%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{diagbox} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat S}, pdftitle = {Polynésie juin 2006}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat S} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{juin 2006}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Polynésie juin 2006~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 5 points} \medskip Le plan complexe est muni du repère orthonormal direct \Ouv{} ; unité graphique 2~cm. On appelle A et B les points du plan d'affixes respectives $a = 1$ et $b= - 1$. On considère l'application $f$ qui, à tout point $M$ différent du point B, d'affixe $z$, fait correspondre le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par \[z' = \dfrac{z - 1}{z + 1}\] \emph{On fera une figure qui sera complétée tout au long de cet exercice.} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer les points invariants de $f$ c'est-à-dire les points $M$ tels que $M = f(M)$. \item \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout nombre complexe $z$ différent de $-1$, $\left(z'- 1\right) (z + 1) = - 2$. \item En déduire une relation entre $\left|z' - 1\right|$ et $|z + 1|$ , puis entre arg $(z' - 1)$ et arg~$(z + 1)$, pour tout nombre complexe $z$ différent de $-1$. Traduire ces deux relations en termes de distances et d'angles. \end{enumerate} \item Montrer que si $M$ appartient au cercle (C) de centre B et de rayon 2, alors $M'$ appartient au cercle (C$'$) de centre A et de rayon 1. \item Soit le point P d'affixe $p =-2 + \text{i}\sqrt{3}$. \begin{enumerate} \item Déterminer la forme exponentielle de $(p + 1)$. \item Montrer que le point P appartient au cercle (C). \item Soit $Q$ le point d'affixe $q = - \overline{p}$ où $\overline{p}$ est le conjugué de $p$. Montrer que les points A, P$'$ et Q sont alignés. \item En utilisant les questions précédentes, proposer une construction de l'image P$'$ du point P par l'application $f$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} \medskip Pour chacune des cinq propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point. \bigskip Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal \Oijk, on donne les points A(0~;~0~;~2) B(0~;~4~;~0) et C(2~;~0~;~0). On désigne par I le milieu du segment [BC], par G l'isobarycentre des points A, B et C, et par H le projeté orthogonal du point O sur le plan (ABC). \textbf{Proposition 1 :} \og l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que $\vect{\text{A}M} \cdot\: \vect{\text{BC}} = 0$ est le plan (AIO) \fg{}. \smallskip \textbf{Proposition 2 :} \og l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que $\left\|\vect{M\text{B}} + \vect{M\text{C}}\right\| = \left\|\vect{M\text{B}} - \vect{M\text{C}}\right\|$ est la sphère de diamètre [BC] \fg{}. \smallskip \textbf{Proposition 3 :} \og le volume du tétraèdre OABC est égal à 4 \fg{}. \smallskip \textbf{Proposition 4 :}\textbf{} \og le plan (ABC) a pour équation cartésienne $2x + y + 2z = 4$ et le point H a pour coordonnées $\left(\dfrac{8}{9}~;~\dfrac{4}{9}~;~\dfrac{8}{9} \right)$. \smallskip \textbf{Proposition 5 :} \og la droite (AG) admet pour représentation paramétrique\\ $\left\{ \begin{array}{l c r} x&=&t\\ y& =& 2t\\ z&=&2-2t \\ \end{array}\right. \quad (t \in \R)$ \fg{}. \bigskip \textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Pour chacune des cinq propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point. \medskip \textbf{Proposition 1 :} \og pour tout entier naturel $n$, 3 divise le nombre $2^{2n} - 1$ \fg{}. \medskip \textbf{Proposition 2 :} \og Si un entier relatif $x$ est solution de l'équation $x^2+x \equiv 0\quad (\text{modulo}~ 6)$ alors $x \equiv 0 \quad (\text{modulo}~ 3)$ \fg{}. \medskip \textbf{Proposition 3 :} \og l'ensemble des couples d'entiers relatifs $(x~;~ y)$ solutions de l'équation $12x - 5y = 3$ est l'ensemble des couples $(4+10k~;~ 9+24k)$ où $k \in \Z$ \fg{}. \medskip \textbf{Proposition 4 :} \og il existe un seul couple $(a~;~b)$ de nombres entiers naturels, tel que $a < b$ et PPCM$(a,~b) - \text{PGCD}(a,~b) = 1$ \fg{}. \medskip Deux entiers naturels $M$ et $N$ sont tels que $M$ a pour écriture $abc$ en base dix et $N$ a pour écriture $bca$ en base dix. \medskip \textbf{Proposition 5 :} \og Si l'entier $M$ est divisible par 27 alors l'entier $M -N$ est aussi divisible par 27 \fg{}. \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 3 \hfill 4 points} \medskip On a posé à \np{1000} personnes la question suivante : \og Combien de fois êtes-vous arrivé en retard au travail au cours des deux derniers mois ? \fg. Les réponses ont été regroupées dans le tableau suivant : \medskip \begin{center} \begin{tabular}{|*{5}{c|}}\hline \diagbox{Retards le 2\up{e}mois}{Retards le 1\up{er} mois} &0& 1 & 2 ou plus &Total \\ \hline 0 & 262 & 212 &73 &547 \\ \hline 1 & 250 & 73 &23 &346 \\ \hline 2 ou plus & 60 & 33 &14 &107 \\ \hline Total & 572 & 318 &110&\np{1000} \\ \hline \end{tabular}\end{center} \medskip \begin{enumerate} \item On choisit au hasard un individu de cette population. \begin{enumerate} \item Déterminer la probabilité que l'individu ait eu au moins un retard le premier mois, \item Déterminer la probabilité que l'individu ait eu au moins un retard le deuxième mois sachant qu'il n'en a pas eu le premier mois. \end{enumerate} \item On souhaite faire une étude de l'évolution du nombre de retards sur un grand nombre $n$ de mois ($n$ entier naturel non nul). On fait les hypothèses suivantes : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item si l'individu n'a pas eu de retard le mois $n$, la probabilité de ne pas en avoir le mois $n + 1$ est 0,46. \item si l'individu a eu exactement un retard le mois $n$, la probabilité de ne pas en avoir le mois $n + 1$ est 0,66. \item si l'individu a eu deux retards ou plus le mois $n$, la probabilité de ne pas en avoir le mois $n + 1$ est encore 0,66. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On note $A_{n}$, l'évènement \og l'individu n'a eu aucun retard le mois $n$, $B_{n}$, l'évènement \og l'individu a eu exactement un retard le mois $n$ \fg{}, $C_{n}$, l'évènement \og l'individu a eu deux retards ou plus le mois $n$\fg. Les probabilités des évènements $A_{n},~ B_{n},~C_{n}$ sont notées respectivement $p_{n},~q_{n}$ et $r_{n}$. \begin{enumerate} \item Pour le premier mois $(n = 1)$, les probabilités $p_{1},~ q_{1}$ et $r_{1}$ sont obtenues à l'aide du tableau précédent. Déterminer les probabilités $p_{1},q_{1}$ et $r_{1}$. \item Exprimer $p_{n+1}$ en fonction de $p_{n},~q_{n}$, et $r_{n}$. On pourra s'aider d'un arbre. \item Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $p_{n+1} = - 0,2 p_{n} + 0,66$. \item Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par $u_{n} = p_{n} - 0,55$. Démontrer que $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on donnera la raison. \item Déterminer $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_{n}$. En déduire $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} p_{n}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 4 \hfill 6 points} \bigskip \textbf{Partie A} On donne le tableau de variations d'une fonction $f$ dérivable sur $\R$ : \medskip \begin{center} \begin{pspicture}(11,3) \psframe(11,3) \psline(0,2)(11,2) \psline(1,0)(1,3) \uput[u](0.5,2){$x$} \uput[u](1.3,2){$-\infty$} \uput[u](4,2){$0$} \uput[u](7,2){2} \uput[u](10.5,2){$+\infty$} \uput[u](0.5,0.7){$f$} \uput[d](1.3,2){$+ \infty$} \uput[u](4,0){0} \uput[d](7,2){$4\text{e}^{-2}$} \uput[u](10.8,0){0} \psline{->}(1.6,1.6)(3.7,0.3) \psline{->}(4.7,0.3)(6.6,1.6) \psline{->}(7.5,1.6)(10.5,0.3) \end{pspicture} \end{center} On définit la fonction $F$ sur $\R$ par \[F(x) = \displaystyle\int_{2} ^x f(t)\:\text{d}t.\] \begin{enumerate} \item Déterminer les variations de la fonction $F$ sur $\R$. \item Montrer que $0 \leqslant F(3) \leqslant 4\text{e}^{-2}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip La fonction $f$ considérée dans la partie A est la fonction définie sur $\R$ par \[f(x) = x^2\text{e}^{-x}.\] On appelle $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = \text{e}^{-x}$. On désigne par $(\mathcal{C})$ et ($\Gamma$) les courbes représentant respectivement les fonctions $f$ et $g$ dans un repère orthogonal \Oij. Les courbes sont tracées en annexe. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que les variations de la fonction $f$ sont bien celles données dans la partie A. On ne demande pas de justifier les limites. \item Étudier les positions relatives des courbes $(\mathcal{C})$ et ($\Gamma$). \end{enumerate} \item Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x) = \left(x^2 - 1\right)\text{e}^{-x}$. \begin{enumerate} \item Montrer que la fonction $H$ définie sur $\R$ par $H(x) = \left(- x^2 - 2x - 1\right)\text{e}^{-x}$ est une primitive de la fonction $h$ sur $\R$. \item Soit un réel $\alpha$ supérieur ou égal à 1. On considère la partie du plan limitée par les courbes $(\mathcal{C})$ et ($\Gamma$) et les droites d'équations $x=1$ et $x = \alpha$. Déterminer l'aire $\mathcal{A}(a)$, exprimée en unité d'aire, de cette partie du plan. \item Déterminer la limite de $\mathcal{A}(a)$ lorsque $a$ tend vers $+ \infty$. \end{enumerate} \item On admet que, pour tout réel $m$ strictement supérieur à $4\text{e}^{-2}$, la droite d'équation $y = m$ coupe la courbe $(\mathcal{C})$ au point $P\left(x_{P}~;~ m\right)$ et la courbe ($\Gamma$) au point $Q\left(x_{Q}~;~m\right)$. \medskip L'objectif de cette question est de montrer qu'il existe une seule valeur de $x_{P}$, appartenant à l'intervalle $]- \infty~;~- 1]$ telle que la distance $PQ$ soit égale à 1. \begin{enumerate} \item Faire apparaître approximativement sur le graphique (proposé en annexe) les points $P$ et $Q$ tels que $x_{P} \in ]- \infty~;~- 1]$ et $PQ = 1$. \item Exprimer la distance $PQ$ en fonction de $x_{P}$ et de $x_{Q}$.\\ Justifier l'égalité $f\left(x_{P}\right) = g\left(x_{Q}\right)$. \item Déterminer la valeur de $x_{P}$ telle que $PQ = 1$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{Annexe} \bigskip \emph{Cette page sera complétée et remise avec la copie à la fin de l'épreuve} \bigskip \textbf{Exercice 4} \bigskip \psset{xunit=1.4cm,arrowsize=2pt 4} \begin{pspicture}(-3,-1)(5,16) \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,griddots=10,gridwidth=1.2pt](-3,-1)(5,16) \psaxes[linewidth=1pt,Dy=2](0,0)(-3,-1)(5,16) \psaxes[linewidth=1pt,Dy=2](0,0)(0,0)(5,16) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.705}{5}{x 2 exp 2.71828 x exp div} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-2.77}{5}{1 2.71828 x exp div} \end{pspicture} \end{center} \end{document}