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%Tapuscrit : Denis Vergès
% Merci à Marc Incamps de Raiatea pour le sujet
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{13 juin 2014}}
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\thispagestyle{empty} 

\begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S  Polynésie 13 juin 2014~\decofourright\\}}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip
\index{géométrie dans l'espace}
Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère les points 

\[\text{A}(5~;~-5~;~2), \text{B} (-1~;~1~;~0), \text{C}(0~;~1~;~2)\quad  \text{et D}(6~;~6~;~-1).\]
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la nature du triangle BCD et calculer son aire. 
\item 
	\begin{enumerate}\index{vecteur normal}
		\item Montrer que le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix}- 2\\3\\1\end{pmatrix}$  est un vecteur normal au plan (BCD). 
		\item Déterminer une équation cartésienne du plan (BCD).\index{equation de plan@équation de plan}
	\end{enumerate}\index{equation parametrique de droite@équation paramétrique de droite} 
\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}$ orthogonale au plan (BCD) et passant par le point A. 
\item Déterminer les coordonnées du point H, intersection de la droite $\mathcal{D}$ et du plan (BCD). 
\item Déterminer le volume du tétraèdre ABCD. 

\emph{On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par la formule  $\mathcal{V} = \dfrac{1}{3}\mathcal{B} \times  h$, où $\mathcal{B}$ est  
l'aire d'une base du tétraèdre et $h$ la hauteur correspondante.} 
\item On admet que AB = $\sqrt{76}$ et AC $= \sqrt{61}$.
 
Déterminer une valeur approchée au dixième de degré près de l'angle 
$\widehat{\text{BAC}}$. 
\end{enumerate}


\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip\index{suite de naturels}
 
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par 

\[u_{0} = 0\quad  \text{et, pour tout entier naturel }\:n, u_{n+1} = u_{n} + 2n + 2.\]
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$. 
\item On considère les deux algorithmes suivants :\index{algorithme} 

\medskip

\hspace*{-1cm}
{\small
\begin{tabularx}{1.1\linewidth}{|l X|l X|}\hline
\textbf{Algorithme 1}&	&\textbf{Algorithme 2}&\\ \hline
\textbf{Variables :}& 	$n$ est un entier naturel&\textbf{Variables :}& 	$n$ est un entier naturel\\  
&$u$ est un réel &	&$u$ est un réel \\
\textbf{Entrée :}&Saisir la valeur de $n$&\textbf{Entrée :}&Saisir la valeur de $n$\\
\textbf{Traitement :}& 	$u$ prend la valeur 0&\textbf{Traitement :}& 	$u$ prend la valeur $0$\\
 &Pour $i$ allant de $1$ à $n$: && Pour $i$ allant de $0$ à $n - 1$ :\\
&\hspace{0,2cm} $u$ prend la valeur $u + 2i + 2$&&\hspace{0,2cm} $u$ prend la valeur $u + 2i + 2$\\
& Fin Pour&	&Fin Pour\\
\textbf{Sortie :}& 	Afficher $u$&\textbf{Sortie :}& 	Afficher $u$\\ \hline
\end{tabularx}}
 
\medskip
 
De ces deux algorithmes, lequel permet d'afficher en sortie la valeur de $u_{n}$, la valeur de l'entier naturel $n$ étant entrée par l'utilisateur ? 
\item À l'aide de l'algorithme, on a obtenu le tableau et le nuage de points ci-dessous où $n$ figure en abscisse et $u_{n}$ en ordonnée. 

\medskip

\parbox{0.3\linewidth}{$\begin{array}{|c|c|}\hline
n &u_{n}\\ \hline 
0& 0  \\ \hline 
1& 2  \\ \hline  
2& 6  \\ \hline  
3& 12 \\ \hline  
4& 20 \\ \hline  
5& 30 \\ \hline  
6& 42 \\ \hline  
7& 56 \\ \hline  
8& 72 \\ \hline  
9& 90 \\ \hline  
10& 110\\ \hline  
11& 132\\ \hline  
12& 156\\ \hline
\end{array}$} \hfill
\parbox{0.65\linewidth}{\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.0375cm}
\begin{pspicture}(-1,-10)(13,170)
\multido{\n=0+1}{14}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,170)}
\multido{\n=0+20}{9}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(13,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=20]{->}(0,0)(13,170)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](0,0)(1,2)(2,6)(3,12)(4,20)(5,30)  (6,42)  (7,56)  (8,72)  (9,90)  (10,110)(11,132)(12,156)
\end{pspicture}}

\medskip 

	\begin{enumerate}
		\item Quelle conjecture peut-on faire quant au sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
		 
Démontrer cette conjecture. 
		\item La forme parabolique du nuage de points amène à conjecturer l'existence de trois réels $a, b$ et $c$ tels que, pour tout entier naturel $n$,\: $u_{n} = an^2 + bn + c$.
		 
Dans le cadre de cette conjecture, trouver les valeurs de $a, b$ et $c$ à l'aide des informations fournies. 
	\end{enumerate}
\item On définit, pour tout entier naturel $n$, la suite $\left(v_{n}\right)$ par : $v_{n} = u_{n+1} - u_{n}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $v_{n}$ en fonction de l'entier naturel $n$. Quelle est la nature de la suite $\left(v_{n}\right)$ ? 
		\item On définit, pour tout entier naturel $n,\: S_{n} = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} v_{k} = v_{0} + v_{1} + \cdots + v_{n}$. 

Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\: S_{n} = (n + 1)(n + 2)$. 
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\: S_{n} = u_{n+1} - u_{0}$, puis exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité }

\medskip\index{arithmétique}

Dans cet exercice, on appelle numéro du jour de naissance le rang de ce jour dans le mois et numéro du mois de naissance, le rang du mois dans l'année.
 
Par exemple, pour une personne née le 14 mai, le numéro du jour de naissance est 14 et le numéro du mois de naissance est 5.

\bigskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Lors d'une représentation, un magicien demande aux spectateurs d'effectuer le programme de calcul (A) suivant :
 
\og Prenez le numéro de votre jour de naissance et multipliez-le par 12. Prenez le numéro de votre mois de naissance et multipliez-le par 37. Ajoutez les deux nombres obtenus. Je pourrai alors vous donner la date de votre anniversaire \fg.
 
Un spectateur annonce $308$ et en quelques secondes, le magicien déclare : \og Votre anniversaire tombe le 1\up{er} août ! \fg.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Vérifier que pour une personne née le 1\up{er} août, le programme de calcul (A) donne effectivement le nombre $308$. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Pour un spectateur donné, on note $j$ le numéro de son jour de naissance, $m$ celui de son mois de naissance et $z$ le résultat obtenu en appliquant le programme de calcul (A). 

Exprimer $z$ en fonction de $j$ et de $m$ et démontrer que $z$ et $m$ sont congrus modulo 12. 
		\item Retrouver alors la date de l'anniversaire d'un spectateur ayant obtenu le nombre $474$ en appliquant le programme de calcul (A).
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
Lors d'une autre représentation, le magicien décide de changer son programme de calcul. Pour un spectateur dont le numéro du jour de naissance est $j$ et le numéro du mois de naissance est $m$, le magicien demande de calculer le nombre $z$ défini par $z = 12j + 31m$.
 
\emph{Dans les questions suivantes, on étudie différentes méthodes permettant de retrouver la date d'anniversaire du spectateur.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Première méthode :
 
On considère l'algorithme suivant :\index{algorithme}

\begin{center}
\begin{tabular}{|l l|}\hline
\textbf{Variables :}&$j$ et $m$ sont des entiers naturels\\
\textbf{Traitement :}& Pour $m$ allant de 1 à 12 faire :\\ 
& \hspace{0.2cm}\begin{tabular}{|l}
Pour $j$ allant de 1 à 31 faire :\\
	\hspace{0.2cm}\begin{tabular}{|l}
	$z$ prend la valeur $12j + 31m$\\ 
	Afficher $z$\\
	\end{tabular}\\ 
Fin Pour\\
\end{tabular}\\ 
&Fin Pour\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
 
Modifier cet algorithme afin qu'il affiche toutes les valeurs de $j$ et de $m$ telles que $12j + 31m = 503$. 
\item Deuxième méthode :
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $7m$ et $z$ ont le même reste dans la division euclidienne par 12. 
		\item Pour $m$ variant de 1 à 12, donner le reste de la division euclidienne de $7m$ par 12. 
		\item En déduire la date de l'anniversaire d'un spectateur ayant obtenu le nombre $503$ avec le programme de calcul (B).
	\end{enumerate} 
\item Troisième méthode : 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le couple $(-2~;~17)$ est solution de l'équation $12x + 31y = 503$. 
		\item En déduire que si un couple d'entiers relatifs $(x~;~y)$ est solution de l'équation $12x + 31y = 503$, alors $12(x + 2) = 31 (17 - y)$. 
		\item Déterminer l'ensemble de tous les couples d'entiers relatifs  $(x~;~y)$, solutions de l'équation 
		
$12x + 31y = 503$. 
		\item Démontrer qu'il existe un unique couple d'entiers relatifs $(x~;~y)$ tel que $1 \leqslant y \leqslant 12$.
		 
En déduire la date d'anniversaire d'un spectateur ayant obtenu le nombre $503$ avec le programme de calcul (B).
	\end{enumerate}
	 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

\emph{Pour chacune des cinq affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse. \\
Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.}

\medskip
 
\begin{enumerate}\index{probabilités}
\item Zoé se rend à son travail à pied ou en voiture. Là où elle habite, il pleut un jour sur quatre.
 
Lorsqu'il pleut, Zoé se rend en voiture à son travail dans 80\,\% des cas.
 
Lorsqu'il ne pleut pas, elle se rend à pied à son travail avec une probabilité égale à $0,6$.
 
\textbf{Affirmation \no 1 :}
 
\og Zoé utilise la voiture un jour sur deux. \fg 
\item Dans l'ensemble $E$ des issues d'une expérience aléatoire, on considère deux évènements $A$ et $B$.
 
\textbf{Affirmation \no 2 :}
 
\og Si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $A$ et $\overline{B}$ sont aussi indépendants. \fg \index{loi exponentielle}
\item On modélise le temps d'attente, exprimé en minutes, à un guichet, par une variable aléatoire $T$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $0,7$.
 
\textbf{Affirmation \no 3 :}
 
\og La probabilité qu'un client attende au moins cinq minutes à ce guichet est $0,7$ environ. \fg
 
\textbf{Affirmation \no 4 :}
 
\og Le temps d'attente moyen à ce guichet est de sept minutes.\fg 
\item On sait que 39\,\% de la population française est du groupe sanguin A+.
 
On cherche à savoir si cette proportion est la même parmi les donneurs de sang.

On interroge $183$ donneurs de sang et parmi eux, 34\,\% sont du groupe sanguin A+.
 
\textbf{Affirmation \no 5 :}
 
\og On ne peut pas rejeter, au seuil de 5\,\%, l'hypothèse selon laquelle la proportion de personnes du groupe sanguin A+ parmi les donneurs de sang est de 39\,\% comme dans l'ensemble de la population. \fg 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip
Soient $f$ et $g$ les fonctions définies sur $\R$ par 

\[f(x) = \text{e}^x \quad  \text{et} \quad  g(x) = 2\text{e}^{\frac{x}{2}} - 1.\]
 
On note $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ dans un repère orthogonal.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que les courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ ont un point commun d'abscisse $0$ et qu'en ce point, elles ont la même tangente 
$\Delta$ dont on déterminera une équation. 
\item Étude de la position relative de la courbe $\mathcal{C}_{g}$ et de la droite $\Delta$
 
Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x) = 2\text{e}^{\frac{x}{2}} - x - 2$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la fonction $h$ en $- \infty$. 
		\item Justifier que, pour tout réel $x \ne 0,\: h(x) = x\left(\dfrac{\text{e}^{\frac{x}{2}}}{\frac{x}{2}} - 1 - \dfrac{2}{x}\right)$. 

En déduire la limite de la fonction $h$ en $+ \infty$. 
		\item On note $h'$ la fonction dérivée de la fonction $h$ sur $\R$.
		 
Pour tout réel $x$, calculer $h'(x)$ et étudier le signe de $h'(x)$ suivant les valeurs de $x$.
\index{variations de fonctions} 
		\item Dresser le tableau de variations de la fonction $h$ sur $\R$. 
		\item En déduire que, pour tout réel $x,\:\: 2\text{e}^{\frac{x}{2}} - 1 \geqslant x + 1$. 
		\item Que peut-on en déduire quant à la position relative de la courbe $\mathcal{C}_{g}$ et de la droite $\Delta$ ?
	\end{enumerate} 
\item Étude de la position relative des courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ 
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout réel $x$, développer l'expression $\left(\text{e}^{\frac{x}{2}} - 1\right)^2$. 
		\item Déterminer la position relative des courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$.
	\end{enumerate}\index{position relative de deux courbes} 
\item Calculer, en unité d'aire, l'aire du domaine compris entre les courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ et les droites d'équations respectives $x = 0$ et $x = 1$.
\end{enumerate}
\end{document}