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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Le baccalauréat de 1998}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 1998}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat C Polynésie juin 1998~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1  \hfill 5 points}}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Une urne A contient 2 boules rouges et 3 boules noires, une urne B contient 3
boules rouges et deux boules noires.

On tire au hasard une boule de l'urne A :
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item [$\bullet$]si elle est noire, on la place dans l'urne B,
\item[$\bullet$] sinon, on l'écarte du jeu.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On tire au hasard ensuite une boule de l'urne B.

On considère les évènements suivants :

$R_{1}$ : \og La boule tirée de A est rouge \fg{} ;

$N_{1}$ : \og La boule tirée de A est noire \fg{} ;

$R_{2}$ : \og La boule tirée de B est rouge \fg{} ;

$N_{2}$ : \og La boule tirée de B est noire \fg.
\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les probabilités des évènements $R_{1}$ et $N_{1}$.
		\item Calculer les probabilités des évènements \og $R_{2}$ sachant $R_{1}$ \fg\ et
\og $R_{2}$ sachant $N_{1}$ \fg. En déduire que la probabilité de $R_{2}$ est de
$\dfrac{27}{50}$.
		\item Calculer la probabilité de $N_{2}$.
	\end{enumerate}
\item On répète $n$ fois l'épreuve précédente (tirage d'une boule de A, suivie du tirage d'une boule de B dans les mêmes conditions initiales indiquées ci-dessus), en supposant les différentes épreuves indépendantes.

Quel nombre minimum d'essais doit-on effectuer pour que la probabilité
d'obtenir au moins une fois une boule rouge de l'urne B soit supérieure
à $0,99$ ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 \hfill 5 points}} 

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv{} (unité graphique 2~cm). On note A le point d'affixe 1 et B le point d'affixe $3 + 2\text{i}$.

On appelle $f$ l'application qui, à tout point $M$ distinct de A et d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z^{\prime}$ définie par

\[{z^{\prime}=\frac{z - 1 + 2\text{i}}{z-1}}\]

\begin{enumerate}
\item  Calculer les affixes des points O$'$ et B$'$, images respectives des points
O et B par $f$. Placer les points A, O$'$, B et B$'$ dans le plan.
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer, pour tout complexe $z$ différent de 1, le produit

\[\left(  z^{\prime}-1\right)  \left(  z-1\right)\]

\item  En déduire que, pour tout point $M$ distinct de A, on a :

\[\text{A}M \times \text{A}M'= 2\text{ et }\left( \vect{u}%
,\vect{\text{A}M}\right)  +\left(\vect{u}%
,\vect{\text{A}M'}\right)  \text{=}\frac{\pi}{2} + 2k\pi
,\;k\in\mathbb{Z}\]

\end{enumerate}
\item  Démontrer que, si  $M$ appartient au cercle ($C$) de centre A passant
par O, alors $M'$ appartient à un cercle ($C^{\prime}$). En préciser le
centre et le rayon.

Construire ($C$) et ($C^{\prime}$).
\item
\begin{enumerate}
\item  Déterminer l'angle $\left(\vect{\ u},\:\vect{\text{AB}}\right)$.
\item  Démontrer que, si $M$ est un point autre que A de la demi-droite ($d$) d'origine A, passant par B, alors $M'$ appartient à une demi-droite que l'on précisera.
\end{enumerate}
\item  On appelle P le point d'intersection du cercle ($C$) et de la
demi-droite ($d$).

Placer son image P' sur la figure.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 \hfill 5 points}} 

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv
(unité graphique : 2 cm).

On appelle $T$ l'application qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ non nulle, fait
correspondre le point $M'$ d'affixe 

\[z' = 2z + \dfrac{1}{z}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item $\theta$ désignant un réel quelconque de l'intervalle $[0~;~2\pi[$, on considère
le point $M$ ayant pour affixe $z = \text{e}^{\text{i}\theta}$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les coordonnées du point $M'$ sont : 
		\[\left\{\begin{array}{l c r}
x' &=& 3 \cos \theta\\
y'&= & \sin \theta.
		\end{array}\right.\]
		
		\item En déduire que l'image par $T$ du cercle (C) de centre O et de rayon 1
est une conique (E) dont on précisera la nature et les éléments caractéristiques
(centre, sommets, foyers). 
		
On vérifiera que les foyers F et F$'$ ont pour coordonnées respectives $\left(2\sqrt{2}~;~ 0\right)$ et $\left(- 2\sqrt{2}~;~ 0\right)$.
	\end{enumerate}
\item Réaliser une figure comportant :
	
$\bullet~~$ le cercle (C),
	
$\bullet~~$ la conique (E) et ses éléments caractéristiques déterminés au 1. b,
	
$\bullet~~$ un point $M$ de (C) et son image $M'$ par $T$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout point $M'(3 \cos \theta~;~\sin \theta)$ de la courbe (E), calculer les
distances $M'$F et $M'$F$'$ en fonction de $\theta$.
		\item En déduire que, pour tout point $M'$ de (E), $M'$F + $M'$F$'$ est indépendant
de $\theta$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

(\emph{Ce type d'exercice n'est plus au programme à partir de la session de }$1999$.)

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème \hfill 10 points}}

\medskip

\textbf{Partie A : Résolution d'une équation différentielle}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ solutions de
l'équation différentielle (E$_{1}$) :

\[y^{\prime\prime}+2y^{\prime}+y=0.\]

\item  On considère l'équation différentielle (E$_{2}$):

\[y'' + 2y' + y = x + 3.\]
	\begin{enumerate}
		\item  Vérifier que la fonction $p$ définie sur $\mathbb{R}$ par
$p(x) = x + 1$ est solution de (E$_{2}$).
		\item  Démontrer qu'une fonction $g$ est solution de (E$_{2}$) si, et
seulement si, la fonction $g-p$ est solution de (E$_{1}$).
		\item  Déduire de \textbf{1.} et \textbf{2. b} les solutions de (E$_{2}$)
		\item  Déterminer la solution générale de (E$_{2}$) qui
vérifie :

\[g(0) = 1 \quad \text{et} \quad  g'(0) = 2.
\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : étude d'une fonction \boldmath{$f$} \unboldmath et
courbe représentative}

\medskip

On appelle $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par :

\[f(x) = x + 1 + x\text{e}^{-x}.\]

On note ($\mathcal{C}$) la courbe représentative de $f$ dans le plan muni
du repère orthonormal \Oij{} (unité graphique 2 cm).

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item $f'$ et $f''$ désignant respectivement les
dérivées première et seconde de $f$, calculer, pour tout réel
$x$, $f'(x)$ et $f''(x)$.
		\item  Étudier le sens de variation de la dérivée $f'$.
		\item  Démontrer que, pour tout réel $x$, $f'(x)>0$.
		\item  Calculer la limite de $f$ en +$\infty$.
		\item  Dresser le tableau de variation de la fonction $f$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que la droite ($\mathcal{D}$) d'équation $y = x+1$ est
asymptote à ($\mathcal{C}$) et préciser la position relative de
($\mathcal{D}$) et ($\mathcal{C}$).
		\item  La courbe ($\mathcal{C}$) admet en un point A une tangente
parallèle à la droite ($\mathcal{D}$).\newline Déterminer les coordonnées de A.
	\end{enumerate}
\item  Démontrer que l'équation de $f(x) = 2$ admet sur $[0~;~+\infty[$
une unique solution notée $\alpha$ , puis vérifier que $0 < \alpha < 1$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Construire la droite ($\mathcal{D}$), le point A défini au
\textbf{2. b.}, la courbe ($\mathcal{C}$) et la tangente en A à la courbe
($\mathcal{C}$).
		\item  Donner par lecture graphique une valeur approchée de $\alpha$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : Recherche d'une approximation décimale de
\boldmath{$\alpha$} \unboldmath}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Démontrer que, sur $[0~;~+\infty[$, l'équation : $f(x) = 2$
équivaut à l'équation :

\[{\frac{\text{e}^{x}}{\text{e}^{x}+1}=x}\]

\item  On appelle $h$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~1] par :

\[h(x)=\frac{\text{e}^{x}}{\text{e}^{x}+1}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Calculer $h'(x)$ pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~1]
et réaliser le tableau de variations de la fonction $h$.
		\item En déduire que, pour tout réel $x$ de [0~;~1], $h(x)$
appartient à [0~;~1].
		\item Calculer $h''(x)$ pour tout réel $x$ de l'intervalle
[0~;~1] ; étudier le sens de variations de $h'$.
		\item En déduire que, pour tout réel $x$ de [0~;~1],

\[{0\leqslant h'(x)\leqslant\frac{1}{4}}\]

	\end{enumerate}
\item  On définit la suite ${(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}\text{ par :}\ }$%

\[{\left\{\begin{array}[c]{l}%
u_{0}=0\\
u_{n+1}=h\left(u_{n}\right)
\end{array}
\right.}\]

pour tout entier naturel $n$.

	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n}$ appartient
à l'intervalle [0~;~1].
		\item  Démontrer que, pour tout entier naturel $n$,

\[{|u_{n+1}-\alpha|\leqslant\frac{1}{4}|u_{n}-\alpha|}\]

		\item  En déduire que, pour tout entier naturel $n$,

\[{|u_{n+1}-\alpha|\leqslant\left( \frac{1}{4}\right)^{n}}\]

puis que la suite $\left(u_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ converge vers $\alpha$.
		\item  Déterminer un entier $p$ tel que $u_{p}$ soit une valeur
approchée à $10^{-6}$ près de $\alpha$ et, à  l'aide de
la calculatrice, proposer une approximation décimale de $u_{p}$ à
$10^{-6}$ près. Que peut-on en déduire pour $\alpha$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}

\textbf{PROBLÈME}
 
\textbf{Partie A : Étude d'une fonction \boldmath$f$  \unboldmath et courbe
représentative}

On appelle $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+~\infty[$ par 

\[f(x) = x + 1 + xe^{-x}.\]

On note $\mathcal{(C)}$ la courbe représentative de $f$ dans le plan muni du
repère orthonormal \Oij{} (unité 
graphique : 2~cm).

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $f'$ et $f''$ désignant respectivement les dérivées première et seconde de $f$, calculer, pour tout réel $x,~ f'(x)$ et $f''(x)$ .
		\item Étudier le sens de variation de la dérivée $f'$.
		\item Démontrer que, pour tout réel $x$ positif, $f'(x) > 0$ .
		\item Calculer la limite de $f$ en $+~\infty$ .
		\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la droite $(D)$ d'équation $y = x + 1$ est asymptote à $\mathcal{(C)}$ et préciser la position relative de $(D)$ et 
$\mathcal{(C)}$. 
		\item La courbe $\mathcal{(C)}$ admet en un point $A$ une tangente parallèle à la droite 
$(D)$.

Déterminer les coordonnées de $A$.
	\end{enumerate}
\item Démontrer que l'équation $f(x) =  2$ admet sur $[0 ~;~+ ~\infty[$ une unique
solution notée $\alpha$, puis vérifier que $0 < \alpha < 1$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire la droite $(D)$, le point $A$ défini au 2)b), la courbe $\mathcal{(C)}$ et la tangente en $A$ à la courbe $\mathcal{(C)}$.
		\item Donner par lecture graphique une valeur approchée de $\alpha$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{Partie B : Recherche d'une approximation décimale de 
}\boldmath$\alpha$\unboldmath.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que, sur $[0 ~;~+ ~\infty[$, l'équation $f(x) = 2$ équivaut à l'équation
$\dfrac{e^x}{e^x + 1} = x$.\\
\item On appelle $h$ la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 1 ] par :

\[h(x) = \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + 1}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Calculer $h'(x)$ pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~1] et réaliser le 
tableau de variation de la fonction $h$.
		\item En déduire que, pour tout réel $x$ de [0~;~1], $h(x)$ appartient 
à [0 ; 1].
		\item Calculer $h''(x)$ pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~1] ; étudier le sens de
variation de $h$. 
		\item En déduire que, pour tout réel $x$ de [0~;~1], $0 < h'(x) < 
\dfrac{1}{4}.$
	\end{enumerate} 
\item On définit la suite $\left(u_{n}\right)_{n\in \N}$	par : $\left\{ 
\begin{array}{l @{~=~} l}
    u_{0} & 0\\
    u_{n+1} & h(u_{n})
    \end{array} \right.$ pour tout entier naturel $n$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n,~ u_{n}$ appartient à l'intervalle
 [0~;~1].
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n,~\left|u_{n + 1} - \alpha \right| \leqslant  \dfrac{1}{4}\left|u_n - \alpha \right|$.
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n,~\left|u_n - \alpha \right| \leqslant 
\left(\dfrac{1}{4}\right)^n$,~puis que la suite $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ converge 
vers $\alpha$.
		\item Déterminer un entier $p$ tel que $u_p$ soit une valeur approchée à  $10^{-6}$ près de $\alpha$ et à l'aide de la calculatrice, proposer une 
approximation décimale de $u_p$ à $10^{-6}$ près. 

Que peut-on dire de $\alpha$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}
\vspace{1cm}

\section{Polynésie 1998}
\begin{center}
\textbf{EXERCICE 1 (5 points)}
\textbf{\\[0pt]}
\end{center}
Une urne A contient 2 boules rouges et 3 boules noires, une urne B contient 3
boules rouges et deux boules noires.

On tire au hasard une boule de l'urne A :
\begin{itemize}
\item [$\bullet$]si elle est noire, on la place dans l'urne B,
\item[$\bullet$] sinon, on l'écarte du jeu.
\end{itemize}
On tire au hasard ensuite une boule de l'urne B.\newline On considère les
évènements suivants :
R$_{1}$ : \og La boule tirée de A est rouge
\fg ;
N$_{1}$ : \og La boule tirée de A est noire
\fg ;
R$_{2}$ : \og La boule tirée de B est rouge
\fg ;
N$_{1}$ : \og La boule tirée de B est noire
\fg.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item  Calculer les probabilités des évènements ${R_{1}}$ et
${N_{1}}$.
\index{Probabilité}
\item  Calculer les probabilités des évènements \guilsinglleft
\guilsinglleft\ R$_{2}$ sachant R$_{1}$ \fg\ et
\og R$_{2}$ sachant N$_{1}$ \guilsinglright
\guilsinglright. En déduire que la probabilité de ${R_{2}}$ est de
${\displaystyle\frac{27}{50}}$.
\item  Calculer la probabilité de ${N_{2}}$.
\end{enumerate}
\item  On répète $n$ fois l'épreuve précédente (tirage
d'une boule de A, suivie du tirage d'une boule de B dans les m\^{e}mes
conditions initiales indiquées ci-dessus), en supposant les diffé%
rentes épreuves indépendantes.\newline
Quel nombre minimum d'essais doit-on effectuer pour que la probabilité
d'obtenir au moins une fois une boule rouge de l'urne B soit supérieure
\`{a} 0,99 ?\bigskip
\end{enumerate}
\begin{center}
    
\noindent \textbf{\Large CORRIGÉ}

\noindent EXERCICE 1

\noindent \textbf{1. a.} Calculons la probabilité de R$_{1}$

R$_{1}$ est l'évènement : « la boule tirée de A est rouge ». A contient 5 boules, dont 2
rouges, la probabilité de tirer une rouge parmi les 5 est donc 
$p(\text{R}_{1} = \cfrac{2}{5}$.

Calculons la probabilité de N$_{1} :

N$_{1}  est l'évènement « la boule tirée de A est noire ». A contient 3 boules noires, donc 
$p(\text{N}_{1}) = \cfrac{3}{5}$.

\noindent \textbf{b.} Calculons la probabilité de l'évènement « R$_{2}$ 
sachant R$_{1}$ »

\noindent Nous cherchons la probabilité de tirer une boule rouge de B sachant qu'une houle rouge a été
tirée de A. Puisque la boule tirée dans A est rouge on l'écarte du jeu, et la composition de 
l'urne B n'est pas changée elle contient 5 boules, dont
3 rouges. La probabilité de tirer une rouge est donc
$p(\text{R}_{2}/\text{R}_{1}) = \cfrac{3}{5}$.

\noindent Calculons la probabilité de l'événement « R$_{2}$ sachant N$_{1}$ »

\noindent C'est la probabilité de tirer une boule rouge de B sachant que la boule tirée dans A est noire.
Puisqu'elle est noire la composition de l'urne B est changée : elle contient 6 boules, les 5,
plus la noire tirée de A, donc 3 rouges et 3 noires. La probabilité de tirer alors une boule
rouge de B est $\cfrac{3}{6} = \cfrac{1}{2}$.

\[p(\text{R}_{2}/\text{N}_{1}) = \cfrac{1}{2}.\]

\noindent Calculons la probabilité de R$_{2}$ :

\noindent Soit la boule tirée de A est rouge soit elle est noire. R$_{2}$ est la réunion des deux
évènements incompatibles $(\text{R}_{2} \cap \text{R}_{1})$ et 
$(\text{R}_{2} \cap \text{N}_{1})$. $(\text{R}_{1},~ \text{N}_{1})$ est 
unsystème complet d'évènements. Appliquons
la formule des probabilités totales:  

\[p(\text{R}_{2}) = p(\text{R}_{2} \cap \text{R}_{1}) + p(\text{R}_{2} 
\cap \text{N}_{1}).

Or $p(\text{R}_{2} \cap \text{N}_{1}) = p(\text{R}2/\text{N}_{1}) \times 
p(\text{N}_{1})$

$p(\text{R}_{2} \cap \text{R}_{1}) = p(\text{R}2/\text{R}_{1}) \times 
p(\text{R}_{1})$.

Nous avons alors
p(\text{R}_{2}) = p(\text{R}_{2}/\text{N}_{1})  \times p(\text{N}_{1} 
+ p(\text{R}_{2}/\text{R}_{1}) \times p(\text{R}_{1}

soit en remplaçant parles valeurs trouvées

	$p(\text{R}_{2}) = \cfrac{1}{2} \times \cfrac{3}{5} +  \cfrac{3}{5} \times 
	\cfrac{2}{5} = \cfrac{3}{10} + \cfrac{6}{25} = \cfrac{27}{50}.$

\noindent \textbf{c.} Calculons la probabilité de N$_{2}$

Les deux évènements N$_{2}$ et R$_{2}$ sont des évènements contraires, donc

$p(\text{N}_{2}) = 1 - p(\text{R}_{2}) = 1 - \cfrac{27}{50} = 
\cfrac{23}{50}.$

\vspace{0,8cm}

\noindent \textbf{2.} On répète $n$ fois l'épreuve précédente dans les mêmes conditions initiales,
en supposant les différentes épreuves indépendantes. Nous cherchons le nombre minimum d'essais à effectuer
pour que la probabilité d'obtenir au moins une fois une boule rouge de l'urne B soit supérieure
à 0,99.
Désignons par $E$ la probabilité d'obtenir au moins une fois une boule rouge de l'urne B au
cours des $n$ essais.
Cherchons $p(E)$.
L'événement $E$ est « obtenir au moins une fois une boule rouge au cours des $n$ essais ».
L'événement contraire de $E$ est l'évènement « ne pas obtenir de boule rouge au cours
des $n$ essais », donc l'évènement $\overline{\text{E}}$ est l'évènement « n'obtenir que des boules noires
au cours des $n$ essais ».

\noindent Calculons $p(\overline{\text{E}})$

\noindent Les essais étant indépendants et puisque nous en effectuons $n$, nous avons

\[p(\overline{\text{E}}) = (p(\text{N}_{2}))^n = 
\left(\cfrac{23}{50}\right)^n

\noindent Alors $p(\text{E}) = 1 - \left(\cfrac{23}{50}\right)^n$.

La probabilité d'obtenir au moins une fois une boule rouge de l'urne B au

cours des $n$ lancers est $p(\text{E}) = 1 - \left(\cfrac{23}{50}\right)^n$.

Nous voulons $$p(\text{E}) = 1 - \left(\cfrac{23}{50}\right)^n$	> 0,99$ soit
\left(\cfrac{23}{50}\right)^n < 0,01$.

Prenons les logarithmes néperiens, il vient, $n \ln \cfrac{23}{50} < \ln (0,01)$.				< In (0,OlnO,Ol
Puisque $\cfrac{23}{50}$ est inférieur a 1, $\ln \cfrac{23}{50}$ est négatif 
et  $n > \cfrac{\ln 0,01}{\ln \cfrac{23}{50}} \approx 5,93$		

$n$ étant un entier, $n = 6$ convient.

\noindent Il faut faire 6 essais pour que la probabilité de tirer au moins une boule rouge
de l'urne B au cours de ces 6 essais soit supérieure à 0,99.
\end{document}