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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{A. P. M. E. P.}\rhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{septembre 2001}}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Polynésie septembre 2001~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Pour tout naturel $n \geqslant 1$ on pose :
\[I_n = \dfrac{1}{2^{n+1}n!} \displaystyle\int_0^1 (1 - 
t)^n\text{e}^{\frac{t}{2}}\:\text{d}t.\]

\begin{enumerate} 
\item À l'aide d'une intégration par parties, calculer 
I$_1$.

\item Démontrer que pour tout naturel $n \geqslant  1$ on a :

\[I_{n+1} = I_n - \dfrac{1}{2^{n+1}(n+1)!}.\]

\item En déduire par récurrence que pour tout naturel $n \geqslant  1$ on a :

\[\sqrt{\text{e}} = 1 + \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{1!} + \cdots  + 
\dfrac{1}{2^n} \cdot \dfrac{1}{n!} + I_n.\]

\item Montrer que l'on peut trouver une constante A telle que :
\[ 0 \leqslant I_n \leqslant  \dfrac{1}{2^n n!}\text{A}.\]

On pourra déterminer A en majorant la fonction :
\[t \longmapsto (1 - t)^n\text{e}^{\frac{t}{2}} \quad  \text{sur l'intervalle 
[0 ; 1]}\]

En déduire la limite quand $n$ tend vers l'infini de :
\[u_n  = 1 + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{1!} + \cdots +  \dfrac{1}{2^n} \cdot 
\dfrac{1}{n!}.\]
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill  4 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

Dans le plan complexe $\mathcal{P}$ rapporté au repère orthonormal direct \Ouv, unité graphique 4~cm, on considère les points A, B, C, D d'affixes respectives

\[z_{\text{A}} = 2\text{i}, \quad  z_{\text{B}} = \text{i}, \quad 
z_{\text{C}} = -1 + \text{i},\quad  z_{\text{D}} =1 + \text{i}.\]

\textsl{On fera une figure qui sera complétée au fur et à mesure 
de l'exercice.}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Soit la fonction $f$ de $\mathcal{P} - \{\text{B}\}$ dans $\mathcal{P}$ qui au point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ où 

\[z' = \text{i}\dfrac{z - 2\text{i}}{z - \text{i}}.\]

	\begin{enumerate} 
		\item Développer $(z + 1 - \text{i})(z - 1 - \text{i})$. 
		\item Chercher les points $M$ vérifiant $f(M) = M$ et exprimer leurs affixes sous forme algébrique puis trigonométrique.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout $z$ différent de i,

\[|z'| = \dfrac{\text{A}M}{\text{B}M},\]
et que, pour tout $z$ différent de i et de 2i,

\[\text{arg}\left(z'\right) = 
\left(\vect{\text{B}M},~\vect{\text{A}M}\right) + 
\dfrac{\pi}{2} \quad 	(\text{modulo} 2\pi).\]

		\item Déterminer et construire l'ensemble (E) des points $M$ 
d'affixe $z$ tels que $|z'| = 1$.
		\item Déterminer et construire l'ensemble (F) des points $M$ d'affixe $z$ tels que	arg$\left(z'\right) = \dfrac{\pi}{2} \quad 	(\text{modulo} \quad 2\pi$).
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $z'- \text{i} = \dfrac{1}{z - \text{i}}$	et en déduire que $|z'- \text{i}| \times |z - 
\text{i}| = 1$, pour tout complexe $z$ différent de i.
		\item Soit $M$ un point du cercle $\mathcal{C}$ de centre B et de rayon $\dfrac{1}{2}$. Prouver que le point $M'$ d'affixe $z'$ appartient à un cercle de centre B et de rayon à déterminer.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 4 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

Dans le plan complexe $\mathcal{P}$ rapporté au repère orthonormal direct 
$\left(\text{A}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$,
unité graphique 1~cm, on considère les points B, D définis par : 
$\vect{\text{AB}} = 2\vect{u},~\vect{\text{AD}} =
3\vect{v}$ et C tel que ABCD soit un rectangle.

\textsl{On fera une figure qui sera complétée au fur et à mesure 
de l'exercice.}

\begin{enumerate}
\item Soit E l'image de B par la translation de vecteur $\vect{\text{DB}}$. Déterminer l'affixe $z_{\text{E}}$ de E.
\item Déterminer les nombres réels $a,~ b$ tels que le point F 
d'affixe $z_{\text{F}} = 6 - \text{i}$ soit le barycentre des points A, B, C affectés des coefficients $a,~ b$ et 1.
\item On considère la similitude $s$ qui transforme A en E et B en F. À tout point $M$
 d'affixe $z$, on associe le point $M'$ d'affixe $z'$, image de $M$ par $s$.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $z'$ en fonction de $z$.
		\item Déterminer le centre I, l'angle et le rapport de la similitude $s$.
		\item Déterminer les images de C et de D par $s$.
		\item Calculer l'aire de l'image par $s$ du rectangle ABCD.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ensemble $\Omega$ des points $M$ du plan tels que :
\[\left\|6\vect{M\text{A}} - 10\vect{M\text{B}} + \vect{M\text{C}}\right\| = 9.\]
		\item Déterminer, en précisant ses éléments caractéristiques, l'image de $\Omega$ par $s$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème \hfill 11 points}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthogonal \Oij. L'unité graphique est
4~cm sur l'axe des abscisses et 2~cm sur l'axe des ordonnées.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : 

\[ f(x) = (2 + \cos x)\text{e}^{1 - x}. \]

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le repère 
\Oij.

\begin{enumerate} 
\item Montrer que, pour tout $x$ de $\R$ : $f(x) > 0$.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que, pour tout $x$ de $\R ~:~\sqrt{2} \cos \left(x - 
\dfrac{\pi}{4}\right) = \cos x + \sin x$.
		\item En déduire que, pour tout $x$ de $\R~:~2 + \cos x + \sin x > 0$.
		\item Montrer que $f$ est strictement décroissante sur $\R$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que, pour tout $x$ de $\R~:~\text{e}^{1 - x} \leqslant  f(x) \leqslant  3\text{e}^{1 - x}$.
		\item En déduire les limites de $f$ en $+ \infty$ et en $- \infty$.
		\item Interpréter géométriquement le résultat obtenu lors du calcul de la limite de $f$ en $+ \infty$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, sur l'intervalle $[0~;~\pi]$, l'équation $f(x) = 3$  admet une solution unique $\alpha$.
		\item Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
	\end{enumerate}
\item Représenter la courbe $\mathcal{C}$ sur [0~;~4].
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On veut calculer l'aire $\mathcal{A}$, exprimée en unités d'aire, du domaine limité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 1$.

\begin{enumerate} 
\item Montrer que : $\mathcal{A} = 2\text{e} - 2 + 
\displaystyle\int_{0}^1 \cos t \text{e}^{1- t} \:\text{d}t$.
\item On pose : I $= \displaystyle\int_{0}^1 \cos t \text{e}^{1- t} \:\text{d}t$ et J $= \displaystyle\int_{0}^1 \sin t \text{e}^{1- t} \:\text{d}t$.
	\begin{enumerate} 
		\item À l'aide de deux intégrations par parties, montrer que : 

\[\text{I} = - \cos 1 + \text{e} - \text{J}\quad \text{et} \quad \text{J} = - \sin 1 +  \text{I}.\]
		\item En déduire la valeur de I.
	\end{enumerate}
\item Déterminer la valeur exacte de $\mathcal{A}$ en unités d'aire, puis donner une valeur approchée de $\mathcal{A}$ si à $10^{-2}$ près par défaut.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par :

\[h(x) = - 1 - \dfrac{\sin x}{2 + \cos x}.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction $h$ admet des primitives sur $\R$.
		\item Calculer la primitive $H$ de la fonction $h$, qui prend en 0 la valeur $(1 + \ln 3)$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer $\ln [f(x)]$ pour tout $x$ de $\R$.
		\item Étudier le sens de variations de la fonction $H$.
		\item Déterminer le tableau de variations de $H$.
	\end{enumerate}
\item On appelle $\Gamma$ la courbe représentative de la fonction définie sur $\R$ par $x \longmapsto  1 - x + \ln (2 + \cos x)$. (On ne demande pas de représenter $\Gamma$.) On appelle $\Delta$ la droite d'équation $y = - x + 1$.
	\begin{enumerate} 
		\item Étudier la position relative de $\Gamma$ et de $\Delta$.
		\item Déterminer les abscisses des points communs à $\Gamma$ et $\Delta$.
	\end{enumerate}
\item 
 	\begin{enumerate}
		\item Établir une équation de la tangente T à $\Gamma$ au point d'abscisse 0.
		\item Étudier la position relative de $\Gamma$ et T.
	\end{enumerate}
\item Montrer que la courbe $\Gamma$ est contenue dans une bande du plan limitée par deux droites parallèles dont on donnera des équations.
\end{enumerate}
\end{document}