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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Le baccalauréat de 1997}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{septembre 1997}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Polynésie septembre 1997~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1  \hfill 5 points}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle :

\[(\text{E} \qquad y'' - 5y' + 4y = 0.\]

\medskip

\item Déterminer la solution particulière $f$ de (E) dont la courbe représentative 
dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij{} admet pour tangente 
au point d'abscisse $0$ la droite d'équation $y = - 2x + 1$.
\item On pose $u(x) = 2\text{e}^x  - \text{e}^{4x}$. 

Résoudre dans $\R$ l'inéquation $u(x) \geqslant 0$. 
\item On considère la partie de la courbe d'équation $y = u(x)$ pour $-1 \leqslant  x \leqslant 0$.

En la faisant tourner autour de l'axe des abscisses, on délimite un solide dont le volume est mesuré en unités de volume par l'intégrale

\[V = \pi \int_{-1}^0  [u(x)]^2\:\text{d}x.\]

Calculer la valeur exacte de $V$. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2  \hfill 5 points}}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
Soient, dans l'espace $E$, 4 points A, B, C et D distincts deux à deux.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que ABCD est un parallélogramme si, et seulement si, D est le barycentre du système $\{(\text{A}~;~1),~(\text{B}~;~- 1),~(\text{C}~;~1)\}$ . 
\item On suppose que ABCD est un parallélogramme. Déterminer l'ensemble $(S)$ des points $M$ de l'espace $E$ tels que $\left\|\vect{M\text{A}} - \vect{M\text{E}} + \vect{M\text{C}} \right\|= \text{BD}$. 
\item On suppose maintenant que ABCD est un rectangle. Déterminer l'ensemble $(\Sigma)$ des points $M$ de l'espace $E$ tels que $M\text{A}^2 - M\text{B}^2 + M\text{C}^2 = \text{BD}^2$. 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
On considère dans l'espace $E$ deux parallélogrammes ABCD et A$'$B$'$C$'$D$'$ ainsi que les milieux I,\:J,\: K et L de [AA$'$], [BB$'$], [CC$'$] et [DD$'$] respectivement.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que L est barycentre des points I, J, et K affectés de coefficients que l'on précisera.
 
En déduire que IJKL est un parallélogramme. 
\item Soient O, Q et P les centres respectifs des parallélogrammes IJKL, ABCD, et A$'$B$'$C$'$D$'$.
 
Montrer que O est le milieu de [PQ]. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2  \hfill 6 points}}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal \Ouv{} (Unité 
graphique : 1~cm).

Soient les nombres complexes $a = \dfrac{\sqrt{3} + 1}{4} + \text{i}\left(\dfrac{\sqrt{3} - 1}{4} \right)$   et $z_{0} = 6 + 6\text{i}$  d'image $A_{0}$.
 
Pour tout $n$ entier naturel non nul, on désigne par $A_{n}$ le point d'affixe $z_{n}$ définie par 

\[z_{n} = a^n z_{0}.\]

\bigskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Exprimer $z_{1}$ et $a^2$ sous forme algébrique. 

Écrire $z_{1}$ sous forme exponentielle et montrer que $a^2 = \dfrac{1}{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$.
\item Exprimer $z_{3}$ puis $z_{7}$ en fonction de $a^2$ ; en déduire l'expression de $z_{3}$ et $z_{7}$ sous forme exponentielle.
\item Placer les points $A_{0},\: A_{1},\: A_{3}$ et $A_{7}$ images respectives des complexes $z_{0},\: z_{1},\:z_{3}$ et $z_{7}$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

Pour tout $n$ entier naturel, on pose $\left|z_{n}\right| = r_{n}$. 

\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout $n$ de $\N,\: r_{n} = 12 \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)^{n+1}$.
\item En déduire que la suite $\left(r_{n}\right)_{n \in \N}$ est une suite géométrique  dont on précisera le premier terme et la raison.
\item Déterminer la limite de la suite  $\left(r_{n} \right)$ et interpréter géométriquement le résultat obtenu.
\item Déterminer le plus petit entier naturel $p$ tel que O$A_{p} \leqslant 10^{- 3}$ et donner alors une mesure de l'angle orienté $\left(\vect{u},~\vect{\text{O}A_{p}}\right)$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème  \hfill 4 points}}

\medskip

Le but du problème est l'étude d'une fonction $f$, d'une de ses primitives et d'une suite attachée à cette fonction. Le plan est muni d'un repère orthogonal \Oij{} avec $\left\|\vect{\imath}\right\| = 2$~cm et $\left\|\vect{\jmath}\right\| = 5~$cm. 

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{1 + x^2}}.\]

On note $\mathcal{C}$ sa courbe  représentative.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est paire.

Étudier ses variations sur $[0~;~+\infty[$ et déterminer sa limite en $+ \infty$. 

Tracer sa courbe $\mathcal{C}$. 
\item Montrer que $f$ établit une bijection de $[0~;~+\infty[$ sur ]0~;~1].
 
On note $y$ un réel quelconque de l'intervalle ]0~;~1]. Exprimer en fonction de $y$ le seul réel positif $x$ vérifiant $f(x) = y$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $F$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[F(x) = \ln \left(x + \sqrt{1 + x^2}\right).\]

(On admettra que pour tout réel $x,\: x + \sqrt{1 + x^2} > 0$).

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $F'(x)$. En déduire que $F$ est la primitive de $f$ sur $\R$ qui s'annule en $0$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $F$ en $+ \infty$.
		\item Montrer que $F$ est impaire. 
		\item En déduire la limite de $F$ en $- \infty$.
	\end{enumerate} 
\item Soit $\lambda$ un réel strictement positif. On note $\mathcal{A}(\lambda)$ l'aire en cm$^2$ de la partie du plan constituée des points $M(x~;~y)$ tels que $\lambda  \leqslant x \leqslant 2\lambda$ et $0 \leqslant y \leqslant f(x)$.
 
Exprimer $\mathcal{A}(\lambda)$ en fonction de $\lambda$ ; donner la valeur exacte de $\mathcal{A}(1)$ et déterminer la limite de $\mathcal{A}(\lambda)$ quand $\lambda$ tend vers $+ \infty$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

On pose $u_{0} = \displaystyle\int_{0}^1 \dfrac{1}{\sqrt{1 + x^2}}\:\text{d}x$  et pour tout naturel $n$ non nul, $u_{n} =  \displaystyle\int_{0}^1 \dfrac{x^n}{\sqrt{1 + x^2}}\:\text{d}x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_{0}$. Calculer $u_{3}$ à l'aide d'une intégration par parties.

(Remarquer que $\dfrac{x^3}{\sqrt{1 + x^2}} = x^2 \times  \dfrac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$). 

\item Montrer que pour tout $x$ de l'intervalle [0~;~1],\:\:$0 \leqslant  \dfrac{x^n}{\sqrt{1 + x^2}} \leqslant x^n$.

En intégrant cette double inégalité sur [0~;~1], montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge et déterminer sa limite.
\end{enumerate} 
\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Dans ce problème, on étudie quelques propriétés de la fonction $f$ définie sur
 $\R$ par : 

\[f(x) = x^2 + \text{e}^{2x}.\]

\begin{center} \textbf{I. Étude des variations de} \boldmath$f$\unboldmath \end{center}

\textbf{1)} Calculer, pour tout nombre réel $x,
~ f'(x)~ \textrm{et}~ f''(x)$.

\textbf{2) 
a)} Montrer que, pour tout nombre réel $x$,
on a $f''(x) > 0$.
\textbf{b)} En déduire que l'équation $f'(x) = 0$ admet sur $\R$ une solution et
une seule qu'on note $\alpha$.
\textbf{c)} Vérifier la double inégalité $-~ 0,5 < \alpha < - 0,4$.

\textbf{3)} a) Préciser, suivant les valeurs du nombre
réel $x$, le signe de $f'(x)$ .
\textbf{b)} Calculer $\displaystyle\lim_{x \to -~\infty} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to +~\infty} 
f(x)$.\\
\textbf{c)} Dresser le tableau de variation de $f$ sur $\R$.
\textbf{d)} Tracer, en se limitant à l'intervalle $\left[-~2~;~\dfrac{1}{2}
\right]$ la courbe représentative $\mathcal{C}$ de $f$.
dans un repère orthonormal $\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect
{\jmath}\right)$ (unité graphique : 4 cm).

\begin{center} \textbf{II. Interprétation géométrique de} \boldmath$f$
\unboldmath \end{center}
On note $\Gamma$ la courbe représentative, dans le repère  $\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect
{\jmath}\right)$ introduit dans la partie \textbf{I}, de la
fonction $g$ définie par : 

\[g(x) = \text{e}^x.\]

\textbf{1) a)} Exprimer la distance O$M$ du point O au point $M$ de $\Gamma$
d'abscisse $x$ en fonction de $f(x)$ .
 
\textbf{b)} Traduire alors les résultats obtenus dans la partie I en une propriété 
concernant la variation de la distance O$M$ quand $M$ parcourt $\Gamma$.
 

\textbf{2)} Soit A le point de $\Gamma$ d'abscisse 
$\alpha$ ($\alpha$ a été introduit dans la partie \textbf{I} ; on rappelle que
$f'(\alpha) = 0 )$.\\ 
\textbf{a)} …crire une équation de la tangente $T$ à $\Gamma$ en A.
\textbf{b)} Quelle relation peut-on écrire entre les coefficients directeurs des
droites (OA) et $T$ ? Interpréter géométriquement le résultat obtenu.
 
\textbf{3)} On note $\beta$ l'abscisse du point
d'intersection de la droite $T$ avec l'axe (O,~$ \vect{\imath})$.
Calculer en fonction de $\alpha$  et en cm$^2$ l'aire $\mathcal{A}$ du domaine
 limité par la courbe $\Gamma$, la tangente $T$ et les droites 
 d'équations $x = \alpha$ et $x = \beta$.
\end{document}