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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{\small{Polynésie (épreuve obligatoire)}}
\rfoot{\small{septembre 2006}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\medskip

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Polynésie septembre 2006~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.

On pose $a =  3,~ b = 5 - 2\text{i}$ et $c =  5 + 2\text{i}$. On désigne par A, B et C les points d'affixes respectives $a,~ b$ et $c$.

 Soit $M$ un point d'affixe $z$ du plan, distinct des points A et B.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que ABC est un triangle rectangle isocèle.
		\item Donner une interprétation géométrique de l'argument du nombre complexe $\dfrac{z - 3}{ z - 5 + 2\text{i}}$.
		\item  Déterminer alors l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $\dfrac{z-3}{ z - 5 + 2\text{i}}$ soit un nombre réel strictement négatif.
	\end{enumerate}
\item Soit $\Gamma$ le cercle circonscrit au triangle ABC et $\Omega$ le point d'affixe $2 - \text{i}$.
	\begin{enumerate}
		\item Donner l'écriture complexe de la rotation $r$ de centre $\Omega$ et d'angle $-\dfrac{\pi}{2}$.
		\item Déterminer l'image $\Gamma '$ de $\Gamma$ par la rotation $r$. Déterminer une équation paramétrique de $\Gamma '$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 4 points}

\medskip

Une urne contient 4 boules blanches et 2 boules noires indiscernables au toucher.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On effectue trois tirages successifs au hasard d'une boule selon la procédure suivante : après chaque tirage si la boule tirée est blanche, on la remet dans l'urne et si elle est noire, on ne la remet pas dans l'urne. On désigne par $X$ la variable aléatoire égale au nombre de boules noires obtenues à l'issue des trois tirages.
On pourra s'aider d'un arbre pondéré.
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les valeurs prises par $X$ ?
		\item Calculer $P(X =  0)$.
		\item On se propose de déterminer maintenant $P(X =1)$.

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item Montrer que la probabilité que la seule boule noire tirée soit obtenue au second
 tirage est égale à $\dfrac{8}{45}$.
\item En remarquant que la seule boule noire peut être tirée soit au premier, soit au deuxième, soit au troisième tirage, calculer $P(X = 1)$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

	\end{enumerate}
\item  On reprend l'urne dans sa composition initiale : 4 boules blanches et 2 boules noires indiscernables au toucher. Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à~3.

On effectue maintenant $n$ tirages successifs au hasard d'une boule dans l'urne selon la même procédure : après chaque tirage, si la boule tirée est blanche, on la remet dans l'urne et si elle est noire, on ne la remet pas dans l'urne.

Soit $k$ un entier compris entre $1$ et $n$.

Soit $N$ l'évènement : \og{}la $k$-ième boule tirée est noire et toutes les autres sont blanches{}\fg.

Soit $A$ l'évènement : \og{}on obtient une boule blanche dans chacun des $k - 1$ premiers tirages et une boule noire au $k$-ième{}\fg.

Soit $B$ l'évènement : \og{}on obtient une boule blanche dans chacun des $(n - k)$ derniers tirages{}\fg.

Calculer $P(A)$,\: $P_{A}(B)$ et $P(N)$.
\end{enumerate}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 7 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par :
\[ f(x) = \left(2x^3  - 4x^2\right) \text{e}^{-x}.\]
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les limites de $f$ en $- \infty$ et en $+ \infty$.
		\item Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x) = 2x\left(- x^2 + 5x - 4\right)\text{e}^{-x}$.
		\item Dresser le tableau de variations de $f$.
		\item Tracer la courbe ($\mathcal{C}$) représentative de $f$ dans un repère orthonormal 
		
\Oij{} (unité graphique : 1 cm).
	\end{enumerate}
\item Pour $n \in \N^{*}$, on pose
\[ I_{n} = \displaystyle\int_{0}^1 x^n\text{e}^{-x}\,\text{d}x.\]
	\begin{enumerate}
		\item  À l'aide d'une intégration par parties, calculer $I_{1}$.
		\item  On admet que, pour tout $n$ supérieur ou égal à 2,~ $I_{n} = n I_{n-1} - \dfrac{1}{\text{e}}$.
		
Déterminer $1_{2}$ et $1_{3}$.
		\item  Soit $\mathcal{A}$ l'aire, exprimée en cm$^2$, du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe ($\mathcal{C}$) et les droites d'équation $x =  0$ et $x = 1$. Calculer $\mathcal{A}$.
	\end{enumerate}
\item  Soit $u$ une fonction définie et dérivable sur $\R$.

On définit la fonction $v$ sur $]0~;~ +\infty[$ par $v(x) = u\left(\dfrac{1}{x}\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item On suppose que $u$ est croissante sur l'intervalle $[a~;~ b]$ (où $0 < a < b$).

Déterminer le sens de variation de $v$ sur $\left[\dfrac{1}{b}~;~\dfrac{1}{a}\right]$.
		\item On définit maintenant la fonction $g$ par $g(x) = f\left(\dfrac{1}{x}\right)$ sur $]0~;~ +\infty[$, où $f$ est la fonction définie dans la question 1.
		
Déterminer les limites de $g$ en $0$ et en $+ \infty$,
		\item  Déduire des questions précédentes le tableau de variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points}

\medskip

L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk.

Soit $\left(P_{1}\right)$ le plan d'équation cartésienne $-2 x + y + z- 6 = 0$  et $\left(P_{2}\right)$ le plan d'équation cartésienne $x - 2y+ 4z - 9 =0$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Montrer que $\left(P_{1}\right)$ et $\left(P_{2}\right)$ sont perpendiculaires.

On rappelle que deux plans sont perpendiculaires si et seulement si un vecteur normal non nul à l'un est orthogonal à un vecteur normal non nul à l'autre.
\item Soit (D) la droite d'intersection de $\left(P_{1}\right)$ et $\left(P_{2}\right)$.

Montrer qu'une représentation paramétrique de (D) est :

\[\left\{\begin{array}{l c r}
x &=& -7 + 2t\\
y&=& - 8 + 3t\\
z& =&t\\
\end{array}\right. (t~\in~\R).\]

\item  Soit $M$ un point quelconque de (D) de paramètre $t$ et soit A le point de coordonnées
$(-9~;~-4~;~- 1)$.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que A n'appartient ni à $\left(P_{1}\right)$, ni à $\left(P_{2}\right)$.
		\item Exprimer A$M^2$ en fonction de $t$.
		\item Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(t)= 2t^2 - 2t + 3.$
		
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Étudier les variations de $f$.
\item[$\bullet~$] Pour quel point $M$, la distance A$M$ est-elle minimale ?

Dans la suite, on désignera ce point par I.
\item[$\bullet~$] Préciser les coordonnées du point I.
\end{itemize}
\setlength\parindent{5mm}
	\end{enumerate}
\item  Soit (Q) le plan orthogonal à (D) passant par A.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une équation de (Q).
		\item Démontrer que I est le projeté orthogonal de A sur (D).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}