
$(-1 + m)x + y - mz = 0$. 
\item On note $d_{m}$ la distance du point E au plan ($M$FD). 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout réel $m$ appartenant à l'intervalle [0~;~1], 
		
$d_{m} = 	\dfrac{1}{\sqrt{2m^2 - 2m + 2}}$.  
		\item Déterminer la position de $M$ sur le segment [HG] pour laquelle la distance $d_{m}$ est maximale. 
		\item En déduire que lorsque la distance $d_{m}$ est maximale, le point K est le projeté orthogonal de E sur le plan ($M$FD).
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE}

\vspace{1.5cm}

\begin{flushleft} 
\textbf{Exercice 3}
\end{flushleft} 

\vspace{1.5cm}

\textbf{\large Cette page ne sera pas à rendre avec la copie}

\vspace{2cm}

\psset{unit=3.25cm}
\begin{pspicture*}(-1,-0.5)(2.51,2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=10,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,subgridwidth=0.2pt](-1,-0.5)(2.5,2)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1,-0.5)(2.5,1.99)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](2.4,0){$x$}\uput[l](0,1.9){$y$}\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.01}{1.8}{x dup mul x ln mul}
\end{pspicture*} 
\end{center}
\end{document}