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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{septembre 2010}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}
\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large{\textbf{ \decofourleft~Baccalauréat S (obligatoire) Polynésie~\decofourright\\[7pt]septembre 2010}}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points}

\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

\emph{Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la suite $\left(t_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : 

\[t_{0} = 0~\text{et pour tout entier naturel}~n,~t_{n+1} = t_{n} +  \dfrac{1}{(n + 1)(n + 2)}.\]
\textbf{Proposition 1} : Pour tout entier naturel $n,~t_{n} = \dfrac{n}{n+1}$. 

\item  On considère trois suites $\left(u_{n}\right),~\left(v_{n}\right)$ et $\left(w_{n}\right)$ définies sur $\N$ telles que :

\[\text{pour tout entier naturel}~n,~ u_{n} \leqslant w_{n} \leqslant v_{n}.\]

\textbf{Proposition 2} : Si les suites $\left(u_{n}\right)$et $\left(v_{n}\right)$ sont adjacentes alors la suite $\left(w_{n}\right)$ est convergente.

\item  Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies et continues sur l'intervalle [0~;~1].

\textbf{Proposition 3} : Si $\displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x = \displaystyle\int_{0}^1 g(x)\:\text{d}x$ alors $f = g$ sur l'intervalle [0~;~1]. 

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv{} (unité : 1~cm).

On fera une figure que l'on complétera au fur et à mesure des questions.

\medskip

On considère les points A, B, S et $\Omega$ d'affixes respectives $a = -2 + 4\text{i},~b = -4 + 2\text{i},$

$s = -5 + 5\text{i}$ et $\omega = -2 + 2\text{i}$.

\medskip

Soit $h$ l'homothétie de centre S et de rapport $3$.

On appelle C l'image du point A par $h$ et D l'image du point B par $h$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'écriture complexe de $h$.
		\item Démontrer que le point C a pour affixe $c = 4 + 2\text{i}$ et que le point D a pour affixe $d = - 2 - 4\text{i}$.
	\end{enumerate}
\item Démontrer que les points A, B, C et D sont sur un même cercle dont on précisera le centre et le  rayon.
\item Démontrer que la droite (S$\Omega$) est la médiatrice du segment [AB]. 
\item Soit P le milieu du segment [AC].
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'affixe $p$ du point P.
		\item Démontrer que $\dfrac{\omega - p}{d - b} = - \dfrac{1}{2}\text{i}$. En déduire une mesure de l'angle $\left(\vect{\text{BD}}~;~\vect{\text{P}\Omega}\right)$.
	\end{enumerate}
\item Soit Q le milieu du segment [BD].
 
Que représente le point $\Omega$ pour le triangle PQS ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

Un jeu consiste à tirer simultanément 4 boules indiscernables au toucher d'un sac contenant une boule noire et 9~boules blanches, puis à lancer un dé bien équilibré à six faces numérotées de 1 à 6.
 
Si la boule noire est tirée, il faut obtenir un nombre pair avec le dé pour gagner. Si la boule noire n'est pas tirée, il faut obtenir un six avec le dé pour gagner.
 
On appelle $N$ l'évènement \og la boule noire figure parmi les boules tirées \fg{} et $G$ l'évènement \og le joueur gagne \fg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la probabilité de l'évènement $N$.
		\item Démontrer que la probabilité de l'évènement $G$ est égale à $\dfrac{3}{10}$.On pourra s'aider d'un arbre  pondéré.
		\item Le joueur ne gagne pas. Quelle est la probabilité qu'il ait tiré la boule noire ?
	\end{enumerate}
\item Pour jouer à ce jeu, une mise de départ de $m$ euros est demandée, où $m$ est un réel strictement positif.

\setlength\parindent{5mm}
\begin{description}
\item[ ] Si le joueur gagne, il reçoit 4 euros.
\item[ ] S'il ne gagne pas mais qu'il a tiré la boule noire, le joueur récupère sa mise.
\item[ ] S'il ne gagne pas et qu'il n'a pas tiré la boule noire, le joueur perd sa mise.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}

On appelle $X$ la variable aléatoire donnant le gain algébrique du joueur.

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la loi de probabilité de $X$.
		\item Exprimer l'espérance mathématique de $X$ en fonction de $m$.
		\item On dit que le jeu est équitable si l'espérance mathématique de $X$ est nulle.

Déterminer $m$ pour que le jeu soit équitable.
	\end{enumerate}
\item Soit $n$ un entier naturel non nul.

On joue $n$ fois à ce jeu sachant qu'après chaque partie les boules sont remises dans le sac.

Déterminer la valeur minimale de $n$ pour laquelle la probabilité de gagner au moins une fois est supérieure à $0,999$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

\textbf{Partie 1}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par $g(x) = \text{e}^x - x\text{e}^x + 1$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $g$ en $+ \infty$. 
\item Étudier les variations de la fonction $g$. 
\item Donner le tableau de variations de $g$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que l'équation $g(x) = 0$ admet sur $[0~;~+\infty[$ une unique solution. On note $\alpha$ cette solution.
		\item À l'aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de $\alpha$.
		\item Démontrer que $\text{e}^{\alpha} = \dfrac{1}{\alpha - 1}$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie 2}

\medskip

Soit $A$ la fonction définie et dérivable sur $[0~;~+\infty[$ telle que $A(x) = \dfrac{4x}{\text{e}^x + 1}$.

\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout réel $x$ positif ou nul, $A'(x)$ a le même signe que $g(x)$, où $g$ est la fonction définie dans la partie 1.
\item En déduire les variations de la fonction $A$ sur $[0~;~+\infty[$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie 3}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par $f(x) = \dfrac{4}{\text{e}^x + 1}$.

On note $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé \Oij.

La figure est donnée en annexe.

Pour tout réel $x$ positif ou nul, on note :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{description}
\item[ ] $M$ le point de $(\mathcal{C})$ de coordonnées $(x~;~f(x))$,
\item[ ] $P$ le point de coordonnées $(x~;~0)$,
\item[ ] $Q$ le point de coordonnées $(0~;~f(x))$.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que l'aire du rectangle O$PMQ$ est maximale lorsque $M$ a pour abscisse $\alpha$.

On rappelle que le réel $\alpha$ a été défini dans la partie 1.
\item Le point $M$ a pour abscisse $\alpha$.

La tangente (T) en $M$ à la courbe $(\mathcal{C})$ est-elle parallèle à la droite $(PQ)$ ?

\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\large ANNEXE}
\end{center}

\vspace{1,5cm}

\textbf{Cette page ne sera pas à rendre avec la copie.}

\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\vspace{1,5cm}

\begin{center}
\psset{unit=2.4cm}
\begin{pspicture}(-1,-2)(4,3)
\uput[d](3.9,0){$x$} \uput[l](0,2.9){$y$}
\uput[dl](0,0){O} \uput[ur](2.5,0.3){\blue $\mathcal{C}$}
\psgrid[subgriddiv=6,gridcolor=orange,gridlabels=0](-1,-2)(4,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1,-2)(4,3)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{4}{4 2.71828 x exp 1 add div}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}