%!TEX encoding = UTF-8 Unicode
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{ulem}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{lscape}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree}
\setlength\paperheight{297mm}
\setlength\paperwidth{210mm}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr} 
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2008}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Polynésie  juin 2008~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation 

\[z^2  - 6z + 13 = 0.\]

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{}
 d'unité graphique 1~cm. On considère les points A, B, C d'affixes respectives 
 
 \[a = 3 - 2\text{i},\quad b = 3 + 2\text{i}, \quad c = 4\text{i}.\]
 
\item  Faire une figure et placer les points A, B, C.
\item  Montrer que OABC est un parallélogramme.
\item  Déterminer l'affixe du point $\Omega $, centre du parallélogramme OABC.
\item  Déterminer et tracer l'ensemble des points $M$ du plan tels que 

$\left\| \vect{M\text{O}}  + \vect{M\text{A}}  + \vect{M\text{B}}  + \vect{M\text{C}} \right\| = 12$.
\item  Soit $M$ un point de la droite (AB). On désigne par $\beta $
 la partie imaginaire de l'affixe du point $M$. On note $N$ l'image du point $M$ par la rotation de centre $\Omega $ et d'angle $\dfrac{\pi }{2}$.
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que $N$ a pour affixe $\dfrac{5}{2} - \beta  + \dfrac{5}{2}\text{i}$.
		\item  Comment choisir $\beta $ pour que $N$ appartienne à la droite (BC) ?
 	\end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip
 
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal \Oijk, on considère les points A(1~;~2~;~3), B(0~;~1~;~4), C$(-1~;~-3~;~2)$, D$(4~;~-2~;~5)$ et le vecteur $\vect{n}(2\;;\;- 1\;;\;1)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que les points A, B, C ne sont pas alignés.
		\item  Démontrer que $\vect{n} $
 est un vecteur normal au plan (ABC).
		\item  Déterminer une équation du plan (ABC).
	\end{enumerate}
\item Soit ($\Delta $) la droite dont une représentation paramétrique est : $\left\{ \begin{array}{l c l}
 x &=& \phantom{-}2 - 2t \\ 
 y &=& - 1 + t \\ 
 z &=& \phantom{-}4 - t \\ 
 \end{array} \right.$
 avec  $t \in \R$.\\
Montrer que le point D appartient à la droite ($\Delta $) et que cette droite est perpendiculaire au plan (ABC).
\item Soit E le projeté orthogonal du point D sur le plan (ABC).

Montrer que le point E est le centre de gravité du triangle ABC.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
\emph{Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une justification de la réponse choisie.\\
Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Soit $f$ la fonction solution sur $\R$ de l'équation différentielle $y' =  - y + 2$  telle que $f(\ln 2) = 1$.

\textbf{Proposition 1} : \og La courbe représentative de $f$ admet au point d'abscisse $0$, une tangente d'équation $y = 2x$ \og.
\item  Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur un intervalle $[A\;;\; + \infty[$  où $A$ est un réel strictement positif.

\textbf{Proposition 2} : \og Si $\displaystyle\lim_{x \to  + \infty} f(x) = 0$  alors $\displaystyle\lim_{x \to  + \infty } f(x)g(x) = 0$ \fg.
\item  On admet qu'un bloc de glace fond en perdant 10\,\% de sa masse par minute.

Sa masse initiale est de 10~kg.

\textbf{Proposition 3} : \og À partir de la soixante-dixième minute, sa masse devient inférieure à 1~g \fg.
\item  Soient $A$ et $B$ deux évènements d'un même univers $\Omega $
 muni d'une probabilité $p$. 
 
\textbf{Proposition 4} : \og Si $A$ et $B$ sont indépendants et si $p(A) = p(B) = 0,4$ alors $p(A \cup 
B) = 0,8$ \fg.
\item  Une usine fabrique des pièces. Une étude statistique a montré que 2\,\% de la production est défectueuse. Chaque pièce est soumise à un contrôle de fabrication. Ce contrôle refuse 99\,\% des pièces défectueuses et accepte 97\,\% des pièces non défectueuses.

On choisit au hasard une pièce avant son passage au contrôle.

\textbf{Proposition 5} : \og La probabilité que la pièce soit acceptée est égale à \np{0,9508} \fg.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats ayant  choisi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
\emph{Pour chacune des propositions suivantes indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une justification de la réponse choisie.\\
 Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Proposition 1} : \og Pour tout entier naturel $n$ non nul, $n$ et $2n + 1$ sont premiers entre eux. \fg
\item  Soit $x$ un entier relatif.

\textbf{Proposition 2} : \og $x^2  + x + 3 = 0\left( {{\rm{modulo}}\; 5} \right)$
 si et seulement si $x \equiv 1\left( {{\rm{modulo}}\; 5} \right)$. \fg
\item  Soit $N$ un entier naturel dont l'écriture en base 10 est $\overline{aba7}$.

\textbf{Proposition 3} : \og Si $N$ est divisible par 7 alors $a + b$
 est divisible par 7. \fg
\item  Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv.

\textbf{Proposition 4} : \og La similitude directe de rapport 2, d'angle $\dfrac{\pi }{6}$  et de centre le point d'affixe $1 - \text{i}$
 a pour écriture complexe $z' = \left( {\sqrt 3  +\text{i}} \right)z + \sqrt 3  - \text{i}\sqrt 3 $. \fg
\item  Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.

On considère un point A. On désigne par $a$ son affixe. On note $s$ la réflexion d'axe $\left(\text{O}\;;\;\vect{u}\right)$ et $s_A $ la symétrie centrale de centre A.
 
\textbf{Proposition 5} : \og L'ensemble des nombres complexes $a$ tels que $s \circ s_{\text{A}}  = s_{\text{A}}  \circ s$
 est l'ensemble des nombres réels. \fg
 \end{enumerate}
 
\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\textbf{Restitution organisée de connaissances}

\medskip

On supposera connus les résultats suivants :

Soient $u$ et $v$ deux fonctions continues sur un intervalle $[a~;~b]$ avec $a < b$.

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  Si $u \geqslant 0$ sur $[a ~;~b]$ alors $\displaystyle\int_{a}^{b} u(x)\:\text{d}x  \geqslant  0$.
 \item  Pour tous réels $\alpha $ et $\beta $ $\displaystyle\int_{a}^{b} \left[ \alpha u(x) + \beta v(x) \right]\:\text{d}x  = \alpha \displaystyle\int_{a}^{b} u(x)\:\text{d}x  + \beta \displaystyle\int_{a}^{b} v(x)\:\text{d}x$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Démontrer que si $f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur un intervalle $[a ~ ; ~b]$ avec $a < b$ et si, pour tout $x$ de $[a~;~b],{} f(x) \leqslant  g(x)$, alors $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\:\text{d}x  \leqslant  \displaystyle\int_{a}^{b} g(x)\:\text{d}x.$

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie sur $[0\;;\;+ \infty[$
 par : 

 \[f(x) = x + \ln \left( 1 + \text{e}^{ - x}  \right).\]
 
Sa courbe représentative $(\mathcal{C})$ ainsi que la droite (D) d'équation $y = x$ sont données ci-dessous dans un repère orthonormal d'unité graphique 2~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Montrer que $f$ est croissante et positive sur $[ 0\;;\; + \infty[$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que la courbe $(\mathcal{C})$ admet pour asymptote la droite (D). 
		\item  Étudier la position de $(\mathcal{C})$ par rapport à (D).
	\end{enumerate} 
\item Soit I l'intégrale définie par : I $= \displaystyle\int_{0}^{1} \ln \left( 1 + \text{e}^{- x} \right)\:\text{d}x  = \displaystyle\int_{0}^{1} [ f(x) - x]\:\text{d}x$.

 On ne cherchera pas à calculer I.
\begin{enumerate}
\item  Donner une interprétation géométrique de I.
\item  Montrer que pour tout réel $t \geqslant  0$, on a $\ln \left( {1 + t} \right) \leqslant  t$.
(On pourra étudier les variations de la fonction $g$ définie sur $[0\;;\; + \infty[$  par $g(t) = \ln (1 + t) - t$.)
On admettra que pour tout réel $t \geqslant  0$, on a $\dfrac{t}{{t + 1}} \leqslant  \ln ( 1 + t )$.
\item  En déduire que pour tout $x$ de $[0\;;\;+ \infty[$
, on a : 

$\dfrac{{\text{e}^{ - x} }}{{\text{e}^{ - x}  + 1}} \leqslant  \ln \left( 1 + \text{e}^{ - x}  \right) \leqslant  \text{e}^{- x} $.
\item  Montrer que $\ln \left( \dfrac{2}{{1 + \text{e}^{ - 1} }} \right) \leqslant  \text{I} \leqslant  1 - \text{e}^{ - 1}.$
\item  En déduire un encadrement de I d'amplitude $0,4$ par deux nombres décimaux.
\end{enumerate}
\item  On désigne par $M$ et $N$ les points de même abscisse $x$ appartenant respectivement à $(\mathcal{C})$ et (D).

On juge que $M$ et $N$ sont indiscernables sur le graphique lorsque la distance $MN$ est inférieure à $0,5$~mm.

Déterminer l'ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles $M$ et $N$ sont indiscernables.

\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE à rendre avec la copie}
\end{center}
 
\medskip
 
\textbf{EXERCICE 4}
 
\bigskip \bigskip
 
\begin{center}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(6.51,5.51)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=4,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(7,6)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,0)(6.5,5.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot{0}{5.5}{x}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0}{5.5}{2.71828 x neg exp 1 add ln x add}
\uput[u](1,1.35){\blue $(\mathcal{C})$} \uput[d](1,1){D}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{document}