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\begin{document}
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\rhead{A. P{}. M. E. P{}.}  
\lhead{\small Baccalauréat S juin 1999}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 1999}} 
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\thispagestyle{empty} 

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} 

\vspace{0,25cm} 

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Polynésie juin 1999~ \decofourright}}\end{center} 

\vspace{0,25cm} 

\textbf{Exercice 1\hfill 5 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats} 

\medskip

Une urne contient $5$ boules noires et $5$ boules blanches. On en prélève $n$ successivement et avec remise, $n$ étant un entier naturel supérieur ou égal à $2$. 
On considère les deux évènements suivants : 

$A$ : \og On obtient des boules des deux couleurs \fg{} ; 

$B$ : \og On obtient au plus une blanche \fg. 

\medskip

\begin{enumerate}
 \item 
 	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la probabilité de 
l'évènement : \og Toutes les boules tirées sont de même couleur \fg{}. 
		\item Calculer la probabilité de l'évènement : \og On obtient exactement une boule  blanche \fg{}. 
		\item En déduire que les probabilités $p(A \cap B),~ p(A),~ p(B)$ sont : 

\[p(A \cap B) = \dfrac{n}{2^n},\quad p(A) = 1 - \dfrac{1}{2^{n-1}},\quad p(B) = \dfrac{n+1}{ 2^n}.\] 

	\end{enumerate} 
\item Montrer que $p(A \cap B) = p(A) \times p(B)$ 
si, et seulement si, 

\[ 2^{n-1} = n + 1.\] 

\item Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout $n$ entier 
naturel supérieur ou égal à deux par 

\[u_n = 2^{n-1} - (n + 1).\] 

Calculer $u_2,~ u_3,~ u_4$. 

Démontrer que la suite $(u_n)$ est strictement croissante. 
\item En déduire la valeur de l'entier $n$ tel que les 
évènements $A$ et $B$ soient indépendants. 
\end{enumerate} 

\vspace*{0,5cm} 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
\textbf{Exercice 2\hfill 4 points}
 
\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan complexe $(P)$ est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv~ d'unité graphique $2$~cm. 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Résoudre, dans $\C$, l'équation 
$(E)~ :~ z^3 - 8 = 0.$ 

\item On considère dans le plan $(P)$ les points A,~ B et 
C d'affixes respectives : 
\[z_{\text{A}} = - 1 + \text{i}\sqrt{3},\quad z_{\text{B}} = 2 \quad \text{et}\quad z_{\text{C}} = - 1 - \text{i}\sqrt{3}.\] 

	\begin{enumerate} 
		\item Écrire $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{C}}$ sous la forme trigonométrique. 
		\item Placer les points A, B et C. 
		\item Déterminer la nature du triangle ABC. 
	\end{enumerate} 
\item On considère l'application $f$ du plan dans lui-même qui 
à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que : 
\[ z' = \text{e}^{2\text{i}\frac{\pi}{3}}z.\] 

	\begin{enumerate}
		\item Caractériser géométriquement l'application $f$. 
		\item Déterminer les images des points A et C par $f$. 

En déduire l'image de la droite (AC) par $f$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
\textbf{Exercice 2 \hfill 4 points}
  
\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Démontrer que, pour tout entier naturel 
$n~ :~ 2^{3n} - 1$ est un multiple de 7 (on pourra utiliser un raisonnement par récurrence). 

En déduire que $2^{3n + 1} - 2$ est un multiple de 7 et que $2^{3n + 2} - 4$  est un multiple de 7. 
\item Déterminer les restes de la division par $7$ des puissances de 2. 
\item Le nombre $p$ étant un entier naturel, on considère le nombre entier
 
\[A_p = 2^p + 2^{2p} + 2^{3p}.\] 

	\begin{enumerate} 
		\item Si $p = 3n$, quel est le reste de la division de $A_p$, par 7 ? 
		\item Démontrer que si $p = 3 n + 1$ alors $A_p$ est divisible par 7. 
		\item Étudier le cas où $p = 3 n + 2$. 
	\end{enumerate} 
\item On considère les nombres entiers $a$ et $b$ écrits dans le système binaire : 
\[a = \overline{\np{1001001000}}~~~ b = 
\overline{\np{1000100010000}}.\] 

Vérifier que ces deux nombres sont des nombres de la forme $A_p$. 

Sont-ils divisibles par 7 ? 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
\textbf{Problème \hfill 11 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats} 

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par :
 
\[f(x) = x - \text{e}^{2x- 2}.\] 

On note $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal \Oij. On prendra $5$~cm comme unité. 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		 \item Déterminer la limite de $f$ en $-~ \infty$. 
		\item Vérifier que, pour tout réel $x$ non nul : $f(x) = x\left[1 - 
2\text{e}^{-~ 2} \times \left(\dfrac{\text{e}^{2x}}{2x}\right)\right].$ 
	\end{enumerate} 
\item Déterminer $f'$. Étudier le signe de $f'(x)$ et calculer la valeur 
exacte du maximum de $f$. 
\item Démontrer que la droite (D) d'équation $y = x$ est asymptote à la 
courbe $(\mathcal{C})$. 

Étudier la position relative de $(\mathcal{C})$ et (D). 
\item On note A le point de la courbe $(\mathcal{C})$ d'abscisse 1. 
Déterminer une équation de la tangente (T) en A à la courbe $(\mathcal{C})$. 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item On note I l'intervalle [0~;~0,5]. 

Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet dans l'intervalle I une unique solution qu'on notera $a$. 
		\item Déterminer une valeur approchée à $10^{- 1}$ près de $a$. 
	\end{enumerate} 
\item Construire la courbe $(\mathcal{C})$, 
l'asymptote $(D)$ et la tangente $(T)$. 
\end{enumerate} 

\medskip 

\textbf{Partie B}
 
\textbf{Détermination d'une valeur approchée de} $a$. 

\medskip

On définit dans $\R$ la suite $(u_n)$ par : 

\[\left\{ \begin{array}{l c l} 
u_0 & = & 0\\ 
u_{n + 1}& =& \text{e}^{2u_n - 2} 
\end{array}\right.\] 

\begin{enumerate} 
\item Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) 
= \text{e}^{2x- 2}$. 

Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ est équivalente à $g(x) = x$. 

En déduire $g(a)$. 
\item Démontrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle I, on a : 
\[ \left|g'(x)\right| \leqslant \dfrac{2}{\text{e}}.\] 

\item Démontrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle I,~ $g(x)$ appartient à  I. 
\item Utiliser l'inégalité des accroissements finis pour démontrer que, pour tout entier naturel $n~ :\:\left|u_{n + 1} - u_n\right| \leqslant \dfrac{2}{\text{e}}\left|u_n - a\right|.$ 
\item Démontrer, par récurrence, que : 
$\left|u_{n} - a\right| \leqslant \left(\dfrac{2}{\text{e}}\right)^n$. 
\item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ converge et donner sa limite. 
\item Déterminer un entier naturel $p$ tel que : $\left|u_p - a\right| < 10^{- 5}$. 
\item En déduire une valeur approchée de $a$ à $10^{- 5}$ près : on expliquera  l'algorithme utilisé sur la calculatrice. 
\end{enumerate} 
\end{document}