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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{septembre 2003}}
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\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Polynésie  spécialité~\decofourright\\[4pt]septembre 2003}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

L'espace est rapporté à un repère \Oijk{} orthonormé. Soit $s$ un nombre réel.

On donne les points A(8~;~0~;~8), B(10~;~3~;~10) ainsi que la droite 
$\mathcal{D}$ d'équations paramétriques :

\[\left\{\begin{array}{l c r}
x	&=	&- 5 + 3s\\
y 	&=	&1+ 2s\\
z 	&=	& - 2s\\
\end{array}\right.\]

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Donner un système d'équations paramétriques de la droite $\Delta$ définie par A et B.
		\item Démontrer que $\mathcal{D}$ et $\Delta$ sont non coplanaires.
	\end{enumerate
\item  
	\begin{enumerate} 
		\item Le plan $\mathcal{P}$ est parallèle à $\mathcal{D}$ et contient $\Delta$. Montrer que le vecteur $\vect{n}(2~;~ - 2~;~ 1)$ est un vecteur normal à $\mathcal{P}$.
		 
Déterminer une équation cartésienne de $\mathcal{P}$.
		\item Montrer que la distance d'un point quelconque $M$ de $\mathcal{D}$ à  $\mathcal{P}$ est indépendante de $M$.
		\item Donner un système d'équations paramétriques de la droite définie par l'intersection de $\mathcal{P}$ avec le plan ($x$O$y$).
 
	\end{enumerate}
\item La sphère $\mathcal{S}$ est tangente à $\mathcal{P}$ au point C(10~;~ 1~;~6). Le centre $\Omega$ de $\mathcal{S}$ se trouve à la distance $d = 6$ de $\mathcal{P}$, du même côté que O.

Donner l'équation cartésienne de $\mathcal{S}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

On désigne par $p$ un nombre entier premier supérieur ou égal à 7.

Le but de l'exercice est de démontrer que l'entier naturel $n = p^4 - 1$ est divisible par 240, puis d'appliquer ce résultat.

\begin{enumerate} 
\item Montrer que $p$ est congru à $- 1$ ou à $1$ modulo 3. En déduire que $n$ est divisible par 3.
\item En remarquant que $p$ est impair, prouver qu'il existe un entier naturel $k$
 tel que $p^2 - 1 = 4k(k + 1)$, puis que $n$ est divisible par $16$.
\item En considérant tous les restes possibles de la division euclidienne de $p$ par 5,  démontrer que $5$ divise $n$.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Soient $a,~ b$ et $c$ trois entiers naturels.

Démontrer que si $a$ divise $c$ et $b$ divise $c$, avec $a$ et $b$ premiers entre eux, alors $ab$ divise $c$.
		\item Déduire de ce qui précède que $240$ divise $n$.
	\end{enumerate}
\item Existe-t-il quinze nombres premiers $p_1,~p_2, \ldots,~ p_{15}$ supérieurs ou égaux à 7 tels que l'entier $A =  p_1^4 + p_2^4 + \ldots + p_{15}^4$ soit un nombre premier ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ 
par :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
f(0) &=&1\\
f(x) &=& \dfrac{1}{2}x^2(3 - 2\ln x) + 1\quad  \text{si} \quad x > 0\\
\end{array}\right.\]

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal 
\Oij.

\bigskip

\textbf{ Partie A}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer $\displaystyle\lim_{x \to 0}  f(x)$. Que peut-on en déduire pour la fonction $f$ ?
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate} 
		\item Étudier la dérivabilité de $f$ en $0$.
		\item Montrer que $f$ est dérivable sur l'intervalle $[0 ~;~ + \infty[$ et calculer $f'(x)$ pour $x > 0,~ f'$ désignant la fonction dérivée de $f$.
	\end{enumerate}
\item Étudier le sens de variations de $f$ sur $[0 ~;~ + \infty[$, puis dresser son tableau de variations.
\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ possède une solution unique $\alpha$ sur l'intervalle $[0 ~;~+ \infty[$. Déterminer une valeur approchée décimale de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{ Partie B}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Calculer une équation de la tangente $\mathcal{D}$ à la courbe 
$\mathcal{C}$ au point d'abscisse \mbox{$x = 1$}.
\item On considère la fonction $g~:~x \mapsto f(x) - 2x - \dfrac{1}{2}$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer $g'(x)$, puis $g''(x)$ où $g'$ et $g''$ désignent respectivement les fonctions 
dérivées première et seconde de $g$. Étudier le sens de variations de $g'$. En déduire le signe de $g'(x)$ sur $]0~;~+ \infty[$
		\item Étudier le sens de variations de $g$. 

En déduire la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport
 à la tangente $\mathcal{D}$. 
	\end{enumerate} 
\item Construire la courbe $\mathcal{C}$ et la tangente $\mathcal{D}$
(unité graphique : 2~cm).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item $n$ est un entier naturel non nul.

Exprimer en fonction de $n$ le réel $I_n = 
\displaystyle\int_{\frac{1}{n}}^1 x^2 \ln x\:\text{d}x$ (on pourra utiliser une intégration par parties).
\item En déduire en fonction de l'entier $n$, l'aire $\mathcal{A}_n$ exprimée en cm$^2$ du domaine plan délimité par la courbe $\mathcal{C}$, la tangente $\mathcal{D}$ et les deux droites d'équation $x = \dfrac{1}{n}$ et $x = 1$.
\item Calculer	$\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \mathcal{A}_n$ et interpréter le résultat obtenu.
\end{enumerate}
\end{document}
