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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Polynésie juin 1997~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip% Proba 

\emph{Les questions $1, 2$ et $3$ sont indépendantes.\\
Tous les résultats de calcul de probabilité seront donnés sous forme d'une fraction irréductible.}

\medskip

Une classe de terminale S d'un lycée compte $30$ élèves dont $10$ filles.

\medskip

\begin{enumerate}
\item À chaque séance du cours de mathématiques, le professeur interroge au hasard trois élèves. 

Déterminer la probabilité de chacun des évènements suivants :

$A$ : \og Exactement deux des trois élèves interrogés sont des garçons \fg

$B$ : \og Les trois élèves interrogés sont de même sexe \fg

$C$ : \og Il y a au plus une fille parmi les trois élèves interrogés. \fg
\item  Parmi les 19 internes de la classe, on compte 4 filles. 

On choisit au hasard dans cette classe deux délégués de sexes différents. 

Déterminer la probabilité de chacun des évènements suivants :

$D$ : \og Les deux délégués sont internes \fg

$E$ : \og Un seul de deux délégués est interne \fg.
\item À la fin de chaque séance le professeur désigne au hasard un élève qui effacera le
tableau. Un même élève peut être désigné plusieurs fois.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la probabilité $p_{n}$ pour que le tableau soit effacé au moins une fois par une fille à l'issue de $n$ séances.
		\item Déterminer le nombre minimal de séances pour que $p_{n} > \np{0,9999}$.
	\end{enumerate}
 \end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct \Ouv, on considère les points $M_{n}$ d'affixes 

\[z_{n} = \left(\dfrac{1}{2}\text{i} \right)^n \left(1 + \text{i}\sqrt{3} \right)\]
 où $n$ est un entier naturel.
 
 \medskip
 
\begin{enumerate}
\item Exprimer $z_{n+1}$ en fonction de $z_{n}$ puis $z_{n}$ en fonction de $z_{0}$ et $n$.

Donner $z_{0}, z_{1}, z_{2}, z_{3}$ et $z_{4}$ sous forme algébrique et sous forme trigonométrique.
\item Placer les points $M_{0}, M_{1}, M_{2}, M_{3}$ et $M_{4}$ (unité graphique : 4~cm).
\item Déterminer la distance O$M_{n}$ en fonction de $n$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'on a $M_{n}M_{n+1} = \dfrac{\sqrt{5}}{2^n}$ pour tout $n$ entier naturel.
		\item On pose $L_{n} = \displaystyle\sum_{k=0}^{k=n} M_{k}M_{k+1}$
(c'est-à-dire $L_{n} = M_{0}M_{1} + M_{1}M_{2} + \cdots  + M_{n}M_{n+1}$). 
		
Déterminer $L_{n}$ en fonction de $n$ puis la limite de $L_{n}$ quand $n$ tend vers $+ \infty$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer une mesure de l'angle $\left(\vect{\text{O}M_{0}},~\vect{\text{O}M_{n}}\right)$ en fonction de $n$.
	
Pour quelles valeurs de $n$ les points O, $M_{0}$ et $M_{n}$; sont-ils alignés ?
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

On considère dans un plan (P) un triangle équilatéral ABC de côté $a$ ($a$ est un réel strictement positif).

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Construire le barycentre D du système $\{(\text{A}~;~2), (\text{B}~;~- 2), 
(\text{C}~;~- 1)\}$. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $\vect{\text{BA}} \cdot \vect{\text{BC}}$ en fonction de $a$.
		\item Montrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles et que le triangle BCD est rectangle en B.
	\end{enumerate} 
\item Calculer les distances CD, BD et AD en fonction de $a$.
\item Pour tout point $M$ du plan, on pose $f(M) = 2 M\text{A}^2 - 2 M\text{B}^2 - M\text{C}^2$ et on désigne par (F) l'ensemble des points $M$ du plan tels que $f(M) = 0$. 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que C appartient à (F).
		\item Exprimer $f(M)$ en fonction de la distance $M$D et de $a$.
		\item Déterminer et construire (F).
	\end{enumerate} 
\item Pour tout point $M$ du plan, on pose 
$g(M) = 2 \vect{M\text{C}} \cdot \vect{\text{DB}} + a^2$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ensemble (G) des points $M$ du plan tels que $g(M) = a^2$. 
		\item Soit I le point d'intersection autre que C des ensembles (F) et (G).
		 
Montrer que le triangle CDI est équilatéral.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
\[f\left(  x\right)  = x - 1+\left(  x^{2}+2\right) \text{e}^{-x}%
\]

On note $\left(\mathcal{C}\right) $ la courbe représentative de $f$
dans un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique 2~cm).

\medskip

\textbf{Partie I : Étude d'une fonction auxiliaire.}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
\[
g\left(  x\right)  = 1 - \left(  x^{2}-2x + 2\right)\text{e}^{-x}%
\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Etudier les limites de $g$ en $-\infty$ et en $+\infty.$
\item  Calculer la dérivée de $g$ et déterminer son signe.
\item  En déduire le tableau de variation de $g.$
\item  Démontrer que l'équation $g\left(x\right)  = 0$ admet une
unique solution $\alpha$ dans $\mathbb{R}$ puis justifier que

\[0,35\leqslant\alpha\leqslant0,36.\]

\item  En déduire le signe de $g.$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie II : Étude de }$f$

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Etudier les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty.$
\item  Déterminer $f^{\prime}\left(x\right)  $ pour tout $x$ réel.
\item  En déduire, à l'aide de la partie I, les variations de $f$ et
donner son tableau de variation.
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que :
\[
f\left(\alpha\right)  =\alpha\left(1 + 2\text{e}^{-\alpha}\right)
\]

		\item  À l'aide de l'encadrement de $\alpha$ déterminer un encadrement de
$f\left(\alpha\right)  $ d'amplitude $4 \times 10^{-2}.$
	\end{enumerate}
\item  Démontrer que la droite $\Delta$ d'équation $y=x-1$ est
asymptote à $\left(\mathcal{C}\right)  $ en $+\infty.$ Préciser la
position de $\left(\mathcal{C}\right)  $ par rapport à $\Delta.$
\item  Donner une équation de la tangente $T$ à $\left(\mathcal{C}\right)  $ au point d'abscisse $0.$
\item  Tracer $\Delta$,  $T$ puis $\left(\mathcal{C}\right)  .$
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer les réels $a,$ $b$ et $c$ tels que la fonction $P$
définie sur $\mathbb{R}$ par
\[
P\left(x\right)  = \left(ax^{2} + bx + c \right)\text{e}^{-x}%
\]
soit une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $x\mapsto\left(x^{2}+2\right)\text{e}^{-x}.$
		\item  Calculer en fonction de $\alpha$ l'aire $\mathcal{A}$ en cm$^{2}$ de la
partie du plan limitée par $\left(\mathcal{C}\right)$,  $\Delta$ et les
droites d'équations $x = -\alpha$ et $x = 0.$
		\item  Justifier que :
\[
\mathcal{A} = 4 \text{e}^{2\alpha}+8e^{\alpha} - 16
\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie III : Étude d'une suite}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Démontrer que pour tout $x$ de [1~;~2] :

\[1 \leqslant f\left(x\right)  \leqslant2\]

\item  Démontrer que pour tout $x$ de $\left[1~;~2\right]  $ :

\[0\leqslant f^{\prime}\left(x\right)  \leqslant\frac{3}{4}\]

\item  En utilisant le sens de variation de la fonction $h$ définie sur
[1~;~2] par :

\[h\left(x\right)  = f\left(x\right)  - x\]

démontrer que l'équation $f\left(x\right)  = x$ admet une solution
unique $\beta$ dans $\left[1~;~2\right].$

\item  Soit $\left(u_{n}\right)  $ la suite numérique définie par
$u_{0}=1$ et pour tout entier naturel $n,$

\[u_{n+1} =  f\left(u_{n}\right)\]

	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que pour tout entier naturel $n,$

\[1 \leqslant u_{n} \leqslant 2\]

		\item  Démontrer que pour tout entier naturel $n,$

\[\left|  u_{n+1}- \beta \right|  \leqslant \frac{3}{4}\left|  u_{n}- \beta \right|\]

		\item  Démontrer que pour tout entier naturel $n,$

\[\left|u_{n}-\beta\right|  \leqslant \left(\frac{3}{4}\right)  ^{n}\]

		\item  En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)  $ est convergente et
donner sa limite.
		\item  Trouver un entier $n_{0}$ tel que pour tout entier naturel $n$
supérieur ou égal à $n_{0},$ on ait :

\[\left|  u_{n}-\beta \right|  \leqslant 10^{-2}\]

	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}