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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdfsubject = {Baccalauréat S},
pdftitle = {Polynésie - juin 2003},
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2003}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Polynésie juin 2003~\decofourright}}
\end{center}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Dans l'espace muni d'un repère orthonormal \Oijk, on considère les points A, B, C et D de coordonnées respectives :

\[\text{A}(0~;~0~;~3),\:\: \text{B}\left(2\sqrt{2}~;~0~;~- 1\right),\:\:
\text{C}\left(- \sqrt{2}~;~- \sqrt{6}~;~-1\right),\:\:\text{D}\left(- \sqrt{2}~;~\sqrt{6}~;~-1\right).\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que ABCD est un tétraèdre régulier, c'est-à-dire un tétraèdre dont toutes les arêtes sont de même longueur.
\item On note R, S, T et U les milieux respectifs des arêtes [AC], [AD],
[BD] et [BC] ; démontrer que RSTU est un parallélogramme de
centre O.
\item Ce parallélogramme a-t-il des propriétés supplémentaires ?
Expliquer.

\medskip

\begin{center}\begin{pspicture}(5,5.5)
\psline[linewidth=1.25pt](0,1)(2.6,5.4)(4.6,1.3)(2,0.3)(0,1)
\psline[linewidth=1.25pt](2.6,5.4)(2,0.3)
\psline{->}(2.9,2.4)(2.5,1.8)
\psline{->}(2.9,2.4)(3.5,2.4)
\psline{->}(2.9,2.4)(2.9,2.9)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.25pt](0,1)(4.6,1.3)
\uput[l](0,1){C}  \uput[ur](2.6,5.4){A}  \uput[r](4.6,1){D} 
\uput[d](2,0.3){B}  \uput[u](2.7,2.3){$\vect{\imath}$} 
\uput[d](3.2,2.4){$\vect{\jmath}$} 
\uput[r](2.8,2.65){$\vect{k}$} 
\end{pspicture}\end{center}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On dispose de trois tétraèdres identiques au précédent, parfaitement équilibrés. Chacun d'eux a une face peinte en bleu, une face peinte en jaune et deux faces peintes en rouge.

On lance les trois tétraèdres simultanément (on remarquera que, lorsqu'on lance un tel tétraèdre, une seule face est cachée et trois faces sont visibles).

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Calculer la probabilité pour qu'au moins trois faces rouges soient
 visibles sur les trois tétraèdres.
\item Calculer la probabilité pour que la couleur bleue ne soit visible sur
aucun tétraèdre.
\item Calculer la probabilité de l'évènement $E$ \og les six faces rouges sont visibles \fg. 
\item On répète $n$ fois l'expérience qui consiste à lancer les trois tétraèdres.

Calculer la probabilité $p_{n}$ pour que l'évènement $E$ soit réalisé au moins
une fois.

Calculer $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} p_n$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{ Exercice 2} (Obligatoire)\hfill 5 points}

\medskip

Dans tout l'exercice, le plan $\mathcal{P}$ est rapporté à  un repère orthonormal direct \Ouv.

Les constructions seront faites sur papier millimétré.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Le point E a pour affixe $Z_{\text{E}} = 
3 + \text{i}$ et le point F a pour affixe $Z_{\text{F}}= 1 +3\text{i}$.

Placer dans $\mathcal{P}$ les points E et F.
		\item Construire le point H tel que EHF soit un triangle rectangle isocèle direct de sommet H, c'est-à-dire tel que $\left(\vect{\text{HF}}~;~ 
\vect{\text{HE}}\right) = \dfrac{\pi}{2} [2\pi]$.
		\item On désigne par $Z_{\text{H}}$ l'affixe de H.

Montrer que $\left|\dfrac{3 + \text{i} - Z_{\text{H}}}{1 + 3\text{i}
- Z_{\text{H}}}\right| = 1$ et que $\text{arg} \left(\dfrac{3 + \text{i} -
Z_{\text{H}}}{1 + 3\text{i} - Z_{\text{H}}}\right) = 
\dfrac{\pi}{2}\quad [2\pi]$.

En déduire que Z$_{\text{H}} = 3 + 3\text{i}$.
	\end{enumerate}
\item A, B, C et D sont quatre points du plan $\mathcal{P}$.

\begin{center}\begin{pspicture}(5,5.5)
\psline(0,1.5)(0.7,5.3)(2.8,5.3)(4.2,0)(0,1.5)
\uput[ur](4.2,0){C} \uput[l](0.7,5.3){A} \uput[ur](2.8,5.3){B} 
\uput[l](0,1.5){D}
\end{pspicture}\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item Construire les triangles rectangles isocèles directs BIA, AJD, DKC et CLB d'angles droits respectifs $\widehat{\text{BIA}},~ 
\widehat{\text{AJD}},~\widehat{\text{DKC}}$ et $\widehat{\text{CLB}}$.
		\item Conjecturer la position relative des droites (IK) et (LJ) et le rapport des longueurs des segments [IK] et [LJ].
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item On désigne par $a,~ b$ et $z_{1}$ les affixes respectives des points A, B et I.

Montrer que $\left|\dfrac{b-z_{1}}{a-z_{1}}\right| = 1$ et arg$\left(\dfrac{ 
b-z_{1}}{a- z_{1}}\right) = \dfrac{\pi}{2}~[2\pi]$.

En déduire que $z_{1} = \dfrac{\text{i}a - b}{\text{i} - 1}$.
		\item Avec les points B, C et L d'affixes respectives $b,~ c$ et $z_{\text{L}}$, exprimer sans démonstration $z_{\text{L}}$ en fonction de $b$ et $c$.
		\item Avec les points C, D et K d'affixes respectives $c,~ d$ 
et $z_{\text{K}}$, exprimer de même $z_{\text{K}}$ en fonction de $c$ et $d$. Avec 
les points D, A et J d'affixes respectives $d,~a$ et $z_{\text{J}}$ exprimer de même $z_{\text{J}}$ en fonction de $a$ et $d$.
		\item Montrer que $z_{\text{L}} - z_{\text{J}} = 
\text{i}\left(z_{\text{K}} - z_{\text{I}}\right)$. En déduire que les droites (JL) et (KI) sont perpendiculaires et que JL = KI.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} (Spécialité)\hfill 5 points}

\medskip

Le plan complexe est rapporté un repère orthonormal direct \Ouv, d'unité graphique 2~cm.

On donne les points A, C, D et $\Omega$, d'affixes respectives 1 + i,\, 1,\, 
3 et $2 + \dfrac{1}{2}\text{i}$.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $\mathcal{C}$ le cercle de centre $\Omega$ passant par A.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\mathcal{C}$ passe par C et D.
		\item Montrer que le segment [AD] est un diamètre de $\mathcal{C}$.
		\item Sur une feuille de papier millimétré, faire une figure en plaçant les points A, C, D, $\Omega$ et tracer $\mathcal{C}$. On note B la seconde intersection de $\mathcal{C}$ avec la droite (OA).
		\item Montrer que le point O est extérieur au segment [AB].
	\end{enumerate}
\item Montrer par un raisonnement géométrique simple que les
triangles OAD et OCB sont semblables mais non isométriques.

Soit S la similitude qui transforme le triangle OCB en le triangle OAD.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que S est une similitude indirecte différente d'une réflexion.
		\item Quel est le centre de S ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déduire de la partie \textbf{A 2} que l'on a OA $\times$  OB =  OC $\times$ OD.
		\item En déduire le module de l'affixe $z_{\text{B}}$ du point B. Déterminer un argument de $z_{\text{B}}$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer l'écriture complexe de S.

\item Déterminer la nature et les éléments caractéristiques 
de S $\circ$ S.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 11 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 

\[f(x) = \text{e}^x \cos x.\]

On appelle $\mathcal{C}_{f}$ la représentation graphique de $f$ dans un repère orthogonal.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Montrer que pour tout réel $x$,

\[- \text{e}^x \leqslant f(x) \leqslant \text{e}^x.\]

En déduire que $\mathcal{C}_{f}$ admet une asymptote au voisinage 
de $- \infty$. Quelle est cette asymptote ? 
\item Déterminer les abscisses des points d'intersection de $\mathcal{C}_{f}$ avec l'axe des abscisses.
\item On étudie $f$ sur l'intervalle $\left[- \dfrac{\pi}{2}~;~+ \dfrac{\pi}{2}\right]$.

Démontrer que pour tout réel $x \in  \left[- \dfrac{\pi}{2}~;~+
\dfrac{\pi}{2}\right]$ on a :

\[\cos x - \sin x = \sqrt{2} \cos \left(x+ \dfrac{\pi}{4}\right).\]

\item Calculer $f'(x)$, où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$.

Montrer que $f$ est croissante sur	$\left[- \dfrac{\pi}{2}~;~+ \dfrac{\pi}{4}\right]$ et décroissante  sur $\left[+ \dfrac{\pi}{4}~;~+ \dfrac{\pi}{2}\right]$.

Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\left[- \dfrac{\pi}{2}~;~+ \dfrac{\pi}{2}\right]$.

Indiquer les valeurs prises par $f$ en $- \dfrac{\pi}{2},~\dfrac{\pi}{4}$
et $\dfrac{\pi}{2}$.
\item Tracer $\mathcal{C}_{f}$ sur l'intervalle $\left[- \dfrac{\pi}{2}~;~+
\dfrac{\pi}{2}\right]$ sur le graphique ci-dessous

\begin{center}
\psset{unit=0.7cm}\begin{pspicture}(-8,-6)(8,6)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-8,-6)(8,6)
\uput[l](0,4){2}  \uput[l](0,2){1}  \uput[l](0,-2){$-1$}  
\uput[l](0,-4){$-2$}  \uput[dl](0,0){0}
\uput[d](2,0){$0,25\pi$} \uput[d](4,0){$0,5\pi$} 
\uput[d](6,0){$0,75\pi$} \uput[d](-2,0){$-0,25\pi$}
\uput[d](-4,0){$-0,5\pi$} \uput[d](-6,0){$-0,75\pi$}
\end{pspicture}
\end{center}

\item Démontrer que, sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$	l'équation $f(x) = \dfrac{1}{2}$ admet une solution unique $\alpha$.

Trouver, à l'aide de la calculatrice, la valeur approchée décimale de $\alpha$ arrondie au centième.
\item On note $f''$ la fonction dérivée seconde de $f$. Montrer que 
$f''(x) = - 2\text{e}^x\sin x$.

En déduire que, sur l'intervalle $\left[- \dfrac{\pi}{2}~;~+
\dfrac{\pi}{2}\right]$, le coefficient directeur de la  tangente à $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse $x$ atteint, pour $x = 0$, une valeur maximale que l'on précisera.

Trouver l'équation de la tangente T $\mathcal{C}_{f}$ en $0$ et tracer T sur le graphique de la question 5.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Pour tout entier naturel $n$, on pose

\[I_{n} = \displaystyle\int_{0}^{\pi} \text{e}^x \cos (nx)\: \text{d}x.\]

\begin{enumerate} 
\item Montrer que, pour tout entier naturel $n,~ \cos 
(n\pi) = (- 1)^n$ et que $\sin (n\pi) = 0$.
\item À l'aide de deux intégrations par parties, montrer que :

\[I_{n} = \dfrac{(-1)^n \text{e}^{\pi} - 1}{1 + n^2}.\]

\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, \quad 
$\left|I_{n}\right| \leqslant \dfrac{\text{e}^{\pi} + 1}{1 + n^2}$. 

En déduire $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} I_{n}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

On considère les équations différentielles

\[(\text{E})\qquad y' - 2y - 1 = 0\]

\[(\text{E}')\qquad y' - 2y = 1 - \text{e}^x \sin x\]

où $y$ est une fonction définie et dérivable sur $\R$.

Dire, en le justifiant, si les assertions suivantes sont vraies ou fausses :

\medskip

\begin{enumerate} 
\item (E) admet une fonction polynôme du premier degré comme solution.
\item Soit $g$ une fonction positive définie sur $\R$ ; si $g$ est
solution de (E) alors elle est croissante sur D.
\item La fonction $x \mapsto	3\text{e}^{2x} + \dfrac{1}{2}$ est une solution de (E). 
\item La primitive $F$ de $f$ qui s'annule en 0 est une solution de
(E$'$).
\end{enumerate}
\end{document}