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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
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\lfoot{\small{Polynésie}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat S Polynésie septembre 1998~\decofourright}}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Durée : 4 heures}

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
Le plan (P) est muni du repère orthonormal direct \Ouv{} (unité graphique : $2$~cm).

À tout point $M$ du plan (P) est associé le nombre complexe $z$, affixe du point $M$.

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes
			
\[z_1 = - 1,\quad  z_2 = \dfrac{1 - \text{i}\sqrt{3}}{2},~z_3 = - 1 - 
\text{i}\sqrt{3}.\]

		\item Déterminer le module et un argument de chacun des cubes $z_1^3,~ z_2^3,~ z_3^3$ des complexes ci-dessus, puis la partie réelle et la partie imaginaire de $z_1^3$, de $z_2^3$ et de $z_3^3$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Si $z = x + \text{i}y = \rho\text{e}^{\text{i}\theta}$ est un nombre complexe (avec $,~ y$ et $\theta$ réels et $\rho$ réel supérieur à zéro), déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de $z^3$ en fonction de $x$ et $y$, puis le module et un argument de $z^3$ en fonction de $\rho$ et $\theta$.
		\item Déterminer l'ensemble (E) des points $M$ d'affixe $z$ caractérisé par : $z^3$ est un nombre réel.
		\item Déterminer et tracer l'ensemble (E$'$) des points $M$ d'affixe $z$, caractérisé  par :
$z^3$ est un nombre réel et $1 \leqslant z^3 \leqslant  8$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip
 
Dans l'espace muni du repère orthonormal direct \Oijk, nous considérons les points A de coordonnées (0~;~6~;~0), B de coordonnées (0~;~0~;~8), C de coordonnées (4~;~ 0~;~8).

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Réaliser la figure comportant les points définis dans l'exercice (unité graphique : $1$~cm). 

		\item Démontrer que :

$\bullet~$ les droites (BC) et (BA) sont orthogonales ; 

$\bullet~$ les droites (CO) et (OA) sont orthogonales ; 

$\bullet~$ la droite (BC) est orthogonale au plan (OAB). 

		\item Déterminer le volume, en cm$^3$, du tétraèdre OABC. 

		\item Démontrer que les quatre points O, A, B, C se trouvent sur une sphère dont vous déterminerez le centre et le rayon. 
	 \end{enumerate}
\item À tout réel $k$ de l'intervalle ouvert ]0 ; 8[, est associé le point $M(0~;~0~;~k)$.
Le plan ($\pi$) qui contient $M$ et est orthogonal la droite (OB) rencontre les droites (OC), (AC), (AB) respectivement en $N,~ P,~ Q$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la nature du quadrilatère ($MNPQ$).
		\item La droite ($PM$) est-elle orthogonale à la droite (OB) ? Pour quelle valeur de $k$, la droite ($MP$) est-elle orthogonale à la droite (AC) ?
		\item Déterminer $MP^2$ en fonction de $k$. Pour quelle valeur de $k$, la  distance $PM$ est-elle minimale ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème \hfill 	10 points}

\medskip
 
L'objectif est d'étudier quelques propriétés de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[- 1~;~+ \infty[$ par :

\[f(x) = (1 - x^2)\text{e}^{-x}.\]

\medskip

\textbf{Partie A}
 
\textbf{Variations de}~\boldmath  $f$\unboldmath ~ \textbf{et tracé de la courbe (F)}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[- 1~;~+ \infty[$ par : 

\[f(x) = (1 - x^2)\text{e}^{-x}.\]

Dans le plan (P) muni du repère orthonormal \Oij{} (unité graphique : $2$~cm)  la représentation graphique de la fonction $f$ est notée (F).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite en $+ \infty$ de $f$ : interpréter graphiquement ce résultat. 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer, suivant les valeurs de $x$ de l'intervalle 
$[- 1~;~+ \infty[$, le signe de $x^2 - 2x - 1$ et celui de $f(x)$. 
		\item Déterminer la fonction dérivée $f'$ de $f$.  En déduire le sens de variations de $f$ puis dresser son tableau de variations ; préciser les valeurs exactes du  minimum et du maximum.
	\end{enumerate}
\item Déterminer une équation de la tangente notée (T) la courbe (F)
au point A de (F) dont l'abscisse est 0.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la valeur exacte et une valeur décimale approchée à $0,1$  près de chacun des coefficients directeurs des tangentes à la courbe (F) en B(1 ; 0) 
et C$(- 1~;~0)$. 
		\item Tracer les trois tangentes à la courbe (F) en A, B(1~;~0) et C$(- 1~;~0)$ et la courbe (F).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
\textbf{Intégrales et aires}

\medskip

Les surfaces $S$ et $S_1(u)$ du plan (P), où $u$ est un réel donné de l'intervalle  $[1~;~+ \infty[$  sont définies par :

$S$ est l'ensemble des points $M(x~;~ y)$ tels que : $0 \leqslant  x 
\leqslant 1$ et $0 \leqslant y \leqslant f(x)$,

$S_1(u)$ est l'ensemble des points $M(x~;~y)$ tels que $1 \leqslant	x \leqslant u$ et $f(x) \leqslant y \leqslant 0$.
 
Les aires respectives de ces surfaces sont notées $\mathcal{A},~ 
\mathcal{A}_1(u)$. Leurs valeurs exactes seront exprimées en unités d'aire.

\begin{enumerate}
\item Justifier l'existence de l'intégrale $\displaystyle\int_1^x 
f(t)\:\text{d}t$ où $x$ est un réel positif.

En procédant à deux intégrations par parties successives, déterminer
cette intégrale. 

\item En déduire la valeur exacte de $\displaystyle\int_1^0 
f(t)\:\text{d}t$. 

En déduire la valeur exacte de l'aire $\mathcal{A}$. 

\item Déterminer, en fonction de $u$ où $u \geqslant 1$, l'aire $\mathcal{A}_1(u)$ puis la limite, lorsque $u$ tend vers $+ \infty$, de $\mathcal{A}_1(u)$.

Interpréter graphiquement ce résultat.

\item L'objectif est de déterminer le réel $\alpha$ supérieur ou égal à 1 pour lequel 

$\mathcal{A}_1(\alpha) = \mathcal{A}$.

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, sur l'intervalle $[1~;~+ \infty[$, l'équation $\mathcal{A}_1(x) = \mathcal{A}$ est équivalente à : $x = 2 \ln(1 + x)$. 
		\item Étudier le sens de variations de la fonction $h$ définie sur l'intervalle
		
$[1~;~+\infty[$ par $h(x) = x - 2\ln (1 + x)$.

Démontrer que, sur l'intervalle $[1~;~+\infty[$, l'équation $x = 2 
\ln(1 + x)$ admet exactement une solution et que celle-ci, notée $\alpha$, vérifie la condition 

$2< \alpha < 3$.
		\item  Déterminer, en indiquant la méthode utilisée, un encadrement d'amplitude $10^{-3}$ de $\alpha$.

Déterminer $f(\alpha)$ sous la forme d'une fonction rationnelle de $\alpha$ puis l'encadrement de $f(\alpha)$, que vous pouvez déduire du précédent, d'amplitude  $2 \times 10^{-4}$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}