\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{ulem}
\usepackage{graphics}
\usepackage{lscape}
\usepackage{textcomp}
\newcommand{\euro}{\texteuro{}}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat ES},
pdftitle = {Nouvelle-Calédonie novembre 2008},
allbordercolors = white}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{ A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small septembre 2008}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S (obligatoire) Polynésie septembre 2008~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points}

\medskip

\emph{On rappelle que la probabilité d'un évènement $A$ sachant que l'évènement $B$ est réalisé se note $p_{B}(A)$.}

Une urne contient au départ 30~boules blanches et 10~boules noires indiscernables  au toucher.

On tire au hasard une boule de l'urne :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] si la boule tirée est blanche, on la remet dans l'urne et on ajoute $n$ boules blanches supplémentaires.
\item[$\bullet~$] si la boule tirée est noire, on la remet dans l'urne et on ajoute $n$ boules noires supplémentaires.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On tire ensuite au hasard une seconde boule de l'urne.

On note :
 
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $B_{1}$ l'évènement : \og on obtient une boule blanche au premier tirage \fg
\item[$\bullet~$] $B_{2}$ l'évènement : \og on obtient une boule blanche au second tirage \fg
\item[$\bullet~$] $A$ l'évènement : \og les deux boules tirées sont de couleurs différentes \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans cette question, on prend $n = 10$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité $p\left(B_{1} \cap B_{2}\right)$ et montrer que $p\left(B_{2}\right) = \dfrac{3}{4}$.
		\item Calculer $p_{B_{2}}\left(B_{1}\right)$.
		\item Montrer que $p(A) = \dfrac{3}{10}$.
	\end{enumerate}
\item	On prend toujours $n = 10$.

Huit joueurs réalisent l'épreuve décrite précédemment de manière identique et indépendante.

On appelle $X$ la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre de réalisations de l'évènement $A$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $p(X =  3)$. (On donnera la réponse à $10^{-2}$ près).
		\item Déterminer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$.
	\end{enumerate}
\item Dans cette question $n$ est un entier supérieur ou égal à $1$.

Existe-t-il une valeur de $n$ pour laquelle $p(A) = \dfrac{1}{4}$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\medskip

\emph{On donne la propriété suivante :}

\emph{\og par un point de l'espace il passe un plan et un seul orthogonal à une droite donnée \fg}

\medskip

Sur la figure donnée en annexe,  on a représenté le cube ABCDEFGH d'arête 1.

On a placé :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[] les points I et J tels que  $\vect{\text{BI}}= \dfrac{2}{3}\vect{\text{BC}}$ et $\vect{\text{EJ}}= \dfrac{2}{3}\vect{\text{EH}}$.
\item[] le milieu K de [IJ].
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On appelle P le projeté orthogonal de G sur le plan (FIJ).

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le triangle FIJ est isocèle en F.

En déduire que les droites (FK) et (IJ) sont orthogonales.

\medskip

On admet que les droites (GK) et (IJ) sont orthogonales.
\item Démontrer que la droite (IJ) est orthogonale au plan (FGK).
\item Démontrer que la droite (IJ) est orthogonale au plan (FGP).
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les points F, G, K et P sont coplanaires.
		\item En déduire que les points F, P et K sont alignés.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

L'espace est rapporté au repère orthonormal $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}},~\vect{\text{AE}}  \right)$.

On appelle $N$ le point d'intersection de la droite (GP) et du plan (ADB).

On note $(x~;~y~;~0)$ les coordonnées du point $N$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner les coordonnées des points F, G, I et J.
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que la droite (G$N$) est orthogonale aux droites (FI) et (FJ).
		\item  Exprimer les produits scalaires $\vect{\text{G}N} \cdot \vect{\text{FI}}$ et $\vect{\text{G}N} \cdot \vect{\text{FJ}}$ en fonction de $x$ et $y$.
		\item  Déterminer les coordonnées du point $N$.
	\end{enumerate}
\item Placer alors le point P sur la figure en annexe.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\begin{center}
\textbf{Les parties A et B sont indépendantes.}
\end{center}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère l'ensemble (E) des suites $\left(x_{n}\right)$ définies sur $\N$ et vérifiant la relation suivante :

\[\text{pour tout entier naturel $n$ non nul,} \quad x_{n+1} - x_{n} = 0,24x_{n-1}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère un réel $\lambda$ non nul et on définit sur $\N$ la suite $\left(t_{n}\right)$ par $t_{n} = \lambda^n$.

Démontrer que la suite $\left(t_{n}\right)$ appartient à l'ensemble (E) si et seulement si $\lambda$ est solution de l'équation $\lambda^2 - \lambda - 0,24 = 0$.

En déduire les suites $\left(t_{n}\right)$ appartenant à l'ensemble (E).

On admet que (E) est l'ensemble des suites $\left(u_{n}\right)$ définies sur $\N$ par une relation de la forme :
\[u_{n} = \alpha(1,2)^n + \beta(-0,2)^n \quad  	\text{où}~ \alpha~ \text{et}~\beta~ \text{sont deux réels.}\]

\item  On considère une suite $\left(u_{n}\right)$ de l'ensemble (E).

Déterminer les valeurs de $\alpha$ et $\beta$ telles que $u_{0} = 6$ et $u_{1} =  6,6$.

En déduire que, pour tout entier naturel $n,~ u_{n} = \dfrac{39}{7}(1,2)^n + \dfrac{3}{7}(- 0,2)^n$.
\item Déterminer $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_{n}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie sur $\N$ par :

\[v_{0} =  6~ \text{et, pour tout entier naturel}~ n,~v_{n+1} =  1,4v_{n} - 0,05v_{n}^2\]

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = 1,4x - 0,05x^2$.
	\begin{enumerate}
		\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~8].
		\item Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$,
		
$0 \leqslant v_{n} < v_{n+1} \leqslant 8$.
	\end{enumerate}
\item En déduire que la suite $\left(v_{n}\right)$ est convergente et déterminer sa limite $\ell$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 6 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 

\[f(x) = \ln \left(\text{e}^x + 2\text{e}^{-x}\right).\]

La courbe $(\mathcal{C})$ représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal est donnée en annexe.

\medskip

\textbf{Partie A - Étude de fonction}~\boldmath $f$. \unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout réel $x,~ f(x) = x + \ln \left(1 + 2\text{e}^{-2x}\right)$.

On admet que, pour tout réel $x,~f(x) = - x +  \ln \left(2 + \text{e}^{2x}\right)$.
\item Calculer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$ et montrer que la droite (d) d'équation $y = x$ est asymptote à $(\mathcal{C})$.

Étudier la position relative de $(\mathcal{C})$ et de (d).
\item Calculer $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x)$ et montrer que la droite (d$'$) d'équation $y = -x + \ln 2$ est asymptote à $(\mathcal{C})$.
\item Étudier les variations de la fonction $f$.

Montrer que le minimum de la fonction $f$ est égal à $\dfrac{3}{2}\ln 2$.
\item Tracer les droites (d) et (d$'$) sur la feuille annexe.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B - Encadrement d'une intégrale.}

\medskip

On pose $I = \displaystyle\int_{2 }^3 [f(x) - x]\:\text{d}x$.
\begin{enumerate}
\item Donner une interprétation géométrique de $I$.
\item Montrer que, pour tout $X \in [0~;~+\infty[,~\ln(1 + X) \leqslant X$.
\item En déduire que $0 \leqslant I \leqslant \displaystyle\int_{2 }^3 2\text{e}^{-2x}\:\text{d}x$ et donner un encadrement de $I$ d'amplitude $0,02$.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
{\large \textbf{Annexe}}

\vspace{0,5cm}

\emph{Cette page sera complétée et remise avec la copie à la fin de l'épreuve.}

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{EXERCICE 2}

\bigskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,5)
\uput[dr](1,1.1){A} \uput[dl](0,0){B} \uput[dr](4,0){C} 
\uput[dr](5,1.1){D} \uput[ul](1,5){E} \uput[ul](0,4){F} 
\uput[dr](4,4){G} \uput[ur](5,5){H} \uput[d](2.7,0){I} 
\uput[u](3.65,5){J} \uput[l](3.2,2.5){K}
\psframe(4,4) \psline(4,0)(5,1.1)(5,5)(1,5)(0,4)%CDHEF
\psline(4,4)(5,5)%GH
\pspolygon(2.7,0)(4,4)(3.65,5)%IGJ
\psline[linestyle=dashed](0,0)(1,1.1)(1,5)
\psline[linestyle=dashed](1,1.1)(5,1.1)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](3.175,2.5) 
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{EXERCICE 4}

\bigskip

\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-6,0)(6,6)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,0)(-6,0)(6,6)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-6,0)(6,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-5.3}{6}{2.71828 x exp 2 2.71828 x exp div  add ln} 
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}