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% Tapuscrit Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Polynésie}}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Polynésie septembre 2002~\decofourright}}\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip

Une compagnie d'assurance automobile fait un bilan des frais d'intervention, parmi ses dossiers d'accidents de la circulation. 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $85\:\%$ des dossiers entraînent des frais de réparation matérielle. 
\item[$\bullet~$] $20\:\%$ des dossiers entraînent des frais de dommages corporels. 
\item[$\bullet~$] $12\:\%$ des dossiers entraînant des frais de réparation
 matérielle entraînent aussi des frais de dommages corporels.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Soit les évènements suivants  :

$R$ : le dossier traité entraîne des frais de réparation matérielle 

$D$ : le dossier traité entraîne des frais de dommages corporels.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item En utilisant les notations $R$ et $D$, exprimer les trois
pourcentages de l'énoncé en termes de probabilités ; les résultats seront donnés
sous forme décimale.

\item Calculer la probabilité pour qu'un dossier :	
	\begin{enumerate} 
		\item entraîne des frais de réparation matérielle et des frais de dommages corporels ;		
		\item entraîne seulement des frais de réparation matérielle ;
		\item entraîne seulement des frais de dommages corporels ;
		\item n'entraîne ni frais de réparation matérielle ni frais de dommages corporels ;
	\item entraîne des frais de réparation matérielle sachant qu'il entraîne des frais de dommages corporels. 
	 \end{enumerate}
\item On constate que 40\,\% des dossiers traités correspondent à des excès de vitesse et parmi ces derniers 60\,\% entraînent des frais de dommages corporels. 
	\begin{enumerate} 
		\item On choisit un dossier ; quelle est la probabilité pour que ce dossier corresponde à un excès de vitesse et entraîne des frais de dommages corporels ? 
		\item On choisit cinq dossiers de fa\c{c}on indépendante. Quelle est la probabilité  pour qu'au moins un dossier corresponde à un excès de vitesse et entraîne des frais de dommages corporels. 
	 \end{enumerate} 
 \end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}} 

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item $z_1$ et $z_2$ sont des nombres complexes ; résoudre le système d'équations suivant :

\[ \left\{\begin{array}{l c l}
z_1\sqrt{3} - z_2&=&- 2\\
z_1\phantom{\sqrt{3}} - z_2\sqrt{3}&=&- 2\text{i}\\
\end{array}\right. \]

\item Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct de centre O,  d'unité graphique 4~cm, on considère les points A et B d'affixes 
respectives :

\[ z_{\text{A}} = - \sqrt{3} + \text{i}, \qquad  z_{\text{B}} = -1 + 
\text{i}\sqrt{3}.\]

Donner les écritures de $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$ sous forme 
exponentielle.

Placer les points A et B.
\item Calculer module et argument de $\dfrac{z_{\text{A}}}{z_{\text{B}}}$.

En déduire la nature du triangle ABO et une mesure de l'angle $\left( 
\vect{\text{OA}}~;~\vect{\text{OB}}\right)$.
\item Déterminer l'affixe du point C tel que ACBO soit un losange. Placer C. 
Calculer l'aire du triangle ABC en cm$^2$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $f$ la transformation qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le 
point $M'$ d'affixe $z'$ telle que 

\[z' = \text{e}^{-\frac{\text{i}\pi}{6}}z.\]

\begin{enumerate} 
\item Définir cette transformation et donner ses éléments caractéristiques.
\item Quelles sont, sous forme exponentielle, les affixes de A$'$, B$'$, et C$'$ images par $f$ de A, B et C ?
\item Quelle est l'aire du triangle A$'$B$'$C$'$ en cm$^2$ ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}}

\medskip

Le plan est rapporté à  un repère orthonormal \Oij, toutes les courbes demandées
 seront tracées dans ce repère (unité graphique 4 cm).
 
\textbf{Partie A - Étude d'une fonction}

\medskip

$f$ est la fonction définie sur $\R$ par 

\[f(x) = \dfrac{\text{e}^{2x} - 1}{\text{e}^{2x} + 1},\]

$\Gamma$ est sa courbe représentative dans le repère \Oij.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Étudier la parité de $f$. 
\item Montrer que pour tout $x$ appartenant  $\R,\:- 1 < f(x) < 1$.
\item Quelles sont les limites de $f$ en $- \infty$ et $+ \infty$ ? En déduire les équations des asymptotes éventuelles à $\Gamma$. 

\item Étudier les variations de $f$ et dresser son tableau de variations ; en déduire le signe de $f(x)$ sur $\R$.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item $\alpha$ étant un nombre appartenant à $]- 1~;~1[$, montrer que l'équation 
		
$f(x) = \alpha$ admet une solution unique $x_0$. Exprimer alors $x_0$ en fonction de $\alpha$.
	\item Pour $\alpha = \dfrac{1}{2}$, donner une valeur approchée de $x_0$  à
$10^{-2}$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie B - Tangentes à la courbe}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Déterminer une équation de la tangente $\Delta_1$ à $\Gamma$ au point d'abscisse $0$.
\item Montrer que pour tout nombre $t$ réel, $f'(t) = 1 - [f(t)]^2$. En déduire un encadrement de $f'(t)$.
\item Pour $x$ positif ou nul, déterminer un encadrement de $\displaystyle\int_0^x  f'(t)\: \text{d}t$, puis justifier que $0 \leqslant  f(x) \leqslant x$. Quelles sont les positions relatives de $\Gamma$ et $\Delta_1$ ?
\item Déterminer une équation de la tangente $\Delta_2$ à $\Gamma$ au point A d'ordonnée $\dfrac{1}{2}$.
\item Montrer que le point B de la courbe $\Gamma$, d'ordonnée positive, où le coefficient directeur de la tangente est égal à $\dfrac{1}{2}$ a pour coordonnées :

\[\left(\ln \left(1 + \sqrt{2}\right)~;~\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right).\]

\item Tracer $\Gamma,~\Delta_1$ et $\Delta_2$. On placera les points A et B.
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie C - Calcul d'intégrales}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Montrer que $f(x) = \dfrac{\text{e}^{x} - \text{e}^{-x}}{\text{e}^{x} + \text{e}^{-x}}$ ; en déduire une primitive de $f$.
\item Quelle est l'aire en cm$^2$ de la surface comprise entre $\Gamma$, la droite d'équation $y = x$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$ ?

Hachurer cette surface sur la représentation graphique.
\item Calculer $\displaystyle\int_0^1 [f(x)]^2\:\text{d}x$.
\item En utilisant une intégration par parties, montrer que :

\[\displaystyle\int_0^1 x\left(1 - [f(x)]^2\right)\:\text{d}x = 
\dfrac{\text{e}^2 - 1}{\text{e}^2 + 1} - \ln \left(\dfrac{\text{e}^2 
+1}{2\text{e}}\right).\]

En déduire $\displaystyle\int_0^1 x[f(x)]^2 \:\text{d}x$.
\end{enumerate}
\end{document}