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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small juin 2004} 
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Polynésie juin 2004~\decofourright}}

\vspace{0,25cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats.
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Le laboratoire de physique d'un lycée dispose d'un parc d'oscilloscopes
 identiques. La durée de vie en années d'un oscilloscope est une variable
 aléatoire notée $X$ qui suit la \og loi de durée de vie sans vieillissement \fg{} (ou encore loi exponentielle de paramètre $\lambda$ avec $\lambda > 0$.
 
Toutes les probabilités seront données à $10^{-3}$ près.

\begin{enumerate}
\item Sachant que $p(X > 10) = 0,286$, montrer qu'une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $\lambda$ est $0,125$.

On prendra $0,125$ pour valeur de $\lambda$ dans la suite de l'exercice.
\item Calculer la probabilité qu'un oscilloscope du modèle étudié ait une
 durée de vie inférieure à 6 mois.
\item Sachant qu'un appareil a déjà fonctionné huit années, quelle est la
 probabilité qu'il ait une durée de vie supérieure dix ans ?
\item On considère que la durée de vie d'un oscilloscope est indépendante
 de celle des autres appareils. Le responsable du laboratoire décide de
 commander 15 oscilloscopes. Quelle est la probabilité qu'au moins un 
oscilloscope ait une durée de vie supérieure \`a 10 ans ?
\item Combien l'établissement devrait-il acheter d'oscilloscopes pour que
 la probabilité qu'au moins l'un d'entre eux fonctionne plus de 10 ans
 soit supérieure à 0,999 ?

Rappel :

\emph{Loi exponentielle de paramètre $\lambda$ sur $[0~;~+ \infty [$,
 dite aussi loi de durée de vie sans vieillissement }:

pour $0 \leqslant a \leqslant  b,\:p([a~;~b]) = \displaystyle\int_a^b  
\lambda \text{e}^{-\lambda t}\:\text{d}t$  et 

pour $c \geqslant  0,~ p([c~;~+ \infty[) = 1 -  \displaystyle\int_0^c \lambda \text{e}^{-\lambda t}
\:\text{d}t$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidat n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv. 
On prendra pour unité graphique 1~cm.

\begin{enumerate}
\item On désigne par A, B et I les points d'affixes respectives :

\[z_{\text{A}} = 3  + 2\text{i},~\quad  z_{\text{B}} =  -3 \quad \text{ 
et} \quad z_{\text{I}} = 1 - 2\text{i}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Faire une figure que l'on complétera au cours de l'exercice.
		\item Écrire sous forme algébrique le nombre complexe $Z = 
\dfrac{z_{\text{I}} - z_{\text{A}}}{z_{\text{I}} - z_{\text{B}}}$.

Que peut-on en déduire sur la nature du triangle IAB ?
		\item Calculer l'affixe $z_{C}$ du point $C$ image de I par l'homothétie de centre A et de rapport 2.
		\item Soit $D$ le barycentre du système $\left\{(\text{A},~ 1) ~;~ 
(\text{B},~- 1)~;~(C,~1)\right\}$ ;  calculer l'affixe $z_D$ du point $D$.
		\item Montrer que AB$CD$ est un carré.
	\end{enumerate}
\item Déterminer et construire l'ensemble $\Gamma_1$ des points $M$ du plan 
tels que :

\[\left\|\vect{M\text{A}} - \vect{M\text{B}} + \vect{MC}\right\| = 
\dfrac{1}{2}\left\|\vect{M\text{A}} + \vect{MC}\right\|.\]

\item On considère l'ensemble $\Gamma_2$ des points $M$ du plan tels que 

\[\left\|\vect{M\text{A}} - \vect{M\text{B}} + \vect{MC}\right\| = 4\sqrt{5}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que B appartient à $\Gamma_2$.
		\item Déterminer et construire l'ensemble $\Gamma_2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan P est rapporté a un repère orthonormal \Ouv. On prendra pour unité graphique 3 cm.

On considère les points A, B, C et D d'affixes respectives a, b, c et d telles que

\[\text{a} = 3 \qquad  \text{b} = 1 + \dfrac{2}{3}\text{i} \qquad 
\text{c} = 3\text{i} \quad \text{et} \quad   \text{d} = -\dfrac{1}{3}\text{i}.\]

\begin{enumerate}
\item Représenter les points A, B, C et D.
\item Déterminer l'angle $\theta$ et le rapport $k$ de la similitude 
directe $s$ transformant A en B et C en D.
\item Donner l'écriture complexe de $s$. En déduire l'affixe du centre I 
de $s$.
\item Soit $M$ le point de coordonnées $(x~;~ y)$ et $M'(x'~;~ y')$ son image par $s$.

Montrer que : \renewcommand\arraystretch{1.8}$\left\{\begin{array}{l c l}
x' & = &-\dfrac{1}{3}y + 1\\
y' & = & \phantom{-}\dfrac{1}{3}x -\dfrac{1}{3}\\
\end{array} \right.$\renewcommand\arraystretch{1}
\item On construit une suite $\left(M_{n}\right)$ de points du plan en posant 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
\text{M}_{0}& =&\text{A}\\
\multicolumn{3}{l}{\text{et, pour tout entier naturel } n}\\
M_{n+1} &= & s(M_{n})\\
\end{array} \right.\]

Pour tout entier naturel, on note $z_{n}$ l'affixe du point $M_{n}$ et on 
pose $r_{n} = \left|z_{n} -1\right|$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\left(r_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
		\item Déterminer le plus petit entier naturel $k$ tel que I$M_{k} 
\leqslant  10^{-3}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour tout réel $k$ positif ou nul, on considère la fonction $f_k$ définie sur $\R$ par :

\[f_k(x) = x + \dfrac{1 - k\text{e}^x}{1 + k\text{e}^x}.\]
	
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que, pour tout réel $k$ positif ou nul, la fonction $f_k$ est solution de l'équation différentielle :

	\[(\text{E})\qquad : \quad 2y'= (y- x)^2 +1.\]

		\item En déduire le sens de variations de $f_k$ sur $\R$.
	\end{enumerate}
\item On note $\mathcal{C}_k$ la courbe représentative de la fonction $f_k$ dans un repère orthonormal \Oij.

Sur l'annexe, on a représenté la droite D d'équation $y =  x - 1$, la droite D$'$ d'équation $y = x + 1$ et plusieurs courbes $\mathcal{C}_k$ correspondant à des valeurs particulières de $k$. 

Déterminer le réel $k$ associé à la courbe $\mathcal{C}$ passant
 par le point O puis celui associé à la courbe $\mathcal{C}'$ passant par
 le point A de coordonnées (1~;~1).
\item On remarque que, pour tout $x$ réel, on a :

\[f_k(x) = x-1 + \dfrac{2}{1 + k\text{e}^x} \quad (1) \quad \text{et} 
\quad  f_k(x)=x + 1 - \dfrac{2k\text{e}^x}{1 + k\text{e}^x} \quad  (2).\]

En déduire pour tout $k$ strictement positif :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  la position de la courbe $\mathcal{C}_k$ par rapport aux droites D et 
 D$'$.
\item  les asymptotes de la courbe $\mathcal{C}_k$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
\item Cas particulier : $k  = 1$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $f_1$ est impaire
		\item Soit la fonction $F$ définie sur $\R$ par : 

\[F(x) = \displaystyle\int_0^x f_{1}(t) \:\text{d}t.\]

Interpréter graphiquement le réel $F(x)$ dans les deux cas : $x > 0$ et 
$x < 0$.

Déterminer alors la parité de $F$ à l'aide d'une interprétation graphique.
		\item Déterminer les variations de $F$ sur $\R$.
		\item En utilisant l'égalité (2), calculer explicitement $F(x)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On considère la suite $\left(I_{n}\right)_{n \in \N}$	définie par :

\[I_{n} = \displaystyle\int_{0}^1 \dfrac{\text{e}^{-t^2}}{1 + n + 
t}\:\text{d}t.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le  sens de variations de cette suite.
		\item Montrer que $\left(I_{n}\right)_{n \in \N}$ , est une suite positive.
		\item Montrer que pour tout $t \in [0~;~1]$ on a	
$\dfrac{\text{e}^{-t^2}}{1 + t + n} \leqslant \dfrac{1}{1 + n}$ et en 
déduire que  $0 \leqslant I_{n} \leqslant \dfrac{1}{n+1}$.

Que peut-on en conclure quant à la convergence de 
$\left(I_{n}\right)_{n \in \N}$ ?
	\end{enumerate}
\item On considère $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $[0~;~1]$ par :

\[f(x) = \text{e}^{-x}  +x-1 \qquad \text{et}\qquad  g(x) = 1 -x + 
\dfrac{x^2}{2} - \text{e}^{-x}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Étudier le sens de variations et le signe de $f$.
		\item En déduire le sens de variations de $g$ sur $[0~;~1]$. 
		\item Établir, pour tout $x$ appartenant à $[0~;~1]$, l'encadrement :
 
\[ 1 - x \leqslant \text{e}^{-x} \leqslant 1 - x + \dfrac{x^2}{2}.\]

		\item En déduire un encadrement de $\text{e}^{-t^2}$ pour tout $t$ appartenant à $[0~;~1]$. 
		\item Établir l'encadrement :

\[\dfrac{2}{3(n + 2)} \leqslant I_{n} \leqslant  \dfrac{23}{30(n + 
1)}\]

		\item Donner une valeur de $p$ telle que $I_{p} \leqslant 10^{-2}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Document à rendre avec la copie} 

\vspace {1,5cm}

\textbf{Annexe}

\vspace {1,5cm}

\psset{unit=2cm} \begin{pspicture}(-3,-4)(3,4)
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\psplot{-3}{3}{x 1 3  2.71828 x exp  mul  sub 1 3 2.71828 x exp  mul add div add}%C_{3}
\uput[ul](1,1){A}\psdots(1,1) \uput[ul](2,3){D$'$} \uput[dr](-2,-3){D}
\uput[dl](0,0){O} \uput[u](0.5,0.3){$\mathcal{C}$}
\uput[u](2,1.5){\blue $\mathcal{C}'$}
\uput[d](1,0){$\vect{\imath}$} 
\uput[r](0,1){$\vect{\jmath}$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}