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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdfsubject = {Baccalauréat S},
pdftitle = {Polynésie juin  2013},
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S }
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{7 juin 2013}}
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\thispagestyle{empty} 

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S  Polynésie~\decofourright\\[4pt]7 juin 2013}}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par 

\[f(x) = (x + 2)\text{e}^{-x}.\]\index{fonction exponentielle} 

 On note $\mathscr C$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étude de la fonction $f$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées des points d'intersection de la courbe $\mathscr C$ avec les axes du repère.
		\item Étudier les limites de la fonction $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$. En déduire les éventuelles asymptotes de la courbe $\mathscr C$.
		\item Étudier les variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.
	\end{enumerate}
\item Calcul d'une valeur approchée de l'aire sous une courbe.

On note $\mathscr D$ le domaine compris entre l'axe des abscisses, la courbe $\mathscr C$ et les droites d'équation $x=0$ et $x=1$. On approche l'aire du domaine $\mathscr D$ en calculant une somme d'aires de rectangles.
	\begin{enumerate}
		\item Dans cette question, on découpe l'intervalle $[0~;~1]$ en quatre intervalles de même longueur :
    \begin{itemize}
    \item[$\bullet$] Sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{1}{4} \right]$, on construit un rectangle de hauteur $f(0)$
    \item[$\bullet$] Sur l'intervalle $\left[\dfrac{1}{4}~;~\dfrac{1}{2} \right]$, on construit un rectangle de hauteur $f\left( \dfrac{1}{4} \right)$
    \item[$\bullet$] Sur l'intervalle $\left[\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{3}{4} \right]$, on construit un rectangle de hauteur $f\left(\dfrac{1}{2} \right)$
    \item[$\bullet$] Sur l'intervalle $\left[ \dfrac{3}{4}~;~1 \right]$, on construit un rectangle de hauteur $f\left( \dfrac{3}{4} \right)$
    \end{itemize}
 Cette construction est illustrée ci-dessous.
\begin{center}
\psset{xunit=6cm,yunit=3cm}
\begin{pspicture}(-0.1,-0.2)(1.2,2.2)
\psframe*[linecolor=yellow](0,0)(0.25,2)
\psframe*[linecolor=yellow](0.25,0)(0.5,1.7523)
\psframe*[linecolor=yellow](0.50,0)(0.75,1.5163)
\psframe*[linecolor=yellow](0.75,0)(1,1.299)
\uput[d](0.125,1.85){\blue $\mathscr{C}$}
\psframe(0,0)(0.25,2)
\psframe(0.25,0)(0.5,1.7523)
\psframe(0.50,0)(0.75,1.5163)
\psframe(0.75,0)(1,1.299)
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=8000]{0}{1}{x 2 add 2.71828 x exp div}
\psaxes[linewidth=1pt]{->}(0,0)(-0.1,-0.2)(1.2,2.2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){O}    
\end{pspicture}    
%\begin{asy}
%import graph;
%usepackage("mathrsfs");
%unitsize(6cm, 3cm);
%
%real f(real x) {return (x+2)*exp(-x);}
%path cf=graph(f, 0,1);
%
%for(int i=0; i<4; ++i) {
%  real x=0.25*i;
%  path p=(x, 0)--(x+.25, 0)--( x+.25, f(x))--(x, f(x))--cycle;
%  filldraw(p, lightyellow, black);
%}
%
%draw(cf, linewidth(1pt));
%xaxis(-.1, 1.1, Ticks(NoZero, Step=1, step=0), Arrow);
%yaxis(-.1, 2.1, Ticks(NoZero, Step=1, step=0), Arrow);
%label("$O$", (0,0), SW);
%label("$\mathscr C$", (.2, f(.2)), SW);
%\end{asy}
      % \includegraphics{BacS-Polynesie-2013-aire}
      
    \end{center}
L'algorithme\index{algorithme} ci-dessous permet d'obtenir une valeur approchée de l'aire du domaine $\mathscr D$ en ajoutant les aires des quatre rectangles précédents :
    \begin{center}
      \begin{tabular}{|rl|}
        \hline
        Variables : & $k$ est un nombre entier \\
        & $S$ est un nombre réel \\
        Initialisation : & Affecter à $S$ la valeur 0 \\
        Traitement : & Pour $k$ variant de 0 à 3 \\
        & $\phantom{a}\left\vert \text{ Affecter à } S \text{ la valeur } S+\dfrac{1}{4} f\left( \dfrac{k}{4} \right)\right.$ \\
        & Fin Pour \\
        Sortie : & Afficher $S$ \\
        \hline
      \end{tabular}
    \end{center}
    Donner une valeur approchée à $10^{-3}$ près du résultat affiché par cet algorithme.
  		\item Dans cette question, $N$ est un nombre entier strictement supérieur à 1. On découpe l'intervalle $[0~;~1]$ en $N$ intervalles de même longueur. Sur chacun de ces intervalles, on construit un rectangle en procédant de la même manière qu'à la question 2.a.

Modifier l'algorithme précédent afin qu'il affiche en sortie la somme des aires des $N$ rectangles ainsi construits.
	\end{enumerate}
\item Calcul de la valeur exacte de l'aire sous une courbe.

Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par 
  
\[g(x)=(- x - 3) \text{e}^{-x}.\]\index{fonction exponentielle} 
  
On admet que $g$ est une primitive de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.\index{primitive}
	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'aire $\mathscr A$ du domaine $\mathscr D$, exprimée en unités d'aire.
		\item Donner une valeur approchée à $10^{-3}$ près de l'erreur commise en remplaçant $\mathscr A$ par la valeur approchée trouvée au moyen de l'algorithme de la question 2. a, c'est-à-dire l'écart entre ces deux valeurs.\hyperlink{Index}{*}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 : \hfill 4 points} 

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n'est demandée. Pour chacune des questions, une seule des quatre propositions est exacte. Chaque réponse correcte rapporte $1$ point. Une réponse erronée ou une absence de réponse n'ôte pas de point. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $z_1 = \sqrt{6} \text{e}^{\text{i} \frac{\pi}{4}}$ et $z_2 = \sqrt{2} \text{e}^{-\text{i} \frac{\pi}{3}}$. La forme exponentielle de $\text{i} \dfrac{z_1}{z_2}$ est :

\begin{tabularx}{1.0\linewidth}{XXXX}
\textbf{a.~~} $\sqrt{3}\text{e}^{\text{i} \frac{19\pi}{12}}$ & 
\textbf{b.~~} $\sqrt{12} \text{e}^{-\text{i} \frac{\pi}{12}}$ & 
\textbf{c.~~} $\sqrt{3}\text{e}^{\text{i} \frac{7\pi}{12}}$ & 
\textbf{d.~~} $\sqrt{3}\text{e}^{\text{i} \frac{13\pi}{12}}$
\end{tabularx}

\item L'équation $- z = \overline z$, d'inconnue complexe $z$, admet :
	\begin{enumerate}
		\item une solution
		\item deux solutions
		\item une infinité de solutions dont les points images dans le plan complexe sont situés sur une droite.
		\item une infinité de solutions dont les points images dans le plan complexe sont situés sur un cercle.
	\end{enumerate}
\item Dans un repère de l'espace, on considère les trois points $A(1~;~2~;~3)$, $B(-1~;~5~;~4)$ et $C(-1~;~0~;~4)$. La droite parallèle à la droite $(AB)$ passant par le point $C$ a pour représentation paramétrique :

\begin{tabularx}{1.0\linewidth}{XX}
\textbf{a.~~} $\begin{cases}
      x = -2t-1 \\ y=\phantom{-}3t \\ z = \phantom{-}t+4
    \end{cases}, t\in \mathbb{R}$ & 
\textbf{b.~~} $\begin{cases}
      x =\phantom{7t} - 1 \\ y = 7t \\ z = 7t+4
    \end{cases}, t \in \mathbb{R}$ \\
\textbf{c.~~} $\begin{cases}
      x = - 1 - 2t \\ y = \phantom{-}5+3t \\ z = \phantom{-}4+t
    \end{cases}, t \in \mathbb{R}$ &
\textbf{d.~~} $\begin{cases}
      x = \phantom{-}2t \\ y = - 3t \\ z = -\phantom{2} t
    \end{cases}, t \in \mathbb{R}$
\end{tabularx}

\item Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère le plan $\mathscr P$ passant par le point $D(-1~;~2~;~3)$ et de vecteur normal $\vect{n}(3~;~-5~;~1)$, et la droite $\Delta$ de représentation paramétrique $\begin{cases}
x = t - 7 \\ y = t + 3 \\ z = 2t + 5
  \end{cases}, t \in \mathbb{R}$.\index{equation paramétrique@équation paramétrique}
  	\begin{enumerate}
  		\item La droite $\Delta$ est perpendiculaire au plan $\mathscr P$.
  		\item La droite $\Delta$ est parallèle au plan $\mathscr P$ et n'a pas de point commun avec le plan $\mathscr P$.
  		\item La droite $\Delta$ et le plan $\mathscr P$ sont sécants.
  		\item La droite $\Delta$ est incluse dans le plan $\mathscr P$.\hyperlink{Index}{*}
  	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Exercice 3 : \hfill 5 points} 

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Les $3$ parties peuvent être traitées de façon indépendante.}

\medskip

Thomas possède un lecteur MP3 sur lequel il a stocké plusieurs milliers de morceaux musicaux.

L'ensemble des morceaux musicaux qu'il possède se divise en trois genres distincts selon la répartition suivante :
\begin{center}
30~\% de musique classique, 45~\% de variété, le reste étant du jazz.
\end{center}

Thomas a utilisé deux qualités d'encodage pour stocker ses morceaux musicaux : un encodage de haute qualité et un encodage standard. On sait que : 
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] les $\dfrac{5}{6}$ des morceaux de musique classique sont encodés en haute qualité.
\item[$\bullet$] les $\dfrac{5}{9}$ des morceaux de variété sont encodés en qualité standard.
\end{itemize}

\medskip

On considérera les évènements suivants :

\begin{description}
\item[$C$ :] \og Le morceau écouté est un morceau de musique classique \fg{} ;
\item[$V$ :] \og Le morceau écouté est un morceau de variété \fg{} ;
\item[$J$ :] \og Le morceau écouté est un morceau de jazz \fg{} ;
\item[$H$ :] \og Le morceau écouté est encodé en haute qualité \fg{} ;
\item[$S$ :] \og Le morceau écouté est encodé en qualité standard \fg.
\end{description}

\medskip

\textbf{Partie 1}

\medskip

Thomas décide d'écouter un morceau au hasard parmi tous les morceaux stockés sur son MP3 en utilisant la fonction \og lecture aléatoire \fg{}.

\emph{On pourra s'aider d'un arbre de probabilités\index{arbre de probabilités}.}

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité qu'il s'agisse d'un morceau de musique classique encodé en haute qualité ?
\item On sait que $P(H)=\dfrac{13}{20}$.
	\begin{enumerate}
		\item Les évènements $C$ et $H$ sont-ils indépendants ?
		\item Calculer $P(J \cap H)$ et $P_J(H)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie 2}

\medskip

Pendant un long trajet en train, Thomas écoute, en utilisant la fonction \og lecture aléatoire \fg{} de son MP3, 60 morceaux de musique.

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 95~\% de la proportion de morceaux de musique classique dans un échantillon de taille 60.
\item Thomas a comptabilisé qu'il avait écouté 12 morceaux de musique classique pendant son voyage. Peut-on penser que la fonction \og lecture aléatoire \fg{} du lecteur MP3 de Thomas est défectueuse ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie 3}

\medskip

On considère la variable aléatoire $X$ qui, à chaque chanson stocké sur le lecteur MP3, associe sa durée exprimée en secondes et on établit que $X$ suit la loi normale\index{loi normale} d'espérance $200$ et d'écart-type $20$.

\medskip

\emph{On pourra utiliser le tableau fourni en annexe dans lequel les valeurs sont arrondies au millième le plus proche.}

\medskip

On écoute un morceau musical au hasard.
\begin{enumerate}
\item Donner une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $P(180 \leqslant X \leqslant 220)$.
\item Donner une valeur approchée à $10^{-3}$ près de la probabilité\index{probabilité} que le morceau écouté dure plus de 4 minutes.\hyperlink{Index}{*}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Exercice 4 :  \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité mathématiques}

\medskip

On considère la suite\index{suite} $(u_n)$ définie par $u_0=\dfrac{1}{2}$ et telle que pour tout entier naturel~$n$, 

\[u_{n+1} = \dfrac{3u_n}{1+2u_n}\]

\begin{enumerate}
\item
  	\begin{enumerate}
  		\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
  		\item Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, $0 < u_n$.
  	\end{enumerate}
\item On admet que pour tout entier naturel $n$, $u_n<1$.
  	\begin{enumerate}
  		\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
  		\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ converge.
  	\end{enumerate}
\item Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = \dfrac{u_n}{1 - u_n}$.
  	\begin{enumerate}
  		\item Montrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison 3.
  		\item Exprimer pour tout entier naturel $n$, $v_n$ en fonction de $n$.
  		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = \dfrac{3^n}{3^n+1}$.
  		\item Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
  	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Exercice 4 :  \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité mathématiques}

\medskip

Un opérateur téléphonique A souhaite prévoir l'évolution de nombre de ses abonnés dans une grande ville par rapport à son principal concurrent B à partir de 2013.

En 2013, les opérateurs A et B ont chacun $300$ milliers d'abonnés.

\medskip

Pour tout entier naturel $n$, on note $a_n$ le nombre d'abonnés, en milliers, de l'opérateur A la $n$-ième année après 2013, et $b_n$ le nombre d'abonnés, en milliers, de l'opérateur B la $n$-ième année après 2013.

Ainsi, $a_0 = 300$ et $b_0 = 300$.

\medskip

Des observations réalisées les années précédentes conduisent à modéliser la situation par la relation suivante :

pour tout entier naturel $n$, 
$\begin{cases}
a_{n+1} = 0,7a_n + 0,2b_n + 60 \\
b_{n+1} = 0,1a_n + 0,6b_n + 70
\end{cases}$.

\medskip

On considère les matrices\index{matrice} $M = 
\begin{pmatrix}
  0,7 & 0,2 \\ 0,1 & 0,6
\end{pmatrix}$ et $P =
\begin{pmatrix}
  60 \\ 70
\end{pmatrix}$.

Pour tout entier naturel $n$, on note $U_n =
\begin{pmatrix}
  a_n \\ b_n
\end{pmatrix}$.

\begin{enumerate}
\item
  	\begin{enumerate}
  		\item Déterminer $U_1$.
  		\item Vérifier que, pour tout entier naturel $n$, $U_{n+1} = M \times U_n +P$.
  	\end{enumerate}
\item On note $I$ la matrice $
  	\begin{pmatrix}
    1 & 0 \\ 0 & 1
  	\end{pmatrix}$.
  	\begin{enumerate}
  		\item Calculer $(I - M)\times
\begin{pmatrix}
4 & 2 \\ 1 & 3
\end{pmatrix}$.
  		\item En déduire que la matrice $I - M$ est inversible et préciser son inverse.
  		\item Déterminer la matrice $U$ telle que $U = M \times U + P$.
  	\end{enumerate}
\item Pour tout entier naturel, on pose $V_n = U_n - U$.
  	\begin{enumerate}
  		\item Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $V_{n+1} = M \times V_n$.
  		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $V_n = M^n \times V_0$.
  	\end{enumerate}
\item On admet que, pour tout entier naturel $n$, 

\renewcommand\arraystretch{1.8}
\[V_n =  \begin{pmatrix}
    \dfrac{-100}{3}\times 0,8^n - \dfrac{140}{3} \times 0,5^n \\
    \dfrac{-50}{3} \times 0,8^n + \dfrac{140}{3} \times 0,5^n 
  \end{pmatrix}\]
\renewcommand\arraystretch{1}

  	\begin{enumerate}
  		\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $U_n$ en fonction de $n$ et en déduire la limite de la suite\index{suite} $(a_n)$.
  		\item Estimer le nombre d'abonnés de l'opérateur A à long terme.\hyperlink{Index}{*}
  	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
  \bfseries \Large ANNEXE de l'exercice 3
\end{center}

$X$ est une variable aléatoire normale d'espérance 200 et d'écart-type 20.

\begin{center}
  \begin{tabularx}{.4\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$b$ & $P(X \leqslant b)$ \\\hline
140 & 0,001 \\\hline 
150 & 0,006 \\\hline
160 & 0,023 \\\hline
170 & 0,067 \\\hline
180 & 0,159 \\\hline
190 & 0,309 \\\hline
200 & 0,500 \\\hline
210 & 0,691 \\\hline
220 & 0,841 \\\hline
230 & 0,933 \\\hline
240 & 0,977 \\\hline
250 & 0,994 \\\hline
260 & 0,999 \\\hline
  \end{tabularx}
\end{center}
\end{document}