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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdfsubject = {Baccalauréat S},
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2002}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Polynésie juin 2002~\decofourright}}
\end{center}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\vspace{0,2cm}

\parbox[c]{0.6\textwidth}{On dispose d'une grille à trois lignes et trois colonnes. Une machine M$_1$ place au hasard un jeton dans une case de la grille, puis une machine 
M$_2$ place de même un jeton sur la grille dans une case libre et enfin une troisième machine M$_3$ place un jeton dans une case libre.}\hfill
\parbox[c]{0.3\textwidth}{\psset{unit=1.2cm}\begin{pspicture}(3.2,3.2)
\psline(0,0)(3,0) \psline(0,1)(3,1) \psline(0,2)(3,2)  \psline(0,3)(3,3)
\psline(0,0)(0,3) \psline(1,0)(1,3) \psline(2,0)(2,3) \psline(3,0)(3,3)
\uput[r](3,0.5){3} \uput[r](3,1.5){2} \uput[r](3,2.5){1}
\uput[u](0.5,3){A} \uput[u](1.5,3){B} \uput[u](2.5,3){C}
\end{pspicture}}

\medskip

On note les évènements suivants :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $H$ : \og Les trois jetons sont alignés horizontalement \fg{} ;
\item[$\bullet~$] $V$ : \og Les trois jetons sont alignés verticalement \fg{} ;
\item[$\bullet~$] $D$ : \og Les trois jetons sont alignés en diagonale \fg{} ;
\item[$\bullet~$] $N$ : \og Les trois jetons ne sont pas alignés \fg{}.
\end{itemize}
\emph{Les nombres demandés seront donnés sous forme de fraction 
irréductible.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les probabilités des trois évènements $H,\: V$ 
et $D$.

En déduire que la probabilité de $N$ est égale à $\dfrac{19}{21}$.
\item On considère la variable aléatoire $X$ définie par :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $X = 20$, lorsque $H$ ou $V$ est réalisé ;
\item[$\bullet~$] $X = \alpha$, lorsque $D$ est réalisé ;
\item[$\bullet~$] $X = - 2$, lorsque $N$ est réalisé.
\end{itemize}

Déterminer $\alpha$ pour que l'espérance de $X$ soit nulle.
\item Dans cette question, on se place dans le cas où la 
machine M$_1$ est déréglée ; elle place alors le premier jeton dans l'un 
des coins de la grille.

On note $\Delta$ l'évènement : \og la machine M$_1$ est déréglée \fg{}.

	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité d'avoir un alignement horizontal 
c'est-à-dire $p_{\Delta}(H)$, puis de même, d'avoir un alignement 
vertical $p_{\Delta}(V)$, d'avoir un alignement en diagonale 
$p_{\Delta}(D)$.
		\item En déduire que la probabilité d'avoir un alignement horizontal 
ou vertical ou diagonal, est égale à $\dfrac{3}{28}$.
	\end{enumerate}
\item $A$ désigne l'évènement \og les trois jetons sont 
alignés horizontalement ou verticalement ou en diagonale \fg{}. On admet que $p(\Delta) = \dfrac{1}{5}$. Reproduire et compléter l'arbre pondéré suivant en précisant les cinq probabilités correspondantes :


\begin{center}

\pstree[linecolor=red,treemode=R,levelsep=3cm,nodesep=2.5pt]{\TR{}}
{
\pstree{\TR{$\Delta$}\taput{$\dfrac{1}{5}$}}
{\TR{$A$} 
\TR{$\overline{A}$}
}
\pstree{\TR{$\overline{\Delta}$}}
{
\TR{$A$}
\TR{$\overline{A}$}
}
}
\end{center}

Calculer $p(A))$. (On pourra remarquer que $p_{\Delta}(A)$ et $p_{\overline{\Delta}}\left(\overline{A} \right)$ ont déjà été calculées.)
\item On ne sait pas lorsque l'on joue, si la machine M$_1$ est en bon état de marche.

On joue une partie et on constate que les trois jetons sont alignés. Déterminer la probabilité pour que la machine M$_1$ soit déréglée.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

Dans le plan complexe $\mathcal{P}$ rapporté à un repère orthonormal direct
\Ouv{} d'unité $2$~cm, on considère les points $M$ d'affixe $z$, $M_1$ d'affixe
$\overline{z}$, A d'affixe 2 et B d'affixe 1.

Soit $f$ l'application de $\mathcal{P}$ privé de A dans
$\mathcal{P}$, qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$
d'affixe $z'$ telle que 

\[z' = \dfrac{\overline{z} + 4}{\overline{z} - 2}.\]

\begin{enumerate} 
\item Déterminer les points invariants par $f$.
\item Soit C le point d'affixe $2\left(1 + \text{i}\sqrt{3}
\right)$.

Montrer que C$'$ est le milieu du segment [OC].
\item
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer pour tout $z \neq 2$, le produit
$\left(\overline{z} - 2\right)\left(z' - 1\right).$
		\item En déduire :
\begin{itemize}
\item la valeur de A$M_1 \cdot \text{B}M'$,
\item une expression de $\left(\vect{u} ~;~\vect{\text{B}M'}\right)$ en fonction de $\left(\vect{u} ~;~\vect{\text{A}M_1}\right)$.
\end{itemize}
		\item Justifier les relations :

\[\begin{array}{l l}
(1) &\qquad \text{A}M \cdot \text{B}M' = 6\\
(2) &\qquad \left(\vect{u}~;~\vect{\text{B}M'}\right) = \left(\vect{u} ~;
~\vect{\text{A}M}\right).\\
\end{array}\]

		\item Application : construire l'image D$'$ du point D d'affixe $2 +
2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

$n$ est un entier naturel supérieur ou égal à 2.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $n$ et $2n + 1$ sont premiers entre eux.
\item On pose $\alpha = n + 3$ et $\beta = 2n + 1$ et on note $\delta$ le PGCD de $\alpha$ et $\beta$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $2\alpha - \beta$ et en déduire les valeurs 
possibles de $\delta$.
		\item Démontrer que $\alpha$ et $\beta$ sont multiples de 5 si et seulement si $(n - 2)$ est multiple de 5.
	\end{enumerate}
\item On considère les nombres $a$ et $b$ définis 
par :

\[ \begin{array}{l c l}
a & = & n^3 + 2n^2 - 3n\\
b & = & 2n^2 - n - 1\\
\end{array}\]

Montrer, après factorisation, que $a$ et $b$ sont des 
entiers naturels divisibles par $(n - 1)$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On note $d$ le PGCD de $n(n + 3)$ et de 
$(2n + 1)$. Montrer que $\delta$ divise $d$, puis que $\delta = d$.
		\item En déduire le PGCD, $\Delta$, de $a$ et $b$ en fonction 
de $n$.
		\item Application :

Déterminer $\Delta$ pour $n = \np{2001}$ ;

Déterminer $\Delta$ pour $n = \np{2002}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 15 points}

\begin{center} \textbf{Partie A} \end{center}

On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par :

\[f(x) = \dfrac{x - 1}{x + 1} - \text{e}^{- x}\]

et l'on désigne par $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal \Oij{}  d'unité 3 cm.

\begin{enumerate}
\item Calculer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend 
vers $+ \infty$. Que peut-on en déduire pour la courbe 
$(\mathcal{C})$ ?
\item Calculer $f'(x)$, en déduire les variations de 
$f$ pour $x$ appartenant à $[0~;~+ \infty[$.
\item Déterminer une équation de la tangente (T) à
$(\mathcal{C})$ en son point d'abscisse 0.
\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une 
solution unique $u$. Montrer que $u$ appartient à [1~;~2] et 
déterminer un encadrement d'amplitude $10^{- 1}$ de $u$.
\item Tracer (T) et $(\mathcal{C})$ sur la même figure.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que, 
pour tout $x\neq - 1,\: \dfrac{x - 1}{x + 1} = a + \dfrac{b}{x + 1}$.
		\item En déduire l'aire en cm$^2$ du domaine plan limité par 
(T), $(\mathcal{C})$ et la droite d'équation $x = 1$ (on admettra que 
T est au-dessus de $(\mathcal{C})$).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Partie B} \end{center}

$n$ désigne un entier naturel non nul. On considère la fonction 
$f_{n}$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par :

\[f_{n}(x) = \dfrac{x - n}{x + n} - \text{e}^{-x}.\]

\begin{enumerate}
\item Calculer $f'_{n}(x)$ et donner son signe sur 
$[0~;~+ \infty[$. Préciser $f_{n}(0)$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} 
f_{n}(x)$.

Dresser le tableau de variations de $f_{n}$.

\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer $f_{n}(n)$ ; quel est son signe ?
		\item Démontrer, par récurrence que, pour tout $n$ de 
$\N,~\text{e}^{n+1} > 2n + 1$.

En déduire le signe de $f_{n}(n + 1)$.
		\item Montrer que l'équation $f_{n}(x) = 0$ admet une solution 
unique sur $[n~;~n~+~1]$~; cette solution sera notée $u_{n}$.
	\end{enumerate}
\item Calculer $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_{n}$ 
puis $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{u_{n}}{n}$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item En remarquant que, pour tout $x$ de [0 ;~$+ 
\infty[~:~\dfrac{x - n}{x + n} = 1 - \dfrac{2n}{x + n}$, montrer que 
la valeur moyenne, $M_{n}$ de $f_{n}$ sur $[0~;~u_{n}]$ est égale à :

\[1 - \dfrac{1}{u_{n}} + \dfrac{\text{e}^{-u_{n}}}{u_{n}} - 2\left(
\dfrac{n}{u_{n}}\right)\ln \left(\dfrac{u_{n}}{n} + 1 \right)\]

		\item En déduire $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} M_{n}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}