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% Tapuscrit Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small BaccalaurŽéat S}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{septembre 2002}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~BaccalaurŽéat S PolynŽésie septembre 2002~\decofourright}}\end{center}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip

Une compagnie d'assurance automobile fait un bilan des frais d'intervention, parmi ses dossiers d'accidents de la circulation.

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $85\:\%$ des dossiers entraînent des frais de réŽparation matŽérielle.
\item[$\bullet~$] $20\:\%$ des dossiers entraînent des frais de dommages corporels.
\item[$\bullet~$] $12\:\%$ des dossiers entraînant des frais de rŽéparation
 matéŽrielle entraî”nent aussi des frais de dommages corporels.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Soit les Žévènements suivants :

$R$ : le dossier traitŽé entraî”ne des frais de réŽparation matŽérielle 

$D$ : le dossier traitéŽ entraî”ne des frais de dommages corporels.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item En utilisant les notations $R$ et $D$, exprimer les trois
pourcentages de l'ŽénoncŽé en termes de probabilitŽés ; les rŽésultats seront donnŽés
sous forme dŽécimale.

\item Calculer la probabilitŽé pour qu'un dossier :
	\begin{enumerate}
		\item entraîne des frais de réŽparation matŽérielle et des frais de dommages corporels ;	
		\item entraî”ne seulement des frais de rŽéparation matéŽrielle ;
		\item entraîne seulement des frais de dommages corporels ;
		\item n'entraî”ne ni frais de réŽparation matéŽrielle ni frais de dommages corporels ;
	\item entraî”ne des frais de rŽéparation matŽérielle sachant qu'il entraîne des frais de dommages corporels.
	 \end{enumerate}
\item On constate que 40\,\% des dossiers traitéŽs correspondent ˆà des excès de vitesse et parmi ces derniers 60\,\% entraînent des frais de dommages corporels.
	\begin{enumerate}
		\item On choisit un dossier ; quelle est la probabilitŽé pour que ce dossier corresponde àˆ un excès de vitesse et entraîne des frais de dommages corporels ?
		\item On choisit cinq dossiers de fa\c{c}on indŽépendante. Quelle est la probabilitŽé  pour qu'au moins un dossier corresponde ˆà un excès de vitesse et entraîne des frais de dommages corporels.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $z_1$ et $z_2$ sont des nombres complexes ; rŽésoudre le système d'Žéquations suivant :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
z_1\sqrt{3} - z_2&=&- 2\\
z_1\phantom{\sqrt{3}} - z_2\sqrt{3}&=&- 2\text{i}\\
\end{array}\right.\]

\item Dans le plan complexe muni d'un repère orthonorméŽ direct de centre O,  d'unitéŽ graphique 4~cm, on considère les points A et B d'affixes 
respectives :

\[z_{\text{A}} = - \sqrt{3} + \text{i}, \qquad z_{\text{B}} = -1 + 
\text{i}\sqrt{3}.\]

Donner les Žécritures de $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$ sous forme 
exponentielle.

Placer les points A et B.
\item Calculer module et argument de $\dfrac{z_{\text{A}}}{z_{\text{B}}}$.

En dŽéduire la nature du triangle ABO et une mesure de l'angle $\left(
\vect{\text{OA}}~;~\vect{\text{OB}}\right)$.
\item DŽéterminer l'affixe du point C tel que ACBO soit un losange. Placer C.
Calculer l'aire du triangle ABC en cm$^2$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $f$ la transformation qui ˆà tout point $M$ d'affixe $z$ associe le 
point $M'$ d'affixe $z'$ telle que

\[z' = \text{e}^{-\frac{\text{i}\pi}{6}}z.\]

\begin{enumerate}
\item DéŽfinir cette transformation et donner ses éŽlŽéments caractŽéristiques.
\item Quelles sont, sous forme exponentielle, les affixes de A$'$, B$'$, et C$'$ images par $f$ de A, B et C ?
\item Quelle est l'aire du triangle A$'$B$'$C$'$ en cm$^2$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Problème}}

\medskip

Le plan est rapporté à Žun repère orthonormal \Oij, toutes les courbes demandŽées
 seront tracŽées dans ce repère (unitéŽ graphique 4 cm).

\medskip

\textbf{Partie A - ătude d'une fonction}

\medskip

$f$ est la fonction déŽfinie sur $\R$ par

\[f(x) = \dfrac{\text{e}^{2x} - 1}{\text{e}^{2x} + 1},\]

$\Gamma$ est sa courbe reprŽésentative dans le repère \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Ƀtudier la paritŽé de $f$.
\item Montrer que pour tout $x$ appartenant ˆ $\R,\:- 1 < f(x) < 1$.
\item Quelles sont les limites de $f$ en $- \infty$ et $+ \infty$ ? En dŽéduire les Žéquations des asymptotes Žéventuelles ˆà $\Gamma$.

\item ƒÉtudier les variations de $f$ et dresser son tableau de variations ; en déŽduire le signe de $f(x)$ sur $\R$.
\item
	\begin{enumerate} 
		\item $\alpha$ Žétant un nombre appartenant ˆà $]- 1~;~1[$, montrer que l'Žéquation 

$f(x) = \alpha$ admet une solution unique $x_0$. Exprimer alors $x_0$ en fonction de $\alpha$.
	\item Pour $\alpha = \dfrac{1}{2}$, donner une valeur approchŽée de $x_0$ ˆà
$10^{-2}$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B - Tangentes àˆ la courbe}

\medskip

\begin{enumerate}
\item DŽéterminer une Žéquation de la tangente $\Delta_1$ ˆà $\Gamma$ au point d'abscisse $0$.
\item Montrer que pour tout nombre $t$ rŽéel, $f'(t) = 1 - [f(t)]^2$. En dŽéduire un encadrement de $f'(t)$.
\item Pour $x$ positif ou nul, dŽéterminer un encadrement de $\displaystyle\int_0^x  f'(t)\: \text{d}t$, puis justifier que $0 \leqslant  f(x) \leqslant x$. Quelles sont les positions relatives de $\Gamma$ et $\Delta_1$ ?
\item DŽéterminer une Žéquation de la tangente $\Delta_2$ ˆà $\Gamma$ au point A d'ordonnée $\dfrac{1}{2}$.
\item Montrer que le point B de la courbe $\Gamma$, d'ordonnŽée positive, où le coefficient directeur de la tangente est Žégal ˆà $\dfrac{1}{2}$ a pour coordonnéŽes :

\[\left(\ln \left(1 + \sqrt{2}\right)~;~\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right).\]

\item Tracer $\Gamma,~\Delta_1$ et $\Delta_2$. On placera les points A et B.
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie C - Calcul d'intéŽgrales}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $f(x) = \dfrac{\text{e}^{x} - \text{e}^{-x}}{\text{e}^{x} + \text{e}^{-x}}$ ; en dŽéduire une primitive de $f$.
\item Quelle est l'aire en cm$^2$ de la surface comprise entre $\Gamma$, la droite d'Žéquation $y = x$ et les droites d'Žéquations $x = 0$ et $x = 1$ ?

Hachurer cette surface sur la représentation graphique.
\item Calculer $\displaystyle\int_0^1 [f(x)]^2\:\text{d}x$.
\item En utilisant une intŽégration par parties, montrer que :

\[\displaystyle\int_0^1 x\left(1 - [f(x)]^2\right)\:\text{d}x = 
\dfrac{\text{e}^2 - 1}{\text{e}^2 + 1} - \ln \left(\dfrac{\text{e}^2 
+1}{2\text{e}}\right).\]

En déduire $\displaystyle\int_0^1 x[f(x)]^2 \:\text{d}x$.
\end{enumerate}
\end{document}