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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Polynésie (enseignement obligatoire)}}
\rfoot{\small{septembre 2011}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S (obligatoire) Polynésie~\decofourright\\[7pt]
septembre 2011}}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Les $300$ personnes travaillant dans un immeuble de bureaux de trois niveaux ont répondu aux deux questions suivantes :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] \og À quel niveau est votre bureau ? \fg
\item[$\bullet~~$] \og Empruntez-vous l'ascenseur ou l'escalier pour vous y rendre ? \fg
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Voici les réponses :
 
\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 225 personnes utilisent l'ascenseur et, parmi celles-ci, 50 vont au 1\up{er} niveau, 75 vont au 2\up{e} niveau et 100 vont au 3\up{e} niveau.
\item[$\bullet~~$] Les autres personnes utilisent l'escalier et, parmi celles-ci, un tiers va au 2\up{e} niveau, les autres vont au 1\up{er} niveau.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On choisit au hasard une personne de cette population.

On pourra considérer les évènements suivants :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item $N_{1}$ : \og La personne va au premier niveau. \fg 
\item $N_{2}$ : \og La personne va au deuxième niveau. \fg 
\item $N_{3}$ : \og La personne va au troisième niveau. \fg
\item $E$\phantom{$_{1}$} : \og La personne emprunte l'escalier. \fg
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Traduire l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la probabilité que la personne aille au 2\up{e} niveau par l'escalier est  
égale à $\dfrac{1}{12}$.
		\item Montrer que les évènements $N_{1}$, $N_{2}$ et $N_{3}$ sont équiprobables.
		\item Déterminer la probabilité que la personne emprunte l'escalier sachant qu'elle va au 2\up{e} niveau.
	\end{enumerate}
\item On interroge désormais 20~personnes de cette population. On suppose que leurs réponses sont indépendantes les unes des autres.
 
On appelle $X$ la variable aléatoire qui, aux 20~personnes interrogées, associe le nombre de 
personnes allant au 2\up{e} niveau.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
		\item Déterminer, à $10^{-4}$ près, la probabilité que 5 personnes exactement aillent au 2\up{e} niveau.
		\item En moyenne sur les 20~personnes, combien vont au 2\up{e} niveau ?
	\end{enumerate}
\item Soit $n$ un entier inférieur ou égal à $300$. On interroge désormais $n$ personnes de cette population. On suppose que leurs réponses sont indépendantes les unes des autres.

Déterminer le plus petit entier $n$ strictement positif tel que la probabilité de l'évènement \og au moins une personne va au 2\up{e} niveau \fg{} soit supérieure ou égale à $0,99$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
On rappelle que pour tous les points E et F de l'espace, $\text{EF}^2 = \vect{\text{EF}}^2 = \vect{\text{EF}} \cdot  \vect{\text{EF}}$.

Soient A et B deux points distincts de l'espace et I le milieu de [AB].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que, pour tout point $M$ de l'espace, on a :  

\[M\text{A}^2 + M\text{B}^2 = 2M\text{I}^2 + \dfrac{1}{2} \text{AB}^2.\]

\item Déterminer la nature de l'ensemble (E) des points $M$ de l'espace tels que 

\[M\text{A}^2 + M\text{B}^2 =  \text{AB}^2.\]

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

L'espace est rapporté à un repère orthonormal \Oijk.

On considère les plans (P) et (Q) d'équations respectives : $3x + 4y + z - 1 = 0$ et 

$x - 2y - z + 5 = 0$ et les points A et B de coordonnées respectives $(-1~;~0~;~4)$ et $(3~;~-4~;~2)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que les plans (P) et (Q) sont sécants.

On nomme $(\Delta)$ la droite d'intersection des plans (P) et (Q). 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le point A appartient à la droite $(\Delta)$. 
		\item Montrer que $\vect{u}(1~;~-2~;~5)$ est un vecteur directeur de la droite $(\Delta)$. 
		\item Déterminer un système d'équations paramétriques de la droite $(\Delta)$.
	\end{enumerate}
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

Soit (E) l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que $M\text{A}^2 + M\text{B}^2 = \text{AB}^2$.

Déterminer l'ensemble des points d'intersection de (E) et de la droite $(\Delta)$. On précisera les coordonnées de ces points.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. L'unité graphique est 1~cm.

On désigne par A, B et C les points d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 2 - 3\text{i}, \:z_{\text{B}} = \text{i}$ et $z_{\text{C}} = 6 - \text{i}$.

On réalisera une figure que l'on complétera au fur et à mesure des questions. 

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $\dfrac{z_{\text{B}} - z_{\text{A}}}{z_{\text{C}} - z_{\text{A}}}$. 
\item En déduire la nature du triangle ABC.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
On considère l'application $f$ qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ distincte de i, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que : 

\[z' = \dfrac{\text{i}(z - 2 + 3\text{i})} {z - \text{i}} \]

\begin{enumerate}
\item Soit D le point d'affixe $z_{\text{D}} = 1 - \text{i}$. Déterminer l'affixe du point D$'$ image du point D par $f$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer qu'il existe un unique point, noté E, dont l'image par l'application $f$ est le point d'affixe 2i. 
		\item Démontrer que E est un point de la droite (AB).
	\end{enumerate} 
\item Démontrer que, pour tout point $M$ distinct du point B, O$M' = \dfrac{\text{A}M}{\text{B}M}$. 
\item Démontrer que, pour tout point $M$ distinct du point A et du point B, on a l'égalité :

\[\left(\vect{u},~\vect{\text{O}M'} \right) = \left(\vect{\text{B}M},~\vect{\text{A}M} \right) + \dfrac{\pi}{2}\:\text{à}\:2\pi\:\text{près}.\] 

\item Démontrer que si le point $M$ appartient à la médiatrice du segment [AB] alors le point $M'$ 
appartient à un cercle dont on précisera le centre et le rayon. 
\item Démontrer que si le point $M'$ appartient à l'axe des imaginaires purs, privé du point B, alors le point $M$ appartient à la droite (AB).
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\medskip

\textbf{Partie A Question de cours}

\medskip

Soit I un intervalle de $\R$.

Soient $u$ et $v$ deux fonctions continues, dérivables sur I telles que les fonctions dérivées $u'$ et $v^{\prime}$ soient continues sur I. 

Rappeler et démontrer la formule d'intégration par parties sur un intervalle $[a~;~b]$ de I.

\medskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ par :

\[f(x) = (x - 1)^2 \text{e}^{-x}\quad \text{et}\quad  g(x) = \dfrac{3}{2}(x - 1)^2.\]
 
On note respectivement $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$ les courbes représentatives de $f$ de $g$ dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij.
 
Les courbes sont tracées en annexe.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées des points communs à $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$. 
		\item Donner les positions relatives de $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$ sur $\R$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de deux intégrations par parties successives, déterminer $\displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x$.
		\item Calculer, en unités d'aire, l'aire de la partie du plan limitée par les courbes $\mathcal{C}_{1}$,\:$\mathcal{C}_{2}$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par : 

\[u_{n} = \int_{0}^1  (x - 1)^{2n} \text{e}^{- x}\:\text{d}x.\]

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout $x$ de [0~;~1] et pour tout entier naturel $n$ non nul, 

\[0 \leqslant  (x - 1)^{2n} \text{e}^{- x} \leqslant (x - 1)^{2n}.\]

		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a :

\[0 \leqslant u_{n} \leqslant \dfrac{1}{2n + 1}.\] 

	\end{enumerate}
\item En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente et déterminer sa limite.
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{\large ANNEXE}

\vspace{1cm}
\begin{flushleft} 
\textbf{EXERCICE 4 }
\end{flushleft}

\vspace{1cm}
\textbf{Cette page ne sera pas à rendre avec la copie}

\vspace{1cm} 

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