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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdfsubject = {Baccalauréat S},
pdftitle = {Polynésie - juin 2003},
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2003}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S PolynéŽsie juin 2003~\decofourright}}
\end{center}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Dans l'espace muni d'un repère orthonormal \Oijk, on considère les points A, B, C et D de coordonnées respectives :

\[\text{A}(0~;~0~;~3),\:\: \text{B}\left(2\sqrt{2}~;~0~;~- 1\right),\:\:
\text{C}\left(- \sqrt{2}~;~- \sqrt{6}~;~-1\right),\:\:\text{D}\left(- \sqrt{2}~;~\sqrt{6}~;~-1\right).\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item DŽéŽmontrer que ABCD est un téŽtraèdre régulier, c'est-ˆà-dire un tétraèdre dont toutes les arêtes sont de même longueur.
\item On note R, S, T et U les milieux respectifs des arêtes [AC], [AD],
[BD] et [BC] ; dŽéŽmontrer que RSTU est un parall鎎logramme de
centre O.
\item Ce parallŽéŽlogramme a-t-il des propriéŽtéŽs supplŽéŽmentaires ?
Expliquer.

\medskip

\begin{center}\begin{pspicture}(5,5.5)
\psline[linewidth=1.25pt](0,1)(2.6,5.4)(4.6,1.3)(2,0.3)(0,1)
\psline[linewidth=1.25pt](2.6,5.4)(2,0.3)
\psline{->}(2.9,2.4)(2.5,1.8)
\psline{->}(2.9,2.4)(3.5,2.4)
\psline{->}(2.9,2.4)(2.9,2.9)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.25pt](0,1)(4.6,1.3)
\uput[l](0,1){C}  \uput[ur](2.6,5.4){A}  \uput[r](4.6,1){D} 
\uput[d](2,0.3){B}  \uput[u](2.7,2.3){$\vect{\imath}$} 
\uput[d](3.2,2.4){$\vect{\jmath}$} 
\uput[r](2.8,2.65){$\vect{k}$} 
\end{pspicture}\end{center}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On dispose de trois tŽétraèdres identiques au prŽécŽédent, parfaitement ŽéquilibrŽés. Chacun d'eux a une face peinte en bleu, une face peinte en jaune et deux faces peintes en rouge.

On lance les trois tŽétraèdres simultanŽément (on remarquera que, lorsqu'on lance un tel tŽétraèdre, une seule face est cachŽée et trois faces sont visibles).

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Calculer la probabilitŽé pour qu'au moins trois faces rouges soient
 visibles sur les trois tŽétraèdres.
\item Calculer la probabilitéŽ pour que la couleur bleue ne soit visible sur
aucun téŽtraèdre.
\item Calculer la probabilitŽé de l'Žévènement $E$ \og les six faces rouges sont visibles \fg. 
\item On rŽépète $n$ fois l'expŽérience qui consiste ˆà lancer les trois tŽétraèdres.

Calculer la probabilitŽé $p_{n}$ pour que l'ŽévŽènement $E$ soit rŽéalisŽé au moins
une fois.

Calculer $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} p_n$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{ Exercice 2} (Obligatoire)\hfill 5 points}

\medskip

Dans tout l'exercice, le plan $\mathcal{P}$ est rapportŽé à ˆ un repère orthonormal direct \Ouv.

Les constructions seront faites sur papier milliméŽtréŽ.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Le point E a pour affixe $Z_{\text{E}} = 
3 + \text{i}$ et le point F a pour affixe $Z_{\text{F}}= 1 +3\text{i}$.

Placer dans $\mathcal{P}$ les points E et F.
		\item Construire le point H tel que EHF soit un triangle rectangle isocèle direct de sommet H, c'est-ˆà-dire tel que $\left(\vect{\text{HF}}~;~ 
\vect{\text{HE}}\right) = \dfrac{\pi}{2} [2\pi]$.
		\item On dŽésigne par $Z_{\text{H}}$ l'affixe de H.

Montrer que $\left|\dfrac{3 + \text{i} - Z_{\text{H}}}{1 + 3\text{i}
- Z_{\text{H}}}\right| = 1$ et que $\text{arg} \left(\dfrac{3 + \text{i} -
Z_{\text{H}}}{1 + 3\text{i} - Z_{\text{H}}}\right) = 
\dfrac{\pi}{2}\quad [2\pi]$.

En déduire que Z$_{\text{H}} = 3 + 3\text{i}$.
	\end{enumerate}
\item A, B, C et D sont quatre points du plan $\mathcal{P}$.

\begin{center}\begin{pspicture}(5,5.5)
\psline(0,1.5)(0.7,5.3)(2.8,5.3)(4.2,0)(0,1.5)
\uput[ur](4.2,0){C} \uput[l](0.7,5.3){A} \uput[ur](2.8,5.3){B} 
\uput[l](0,1.5){D}
\end{pspicture}\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item Construire les triangles rectangles isocèles directs BIA, AJD, DKC et CLB d'angles droits respectifs $\widehat{\text{BIA}},~ 
\widehat{\text{AJD}},~\widehat{\text{DKC}}$ et $\widehat{\text{CLB}}$.
		\item Conjecturer la position relative des droites (IK) et (LJ) et le rapport des longueurs des segments [IK] et [LJ].
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item On dŽésigne par $a,~ b$ et $z_{1}$ les affixes respectives des points A, B et I.

Montrer que $\left|\dfrac{b-z_{1}}{a-z_{1}}\right| = 1$ et arg$\left(\dfrac{ 
b-z_{1}}{a- z_{1}}\right) = \dfrac{\pi}{2}~[2\pi]$.

En dŽéduire que $z_{1} = \dfrac{\text{i}a - b}{\text{i} - 1}$.
		\item Avec les points B, C et L d'affixes respectives $b,~ c$ et $z_{\text{L}}$, exprimer sans dŽémonstration $z_{\text{L}}$ en fonction de $b$ et $c$.
		\item Avec les points C, D et K d'affixes respectives $c,~ d$ 
et $z_{\text{K}}$, exprimer de même $z_{\text{K}}$ en fonction de $c$ et $d$. Avec 
les points D, A et J d'affixes respectives $d,~a$ et $z_{\text{J}}$ exprimer de même $z_{\text{J}}$ en fonction de $a$ et $d$.
		\item Montrer que $z_{\text{L}} - z_{\text{J}} = 
\text{i}\left(z_{\text{K}} - z_{\text{I}}\right)$. En dŽéduire que les droites (JL) et (KI) sont perpendiculaires et que JL = KI.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} (SpéŽcialitŽé)\hfill 5 points}

\medskip

Le plan complexe est rapportéŽ ˆun repère orthonormal direct \Ouv, d'unitŽé graphique 2~cm.

On donne les points A, C, D et $\Omega$, d'affixes respectives 1 + i,\, 1,\, 
3 et $2 + \dfrac{1}{2}\text{i}$.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $\mathcal{C}$ le cercle de centre $\Omega$ passant par A.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\mathcal{C}$ passe par C et D.
		\item Montrer que le segment [AD] est un diamètre de $\mathcal{C}$.
		\item Sur une feuille de papier milliméŽtréŽ, faire une figure en plaçant les points A, C, D, $\Omega$ et tracer $\mathcal{C}$. On note B la seconde intersection de $\mathcal{C}$ avec la droite (OA).
		\item Montrer que le point O est extéŽrieur au segment [AB].
	\end{enumerate}
\item Montrer par un raisonnement gŽéoméŽtrique simple que les
triangles OAD et OCB sont semblables mais non isoméŽtriques.

Soit S la similitude qui transforme le triangle OCB en le triangle OAD.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que S est une similitude indirecte diffŽérente d'une rŽéflexion.
		\item Quel est le centre de S ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item DŽéduire de la partie \textbf{A 2} que l'on a OA $\times$  OB =  OC $\times$ OD.
		\item En dŽéduire le module de l'affixe $z_{\text{B}}$ du point B. DŽéterminer un argument de $z_{\text{B}}$.
	\end{enumerate}
\item DŽéterminer l'éŽcriture complexe de S.

\item DéŽterminer la nature et les élŽŽéments caractéristiques 
de S $\circ$ S.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 11 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $f$ dŽéfinie sur $\R$ par 

\[f(x) = \text{e}^x \cos x.\]

On appelle $\mathcal{C}_{f}$ la reprŽésentation graphique de $f$ dans un repère orthogonal.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Montrer que pour tout rŽéel $x$,

\[- \text{e}^x \leqslant f(x) \leqslant \text{e}^x.\]

En dŽéduire que $\mathcal{C}_{f}$ admet une asymptote au voisinage 
de $- \infty$. Quelle est cette asymptote ? 
\item DŽéterminer les abscisses des points d'intersection de $\mathcal{C}_{f}$ avec l'axe des abscisses.
\item On Žétudie $f$ sur l'intervalle $\left[- \dfrac{\pi}{2}~;~+ \dfrac{\pi}{2}\right]$.

DŽémontrer que pour tout réŽel $x \in  \left[- \dfrac{\pi}{2}~;~+
\dfrac{\pi}{2}\right]$ on a :

\[\cos x - \sin x = \sqrt{2} \cos \left(x+ \dfrac{\pi}{4}\right).\]

\item Calculer $f'(x)$, où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$.

Montrer que $f$ est croissante sur	$\left[- \dfrac{\pi}{2}~;~+ \dfrac{\pi}{4}\right]$ et dŽécroissante  sur $\left[+ \dfrac{\pi}{4}~;~+ \dfrac{\pi}{2}\right]$.

Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\left[- \dfrac{\pi}{2}~;~+ \dfrac{\pi}{2}\right]$.

Indiquer les valeurs prises par $f$ en $- \dfrac{\pi}{2},~\dfrac{\pi}{4}$
et $\dfrac{\pi}{2}$.
\item Tracer $\mathcal{C}_{f}$ sur l'intervalle $\left[- \dfrac{\pi}{2}~;~+
\dfrac{\pi}{2}\right]$ sur le graphique ci-dessous

\begin{center}
\psset{unit=0.7cm}\begin{pspicture}(-8,-6)(8,6)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-8,-6)(8,6)
\uput[l](0,4){2}  \uput[l](0,2){1}  \uput[l](0,-2){$-1$}  
\uput[l](0,-4){$-2$}  \uput[dl](0,0){0}
\uput[d](2,0){$0,25\pi$} \uput[d](4,0){$0,5\pi$} 
\uput[d](6,0){$0,75\pi$} \uput[d](-2,0){$-0,25\pi$}
\uput[d](-4,0){$-0,5\pi$} \uput[d](-6,0){$-0,75\pi$}
\end{pspicture}
\end{center}

\item Démontrer que, sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$	l'Žéquation $f(x) = \dfrac{1}{2}$ admet une solution unique $\alpha$.

Trouver, ˆà l'aide de la calculatrice, la valeur approchŽée déŽcimale de $\alpha$ arrondie au centième.
\item On note $f''$ la fonction dŽérivéŽe seconde de $f$. Montrer que 
$f''(x) = - 2\text{e}^x\sin x$.

En dŽéduire que, sur l'intervalle $\left[- \dfrac{\pi}{2}~;~+
\dfrac{\pi}{2}\right]$, le coefficient directeur de la  tangente ˆà $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse $x$ atteint, pour $x = 0$, une valeur maximale que l'on préŽcisera.

Trouver l'Žéquation de la tangente T ˆ$\mathcal{C}_{f}$ en $0$ et tracer T sur le graphique de la question 5.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Pour tout entier naturel $n$, on pose

\[I_{n} = \displaystyle\int_{0}^{\pi} \text{e}^x \cos (nx)\: \text{d}x.\]

\begin{enumerate} 
\item Montrer que, pour tout entier naturel $n,~ \cos 
(n\pi) = (- 1)^n$ et que $\sin (n\pi) = 0$.
\item À l'aide de deux intŽégrations par parties, montrer que :

\[I_{n} = \dfrac{(-1)^n \text{e}^{\pi} - 1}{1 + n^2}.\]

\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, \quad 
$\left|I_{n}\right| \leqslant \dfrac{\text{e}^{\pi} + 1}{1 + n^2}$. 

En dŽéduire $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} I_{n}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

On considère les Žéquations différentielles

\[(\text{E})\qquad y' - 2y - 1 = 0\]

\[(\text{E}')\qquad y' - 2y = 1 - \text{e}^x \sin x\]

où $y$ est une fonction déŽfinie et déŽrivable sur $\R$.

Dire, en le justifiant, si les assertions suivantes sont vraies ou fausses :

\medskip

\begin{enumerate} 
\item (E) admet une fonction polynô™me du premier degrŽé comme solution.
\item Soit $g$ une fonction positive dŽéfinie sur $\R$ ; si $g$ est
solution de (E) alors elle est croissante sur D.
\item La fonction $x \mapsto	3\text{e}^{2x} + \dfrac{1}{2}$ est une solution de (E). 
\item La primitive $F$ de $f$ qui s'annule en 0 est une solution de
(E$'$).
\end{enumerate}
\end{document}