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\rhead{A. P{}. M. E. P{}.}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Polynésie juin 2007~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

Pour réaliser une loterie, un organisateur dispose d'une part d'un sac contenant exactement un jeton blanc et 9 jetons noirs indiscernables au toucher et d'autre part d'un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6.

Il décide des règles suivantes pour le déroulement d'une partie.

Le joueur doit tirer un jeton puis jeter le dé :

\setlength\parindent{5mm} 
\begin{itemize}
\item[$\bullet$]  si le jeton est blanc, le joueur perd lorsque le jet du dé donne 6 ;
\item[$\bullet$] si le jeton est noir, le joueur gagne lorsque le jet du dé donne 6. À la fin de la partie, le jeton est remis dans le sac.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\smallskip
 
On note $B$ l'évènement \og le jeton tiré est blanc \fg{} et $G$ l'évènement \og le joueur gagne le jeu \fg. L'évènement contraire d'un évènement $E$ sera noté $\overline{E}$. La probabilité d'un évènement $E$ sera notée $p(E)$.
 
\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $p(G) = \dfrac{7}{30}$. On pourra s'aider d'un arbre pondéré.
\item Quelle est la probabilité que le joueur ait tiré le jeton blanc sachant qu'il a perdu ?
\item Un joueur fait quatre parties de façon indépendante.

Calculer la probabilité qu'il en gagne exactement deux et en donner une valeur approchée à $10^{-3}$, près.
\item Quel nombre minimal de parties un joueur doit-il faire pour que la probabilité d'en gagner au moins une soit supérieure à $0,99$ ?
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

L'organisateur décide de faire de sa loterie un jeu d'argent :

\setlength\parindent{5mm} 
\begin{itemize}
\item[$\bullet$]  chaque joueur paie 1 \euro{} par partie;
\item[$\bullet$]  si le joueur gagne la partie, il reçoit 5 \euro ;
\item[$\bullet$]  si le joueur perd la partie, il ne reçoit rien.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 

\begin{enumerate}
\item On note $X$ la variable aléatoire égale au gain algébrique (positif ou négatif) du joueur à l'issue d'une partie.
	\begin{enumerate}
		\item  Donner la loi de probabilité de $X$ et son espérance E($X$).
		\item  On dit que le jeu est favorable à l'organisateur si E($X) < 0$. Le jeu est-il favorable à l'organisateur ?
	\end{enumerate}
\item L'organisateur décide de modifier le nombre $n$ de jetons noirs ($n$ entier naturel non nul) tout en gardant un seul jeton blanc. Pour quelles valeurs de l'entier $n$ le jeu est-il défavorable à l'organisateur ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. On prendra 1~cm pour unité graphique. Les questions suivantes sont indépendantes.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résoudre, dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes, l'équation :

\[\overline{z} - 3\text{i}z - 3+ 6\text{i} = 0,\:\overline{z}\:\text{ étant le conjugué de } z.\]

\item On considère le point A d'affixe $4 - 2\text{i}$.

Déterminer la forme algébrique de l'affixe du point B tel que OAB soit un triangle équilatéral de sens direct.
\item   Soit D le point d'affixe 2i.
	\begin{enumerate}
		\item Représenter l'ensemble (E) des points $M$ d'affixe $z$ différente de 2i tels que :

\[\text{arg}(z - 2\text{i}) = \dfrac{\pi}{4} + k \times 2\pi (k \in \Z).\]

		\item 	Représenter l'ensemble (F) des points $M$ d'affixe $z$ tels que $z =  2\text{i} + 2 \text{e}^{\text{i}\theta},~\theta$ appartenant à $\R$.
	\end{enumerate}
\item  À tout point $M$ d'affixe $z \neq - 2$, on associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que : $z' = \dfrac{z - 1}{\overline{z} + 2}$.

Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ différente de $-2$ tels que

$\left|z'\right| = 1$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Dans l'espace muni d'un repère orthonormal \Oijk. on considère les points A (1~;~3~;~2), B$(4~;~6~;~-4)$ et le cône ($\Gamma$) d'axe $\left(\text{O},~\vect{k}\right)$, de sommet O et contenant le point A.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer qu'une équation de ($\Gamma$) est $x^2 + y^2 = \dfrac{5}{2}z^2$.
\item 	Soit (P) le plan parallèle au plan $(x\text{O}y)$ et contenant le point B.
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer une équation de (P).
		\item  Préciser la nature de l'intersection (C$_{1}$) de (P) et de ($\Gamma$).
	\end{enumerate}
\item Soit (Q) le plan d'équation $y =  $3. On note (C$_{2}$) l'intersection de ($\Gamma$) et de (Q).

Sans justification, reconnaître la nature de (C$_{2}$) parmi les propositions suivantes :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]   deux droites parallèles ;
\item[$\bullet~$]	deux droites sécantes ;
\item[$\bullet~$]	une parabole ;
\item[$\bullet~$]	une hyperbole ;
\item[$\bullet~$]	un cercle.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soient $x,~y$ et $z$ trois entiers relatifs et $M$ le point de coordonnées $(x~;~y~;~z)$. Les ensembles (C$_{1}$) et (C$_{2}$) sont les sections définies dans la partie A.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On considère l'équation (E): $x^2 + y^2 = 40$ où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs.
\begin{enumerate}
\item  Résoudre l'équation (E). 
\item  En déduire l'ensemble des points de (C$_{1}$) dont les coordonnées sont des entiers relatifs.
\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que si le point $M$ de coordonnées $(x~;~y~;~z)$ où $x,~y$ et $z$ désignent des entiers relatifs est un point de ($\Gamma$) alors $z$ est divisible par 2 et $x^2+ y^2$ est divisible par $10$.
		\item  Montrer que si $M$ est un point de (C$_{2}$), intersection de ($\Gamma$) et de (Q), alors $x^2 \equiv  1~ \text{modulo}~10$.
		\item  Résoudre, dans l'ensemble des entiers relatifs, l'équation $x^2 \equiv 1~\text{modulo}~10$.
		\item  Déterminer un point de (C$_{2}$), distinct de A, dont les coordonnées sont des entiers relatifs.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

Dans l'espace muni d'un repère orthonormal \Oijk, on considère les points A$\left(\dfrac{2}{3}~;~-3~;~2\right)$ et  B$\left(-\dfrac{4}{3}~;~0~;~-4\right)$.

On note I le milieu du segment [AB] et (S) la sphère de diamètre [AB].

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Soit E le barycentre des points pondérés (A ; 2) et (B ; 1).
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer les coordonnées de E.
		\item  Montrer que l'ensemble (P) des points $M$ de l'espace tels que \\$\left\|2\vect{M\text{A}} + \vect{M\text{B}}\right\| = 3\left\|\vect{M\text{O}}\right\|$ est le plan médiateur du segment [OE].
		\item  Montrer qu'une équation du plan (P) est $y = -1$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer le rayon de la sphère (S) et la distance du centre I de la sphère au plan (P).
		
En déduire que l'intersection (C) du plan (P) et de la sphère (S) n'est pas vide.
		\item  Montrer qu'une équation de (C) dans le plan (P) est 
		
$\left(x + \dfrac{1}{3}\right)^2 +  (z + 1)^2 =12$.

En déduire que (C) est un cercle dont on précisera le centre et le rayon.
	\end{enumerate}
\item Soit D le point de coordonnées	$\left(- \dfrac{1}{3}~;~- \dfrac{1}{2}~;~4\sqrt{3} - 1 \right)$.
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer une représentation paramétrique de la droite (ID).
		\item  En déduire que la droite (ID) est sécante au cercle (C) en un point noté F dont on donnera les coordonnées.
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par
 
\[f(x) = 1 + x \ln x.\]

On note $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O~;~I,~J)

Toutes les aires considérées dans ce problème seront exprimées en unités d'aire.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Le but de cette partie est de déterminer un encadrement de l'aire $\mathcal{A}$ du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}_{f}$, et les deux droites d'équations $x = 1$ et $x = 2$.

On note M et N les points de $\mathcal{C}_{f}$ d'abscisses respectives 1 et 2, P et Q leurs projetés orthogonaux respectifs sur l'axe des abscisses. La figure est donnée en annexe.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que $f$ est positive sur [1~;~2].
		\item  Montrer que le coefficient directeur de la droite (MN) est $2\ln 2$.
		\item  Soit E le point d'abscisse $\dfrac{4}{\text{e}}$.
		
Montrer que, sur l'intervalle [1~;~2], le point E est l'unique point de $\mathcal{C}_{f}$ en lequel la tangente à $\mathcal{C}_{f}$ est parallèle à (MN).
		\item  On appelle T la tangente à $\mathcal{C}_{f}$ au point E.\\
Montrer qu'une équation de T est : $y = (2\ln 2)x - \dfrac{4}{\text{e}} + 1$.
	\end{enumerate}
\item   Soit $g$ la fonction définie sur [1~;~2] par : $g(x) = f(x) - \left[(2 \ln 2)x - \dfrac{4}{\text{e}} +  1\right]$.
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que pour tout $x$ de [1~;~2] : $g'(x) = 1 + \ln \left(\dfrac{x}{4}\right)$.
		\item  Étudier les variations de $g$ sur [1~;~2] et en déduire la position relative de $\mathcal{C}_{f}$ et de la tangente T sur cet intervalle.
	\end{enumerate}
\item Soient M$'$ et N$'$ les points d'abscisses respectives 1 et 2 de la droite T. On admet que la courbe $\mathcal{C}_{f}$ reste sous la droite (MN) sur l'intervalle [1 ; 2] et que les points
M$'$ et N$'$ ont des ordonnées strictement positives.
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer les aires des trapèzes MNQP et M$'$N$'$QP.
		\item  En déduire, à l'aide de la calculatrice, un encadrement de $\mathcal{A}$ d'amplitude $10^{-1}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Le but de cette partie est de déterminer la valeur exacte de $\mathcal{A}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item À l'aide d'une intégration par parties, calculer $\displaystyle\int_{1}^2 x \ln x \:\text{d}x$.
\item En déduire la valeur exacte de $\mathcal{A}$.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center} \textbf{ANNEXE} \par \par
\textbf{Cette page ne sera pas à remettre avec la copie}
\par

\bigskip

\psset{xunit=5cm,yunit=5cm}
\begin{pspicture}(-0.2,-0.2)(2.3,2.6)

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